Том 1 (1113042), страница 75
Текст из файла (страница 75)
а,б) Нет. в) Да.14.4. Нет, так как не выполнена аксиома 7.14.5. la. Да. lб. Нет.Да.14.6.Да. Нет.Нет.14.7. la. Да. lб. Нет. lв,lг. Да.Да.14.8. Нет. а, в , д, е, ж . Да.Нет. 3. Нет.14. 9.Да.Нет.14. 10. Не доказано, что для любого а Е V найдутся Е V и Е IRтакие, что ==14. 1 1 . Достаточно ввести умножение на число по правилу:== () ,\/а Е V , Е IR .14. 12.
Пользуясь только дистрибутивностью и существованием проти== () \/ ЕВывести отсюда, чтовоположного элеl\·t ента, доказать, чтоНаконец, используя ассоциативность сложения, доказать, что==1.2а,2б,3. 2,3.2 2 2 2 25 6,8,9,10,11.2б,2г.1.1,2,3,4,7,12,13.,О. 2.4 . 1,2,3. 4.45Ьа аЬ.аОх-х.х(-1)х+ у == у + х.хаааV.§1515.5. У к а з а н и е . Показать, что если два вектора линейно выражаются через предыдущие, то векторы. . .
, a k должны быть линейно зависимы.15.8. У к а з а н и е. Использовать результаты задачиai ,1 5.6 15.7.Ответы и указ ания к § 1641115.9. У к а з а н и е. Составить линейные комбинации этих векторов скоэффициентами '"У , f3 и а .15. 10. У к а з а н и е. Воспользоваться утверждением задачи 15.7.15. 1 1 . а,б) Да. в) Нет. У к а з а н и е.
Использовать утверждение задачи15.7.15. 12. а) При Л -:/= ± 1 ; б) при Л -:/= ( l ) п У к а з а н и е. Использоватьутверждением задачи 1 5.7.1 5. 14. Да. 15. 15. Нет. 1 5 . 16. Нет.15. 13. Нет.15.17. Да. 1 5 . 18. Да, только еслиО. 15. 19. Да.15.20. Нет. 15.21. Нет. 15.22. Нет.15.23. У к а з а н и е. Предположить, что существует нетривиальная линейная комбинация: а 1 х 1 + . . .
+= () , и выбрать j так, чтобы \ a j \l a l · Далее рассмотреть j-ю компоненту левой части этой линейной комбинации.1 5. 25. У к а з а н и е. Использовать результат задачи 15.6.15.26. 5t3 - 5t 2 - 4t + 6 в обоих случаях. Система линейно зависима.1 5.27. Например, a ( 5 fi + /2 - 4 fз ) + ( 1 - a) ( f1 + 9f2 - 4 f'4 ) , а Е IRпроизвольно.15.28.
Нет.15.31. У к а з а н и е. Использовать свойство линейности кронекеровапроизведения (задача 2.52а,б) и критерий равенства кронекерова произведения нулю (задача 2.55а) .15.32. У к а з а н и е. Пусть в линейной комбинации а0 / + а 1 А + а 2 А 2 +...+коэффициент - ненулевой с минимальным номером. Тогда требуемое соотношение для л - 1 получится, если обе части линейнойкомбинации умножить на А - l .15.33. У к а з а н и е.
В случаях в) ,г) ,д) два раза продифференцироватьи применить индукцию. В случаях е) ,ж) использовать определитель Вандер:монда.15.34. У к а з а н и е. Использовать определитель Вандермонда.15.35. У к а з а н и е. Достаточность следует из свойств определителя.Необходимость: если !1 , . . . , f линейно независимы , то найдется точка a lтакая, что f1 ( a 1 ) =/; О; проверить, что система f; - j:�::� f1 , i = 2, п, линейнонезависима и завершить доказательство индукцией по п.15.36. У к а з а н и е.
Продифференцировать п - 1 раз равенствоОбратное утверждение неверно. Для проверa 1 fi (x ) + . . . + йп fп (х)ки этого факта, например, при п = 2 достаточно рассмотреть функции> О,О, х х2 х > О2fi (х) = О, ' х <- О ' и /2 (х)х , х < О.-.с=й s Xsmax1:5 k :5s kйk Ak = О=йssп{ке.= О.={§ 1616. 1 . У к а з а н и е. Разложить любой минор ( r + 2)-го порядка по стро-16.2. У к а з а н и е. Рассмотреть два разложения произвольного минора1 )-го порядка по двум различным строкам.16.3. У к а з а н и е. Рассмотреть разложения произвольного минора ( r +1 )-го порядка по каждой из его r + 1 строк.16.4. 1 .
16.5. 4 .16.6. 3. У к а з а н и е. Применить результат задачи 15.23.16. 7. 3.16.8. 4 .16.9. 3.(r +412Ответы и указания к § 1 616. 10. При Л = О ранг равен 2, при Л -:/= О ранг равен 3.16. 11. При Л = 3 ранг равен 2, при Л -:/= 3 ранг равен 3.16. 12. При Л = 3 ранг равен 2, при Л -:/= 3 ранг равен 3.16. 13. При Л = О ранг равен 1, при Л -:/= О ранг равен 4.16. 14.
При Л = О , Л = 3 ранг равен 1, при остальных Л ранг равен 2.16. 15. При Л = 1 ранг равен 1, при Л = -3 ранг равен 3, при остальныхЛ ранг равен 4.16. 16. У к а з ан и е. Рассl\lотреть минор k-го порядка, стоящий в первыхk столбцах..16. 17. У к а з а н и е. Показать, что ранг матрицы, составленной из этихстрок (столбцов) равен k.16. 18. У к а з а н и е. Воспользоваться предыдущей задачей.16. 19. У к а з а н и е. Показать, что любой столбец матрицы линейно выражается через столбцы, в которых расположен минор Mr .16.20. У к а з а н и е. Воспользоваться результатом задачи 15.23 .16.20.
1. Нет.16.23. У к а з а н и е. Воспользоваться предыдущей задачей.16.24. Либо не изменится, либо ИЗ1\·1енится на единицу.16.25. Либо не изменится, либо изменится на единицу.16.26. Ранг изменяется: а) не более, чем на единицу; б) не более, чемна k.16.27. Либо не изменится, либо изменится на единицу. У к а з а н и е.Их всех строк, начиная со второй, вычесть первую и использовать задачу16.25.16.28. Да, в обоих случаях.16.31 .
О < rg А < min(2(n - п ) , причем оценка точная при п < 2 k .16.32. 1 < rg < 3, причем оценка точная при п > 3.16.33. У к а з а н и е. В силу теоремы 16. 10 =где Р, невырож===Тогда1иыатрицаРdiag(l,...,1,дены, аО) .невырождена.16.34. У к а з а н и е. Применить к матрице метод Гаусса вычисленияранга.16.35.
У к а з а н и е. Элементарными преобразованиями строк :матрицык верхней ступенчатой форме.ипривести матрицы16.36. У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 16.34 и равенствомk),АDАА11[ А О ] rg [ А В+ Вrg О В=АPDQ,QP(I-D)QDQ+rg(J - D)АА22ВВ ]·16.37. У к а з а н и е. Применить теорему о базисном миноре.16.38. У к а з а н и е. Пусть - матрица, составленная из рассматриваемых r линейно независимых строк, и М - рассматриваемый минор.
Тогдаrg М < rgr . С другой стороны , по теореме о базисном миноре столбцылинейно выражаются через столбцы М , и потому rg � r М .16.39. У к а з а н и е. Рассмотреть базисные строки симметричной матрицы и использовать результат предыдущей задачи.16.40. У к а з а н и е. Воспользоваться указанием к задаче 1 6.39.16.41. У к а з а н и е. См. пример 5.5 из §5 и предыдущую задачу.16.42.
У к а з а н и е. Взять в качестве х базисный столбец матрицы ивоспользоваться теоремой о базисном миноре.16.43. У к а з а н и е. Использовать представление, полученное в предыдущей задаче.16.44. У к а з а н и е. Использовать задачу 16.43.16.45.
У к а з а н и е. Составить матрицу из базисных столбцов матрицы и найти :матрицу с помощью теоремы о базисном миноре. ДляВВ=ВВ gААСВОтветы и указ ания к § 1 6413rgдоказательства того, что С = r , применить теорему о ранге произведенияматриц.16.46. У к а з а н и е. а) Использовать определитель задачиб) Показать, что среди главных миноров порядка п - матрицы 1 + ухт найдетсяненулевой.16.47. У к а з а н и е. Воспользоваться задачамии16.48.
У к а з а н и е. Воспользоваться представлением из задачииопределителем из задачи16.48. 1. Вообще говоря, нет.16.49. У к а з а н и е. В силу теоремыr =иВ=А=где Р, С, Т невырождены, откуда= В ) . Тогда АВ =АВ =Матрицаполучается из невырожденной матрицы Сзаменой всех строк, кроме первых r , на нулевые, и поэтому= r.заменой всех столбцов , кроме первых s ,Матрицаполучается из> r - п - s) .на нулевые, и в силу задачи16. 50. У к а з а н и е. Необходимость следует из теоремыДостаточность - следствие неравенства Сильвестра из задачи16.
5 1 . У к а з а н и е. Так как А т А - симметрическая матрица, то в силу задачиее ранг определяется лишь по ее главным минорам. Пустьглавный :миноррасположен в некоторых столбцах матрицы Ат А. Обозначиы через В матрицу, состоящую из столбцов 1\rатрицы А с теми же номерами. Тогдаминор А41с= в т В и в силу утверждения задачиотличен от нуля тогда и только тогда, когда В = т.е.
столбцы матрицыВ линейно независимы.16. 52. У к а з а н и е. Воспользоваться неравенством Сильвестра из задачи16. 52 . 1 . У к а з а н и е. Показать, что если А вырождена, то существуетненулевая вырожденная матрица В, для которой АВ = О.16. 52.2. У к а з а н и е. Показать, что если А - ненулевая вырожденнаяматрица, то существует ненулевая матрица В, для которой АВ = О и БА i=7.121.17.121.rgRlsT(srgrg lrCls.lrCis16.39PlrCisT,lrClrC rg lrCls16.26MkMk16.42 16.
4 6а. 16.42PlrQ ( rg A)16.1 0rg lrC(16.49. 16.5.krgk,16.5016 . 49.о.2k rg1.A k,16.36 16.52.1, 1 ; rg А16.53. У к а з а н и е. Пусть порядок матриц А и В равен + Тогдаиз задачи<следует, что+<+ Поэтому либолибо< k.16. 54. У к а з а н и е. Использовать результаты задачи16. 55. А = п , еслиА == если А = п = О, если< п - У к а з а н и е. В случае, когда= п - воспользоватьсярезультатом задачи16. 56. А = хут , где столбцы х, у удовлетворяют соотношению хт у = О.У к а з а н и е. В силу результата задачиранг такой матрицы равениили Далее использовать задачи16. 57.
А = ±1 или А = хут ± 1, где столбцы х, у удовлетворяют соотУ к а з а н и е. Пусть А i= ±1. Тогда в силу задачиношению хту =одна из матриц А - 1 или А + 1 имеет ранг Пусть+ = ТогдаА + 1 = хут для некоторых столбцов х и у. Так какв силу задачи2А = 1, то хт у =16. 58. У к а з а н и е . Пользуясь определением кронекерова произведения и тем фактом, что в неквадратной матрице либо строки, либо столбцылинейно зависимы, показать, что или строки, или столбцы матрицы А ® Вбудут линейно зависимы.16. 59. У к а з а н и е. а) Используя теоремупривести :матрицу А ® Вэлементарными преобразованиями только строк к квазидиагональной фор-16.52rg Brg2.rg A1.=J=2.16.422.rg A rg B 2k 1.16.52.IA I -:/= О ; rg1, rg Arg16.42 16.4916.43.О1.rg(A !) 1. 16.549.4,Ответы и указ ания к § 1 7414ме, у которой все клетки на главной диагонали равны В.
б) Применитьосновной процесс, приводящий матриц.у А к верхней ступенчатой форме, кклеточным строкам l\lатрицы А � В (см. задачу 3.25) .16.60. У к а з а н и е. Использовать подходящие элементарные преобразования строк и столбцов блочной матрицы (см. задачу 3.25) .16.61 . См. указание к предыдущей задаче.16.62. У к а з а н и е. Вычесть из второго клеточного столбца первыйстолбец, умноженный справа на матриц.у А - 1 В .16.63. У к а з а н и е.
Использовать элементарные преобразования блочных строк и столбцов (см. задачу 3.23) .16.64. У к а з а н и е. Использовать элементарные преобразованИя блочных строк и столбцов (см. задачу 3.23) .16.65. У к а з а н и е. Воспользоваться теоремой 16. 10.§1717.4. Размерность равна 1 . 17. 5 .
Размерность равна 2.17.6. Размерность равна 1 .17. 7. Пространство бесконечномерно.[п + 1 ] .[п17.8. Размерность равна: 1 ) 2 ] + 1 ; 2)2О<х17.9. У к а з а н и е. 1 . Рассмотреть функции fa (x) = О прих 1.приесли О < х2. Рассмотреть функции вида f ( х ) = О, х , если<х 1 .17. 10. Нет, система линейно зависима. 17. 1 1 .
Да.17. 12. Да.17. 13. Нет, их количество меньше п = 4.17. 14. У к а з а н и е. Использовать результат задачи 1 5 .25.+17. 15. У к а з а н и е. а) Разложить этот вектор х по базису: х =. . . + a n en , и пусть i= О. П оказать, что вместо е 1 в базис е можно включитьвектор х . б) Воспользоваться теоремой 1 7. 1 .17. 16. У к а з а н и е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
