Том 1 (1113042), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Применить теоремы 1 7.2 и 1 7.3.17. 17. Например, e i , е 2 , ез = (О, 1 , 1 , 0) , е4 = (0, 0, 0, 1 ) и е � = ei , е� = е 2 ,е � = (О, 1 , 1 , 1 ) , е � = (О, О, О, 2) .17. 18. Например, двумя многочленами и - 1 .17. 19. Например, тремя матрицами � � �� � � gg�17.20. У к а з а н и е. Р ассмотреть матрицы Е1 + Е2 + Ез , Е1 + Е2 + Е4 ,Е1 + Ез + Е4 , Е2 + Ез + Е4 .17.21. 2 а + З Ъ - с = {- 1 2, -2 } , 1 6 а + 5 Ъ - 9 с = О.17.22. c = l a + l b, d = O a - 2 b.17.23. -5 а + Ь - 6 с + d == О, З а - Ь - с - d = { 1 , - 7, -3} ,17.24. x = l a + l b + l c, у = О а + 2 Ъ + О с, z = O a + l b + l c.17.25.
При попарно различных а , '"'! ·17. 26. а) x + y + z = О; б ) х, у, z некомпланарны; в) 2 х + у :._ z = О.17.27. B D = { - 1 , 1 } , СО = { - 1 /2 , - 1/2}, I<D = { - 1 , 1 /2} .�17.28. АМ = { 1 /2, О} , АО == { 1/3 , 1/3} , NIO = { - 1 /6, 1 /3} .�17.29. АВ = {3/5, -2/5} , ВС = {2/5, 2/5} , CD = { - 2/5, 3/5} , DA{ -3/5, -3/5} .°'{а{аа-<< а ,<< а ,<аа 1е 1а1[t5 t5J, [J, [J.{3,---+-���----+���Отв еты и указания к § 1 7�415---?==--4'---?{-1, 1, 0}, ВС == {0, -1, 1}, АС == {-1, 0, 1 }; б) KL =={-1/2, 1 / 2, О }, PQ == { -1 / 2, 1/2, 0}, CN == { 1 / 2, 1 /2, -1 }, МР == { 1 /2, 0, 0},�KQ = {-1/2, 1/2, 1 / 2 }; в) 08 == { 1 / 3, 1/3, 1 /3}, K S = {-1/ 6, 1 / 3, 1 / 3 } .�---+nmпm17.31.
а ) ОМ = {}; б) ОN == {,,}.n+m n+mn-m m-n17.32. АС = { 1 / 4, 1 }, АМ1 / 5, 4 /5 }, A S == {0 , 4 /3 }, S M{{1 / 5, -8/15} .17.33. А = { -1, 2, -1, 1 } . 17.34. А = { 1, 1, -1, 1, 1, 1 } .рр17.35. p (t) = { р(а) , р, (а) , " (а) , "' (а) , . . . , р <11.> (а) } .2! 3!п!17.36. { 4, 2, -3}.-1о1 оо1 -1оо -2оо оо1 оо117·37· Q ==Оо О1 О1 О1 о1 о1 ' ( �� ' · · · ' �� ) т = Q ( 6 ' " ' �в ) то о о о -2 1, ( �� , �� , шт = Q (6 , 6 , 6) т .11.зв. Q =17.30.
а) АВ---?����---?---+�==�·17.39. Q ==[ -� -j -i ]l[ 81 -2!-5 i --3� ] ,3 /4 1 / 4 1 / 2 ][ 1 /4 3/4 1-1/2·( � � , �� , �� , �� ) т = Q( 6 , 6 , 6 , �4 ) т .о17.40. Q =, ( �� , �� , �� ) т = Q ( 6 , 6 , 6 ) т .оо17.41 . а) Поменяются местами i-я и j-я строки; б) поменяются местамиi-й и j-й столбцы; в) все строки, а затем все столбцы перепишутся в обратномпорядке.17.42. а) s - 1 ; б) sQ - 1 •17.43.
а) Каждый вектор fi коллинеаренi = п ; б) fi = a i i =...г) каждыйп; в) каждый вектор fi линейно выражается черезлинейновыражаетсячерезвектор fi1,17 .44. У к а з а н и е. Воспользоваться определением базиса и теоремой1,ei,e,,;,e,е1,еi12ei , ei + , еп .17.1 .17.45. У к а з а н и е. Так как e , е , . . . , линейно зависимы, то сущеeml2ствует нетривиальная линейная комбинация {31е1 + . . . + f3m ern = О . Пусть{31 -:/= О. Тогда, так как е2 , .
. , em также линейно зависимы, то существует нетривиальная линейная комбинация 12 е 2 + . . . + '"'/m e m О . Пусть {3L::: 1 {Зi и = L:::2 '"'/i отличны от нуля. Тогда линейная комбинация 1 ( !31 el +. . . + f3m e m ) - {3 ( 12 е 2 + . . . + '"'fm e m ) - искомая.17 .46. У к а з а н и е. Пусть Q - матрица перехода от f к е. Так как онаневырождена, то среди миноров k-го порядка, стоящих к первых k столб.
. ..=='"Уцах, обязательно есть ненулевой. Номера строк, в которых он находится,и определяют требуемый набор векторов из базиса f . Чтобы убедиться вэтом, достаточно составить матрицу перехода от f к вновь построенномубазису.17.47. Нет, не обязательно. :Можно, например, взять векторы = e lи f2 =Тогда f1 + f2 + = () .17.48. У к а з а н и е. Использовать задачуе2е2 - ез - е 1 .ез!115.31.-416Ответы и указания к § 1 917.49. У к а з а н и е. Использовать задачу 1 5.30.§ 1818. 1. а,б,в,д ) Нет. г) Да .18.2. а,г,д) Нет. б ) Да, только если прямая проходит через точку О.в ) Да.18.3.Vз , множества векторов, концы которых лежат на некоторойпрямой или плоскости, проходящей через начало координат.18.4.
а,б,в,д,ж ) Да. г,е ) Нет. 1 8.5. а,б,в,д,е ) Да. г, ж,з ) Нет. 18.6. Да, в обоих случаях. 18. 7. Множество из одного вектора; всепространство V .18.7. 1. У к а з а н и е. ПустьиIR:(1Покажем, что - линейное многообразие. Для этого достаточно показать,является линейным подчто: а) множество=пространством; б )гдепроизвольный вектор изВ силутеоремы 18.
1 для доказательства а) достаточно воспользоваться соотношениями:(1IR,{ О },ЕЕЕР.Р+о.)х2\/х1,хо.х1\/о.2Р L = {у х 1 - x2 l x 1 , х2 Е Р }Р = х1 + L , х1Р.\/о. Е \/х 1 , х2 Е Р : о.(х 1 - х2 ) = [о.х 1 + - а:)х 2 ] - х2 ,\/х1,Х2 ,Х3 , Х4 Е Р : (х 1 - х2 ) + (х3 - Х4 ) = [2 Х1 +2 Х3 Х 2 2 Х4 ] Х2 +2 Х4 .Для обоснования же б ) отметим, что\/у Е х 1 + L => 3х 2 ,хз Е Р : у = х 1 + х2 - хз = 2х 1 2- хз + 2х2 2- хз Е Р.-+__18. 7.2.
Да, во всех случаях.18. 7.3. а,б,г,д) Нет; в,е,ж ) да. Образует подпространство в пункте "е".18. 7.4. Да во всех случаях; размерность равна 1 в пункте "в", равна 2в пунктах ' 'а б г д е" равна 3 в пункте "ж''18. 7.5 . а,б,в,г,д) Да; е ,ж,з,и ) нет.18. 7 .6. а,б,е,ж,з ) Да; в,г,д ) нет.18.8. У к а з а н и е. Необходимость: учесть, что ()18.9. У к а з а н и е.
Показать, что в этом случае18. 10. У к а з а н и е. Если ei , . . . , e k - базис ивектор сдвига, торассмотреть векторыei , . .18. 1 1 . У к а з а н и е. Для .множества векторовлинейногомногообразия рассмотреть векторы18. 12. У к а з а н и е. Если- заданная система векторов, тоа направв качестве вектора сдвига искомого многообр азия можно взятьляющим подпространством - множество всевозможных линейных комбинаций векторов18.
13. У к а з а н и е. Применить построение из решения задачи 18.12.''''.'Ехо ЕР.L.хо, хо + , хо + e k . Lх 1 ,ххо2 , . . . , x k + 2.,...,Xххх11k+22,,...,xхо х 1 kхо ,х 1 - хо , . . . , X k - х о .-.§ 1919. 1. Система несовместна. 19.2.-3, z = 2.-2,19.4.3,-2,z3.19.3.
= 2,= 4, z 5.==19. 5. При Л -2 система несовместна; при Л -:/= -2:х2..\у = Л ++ 72Л .у===хх = у у == =2-..\х == Л- +7..\2 + 10Ответы и указания к §20417При Л = -3 система несовместна; при Л = 3: х = 1 - у, у Е IR; прил =1= ± 3 : = лл ++ 31 ' у = л-2+ 3 .а ,б ) Да, является. У к аз а н и е. Показать, что матрица , составленная из строк a i , а2 , . , an, невырождена.19.8.
У к а з а н и е. Показать, что для определения f(t) требуется решить систему с невырожденнойматрицей.2=19. 10. f(t) t - 5t + 3. 19. 1 1 . f(t) 2t 3 - 5t 2 + 7.19. 12. У к аз ан и е. Показать, что матрица системы для нахождениякоэффициентов многочлена f(t) треугольная.19. 13. У к аз а н и е. Искать многочлен f(t) в виде f(t) = G o + G1 (t- tn ) n .t i ) +19.G2(t14.- t2)У 2к +аз. ан. .
+и Gn(tе . Искать многочленв видеif(t) = (t - t 2 ) l+ l L.:7=o G i (t - t1 ) + (t - t1) k +l L.:�=O Gj (t - t 2 ) j .19. 1 5 . У к аз ан и е. Свести задачу к системе уравнений с квадратнойневырожденной матрицей.19. 16. У к аз ан и е. См. указание к предыдущей задаче.2 2 2 2 2 2 2 2 219.6.х19. 7...==-х ь + сЬс- а ' у = а +2сас- ь ' z = а +2аЬь -2 с 2 2 2 2Определитель системы равен -(а +Ь +с + d ) .(b - ai )f(b)n (х - а ).=19.
19. X k = пi# kгдеf(x)пi=;)!'('lп i# k ( a k - ai ) (Ь a k ak )f1 9 . 20. X k = ( - 1 ) п + k �� П bi ik а · ) ' где Jik есть сумма всевозможныхi=l i #i ( ai з19. 17. =219. 18. У к аз ан и е.-·-произведений по п - k из п - 1 чисел a i , . . . , ai - 1 , ai+1 , . . . , an .-l19. 2 1 . X k = (п( ak - ai)) t bifki , где СИМВОЛ fk i имеет ТОТ Жеi= li;i kсмысл, что и в задачеk 19.21.P19.22. X k = (-1) 1 n - k , где Г i есть сумма всевозможных произведениипо i из п чисел 1, 2, .
.п.. , п и Ро = 1.а Li;i k Ci19· 23· X k = Ck Ь -g(а a k) (Ь - а) [Ь + (п - l) a] ·19.24. X k =f' ( a k) , где g(x) = (х - Ь1)(х - Ь2 ) . . . (х - Ьп ), а f( x ) тот же многочлен, что и в задаче 19.20. У к аз а н и е. Использовать задачу8.25.19.25. У к аз ан и е.
Продифференцировать п раз обе части равенстваf(t)h(t) = g(t) и составить систему относительно f, J', . . , f( n ) .19. 26. У к аз а н и е. Умножить обе части равенства Ах = Ь на присоединенную матрицу А слева.19.27. Нет, неверно.0v.-§ 2020. 1 . Утверждения1 , 3, 5, 6.418Ответы и указания к §21А == m < п . 20. 2 . 1 . rg А = m = п .У к аз а н и е. Использовать теорему 20 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
