Том 1 (1113042), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Пользуясь методом Гаусса , перейти к эквивалентной системе с верхней трапециевидной матрицей.2 1 . 58. У к аз а н и е. Воспользоваться результатом задачи 21 .57.2 1 . 59. а , в ) п = m = rg A; б,г) п > m rg A; д) ни одна система необладает указанным свойством.21.60. У к аз ан и е. Необходимость: воспользоваться равенством ьт у ==хт А т у. Достаточность: так как системы Ат у = О и ::: 0° • эквивалентны , то силу утверждения задачи 20.8 строка ьт линейно выражаетсячерез строки матрицы Ат .21 .62. У к аз ан и е.
Умножить обе части равенства А т Ау = О навектор-строку у т слева .21.63. У к а з а н и е. Воспользоваться предыдущей задачей и теоремойФредгольма ( задача 21 .60).[][]-=={в§ 2222. 1 . Любой базис пространства IR4 .22. 2. e i (-7, 3, 0, О)т, = (5, 0, 3, О)т.22.3. e i = (О, О, 0, 6, - l}т,(0, 1, 0, 2, О) т , ==22.4. Система имеет только нулевое решение.22. 5. 1 ( 1, 1 - 1 , 1 )т .22.6. е1 = (2, - 1 , 1 , 0, О) т , е 2 = (8, -2, О, 1, О)т.22. 7. 1 = ( 1 1 , -3, - 3 , 7) т .22.8. e i = (-1 , 1 , - 1 , 1 , о) т , = (3, -3, 3, о, 1) т .=е = ,е ,е2е2=е2е з (0, 0, 1, 5, О) т .Ответы и указания к §2242222.9. Система имеет только нулевое решение.22.
10. e i = (2, О, -5, 7) т , е 2 = (О, 1 , 5, -7) т .22. 1 1. e i ( 4, О, О, -9, 3) т , е 2 = (О, 2, 0, -3, l)т, ез == (0, О, 1, -2, l) т .22. 12. e i = (1, 1 , 1 , о, о )Т ' е 2 == (- 1, о, о, о , 1, О) т' ез = (О, -1, о , о , о , l) T .22. 13. e i == (О, 1 , 3, О, О) т , е 2 == (О, -2, О, О, 3) т .22. 14. Например, ei = (l , O, l , O) , е 2 = (0, 1 , О, ) и е� = е 1 , e � = (l , 1 , 1 , 1) .22. 15.
Х = Q 1 (7, -5, 0, 2)Т + а 2 ( -7, 5, 1 , О)Т.22. 16. х == а1 (-9, 3, 4., О, О) т + а 2 ( -3, 1, 0, 2, О) т + аз (-2, 1 , 0, 0,22. 17. х = а1 ( -9, -3, 1 1 , 0, О) т +а 2 (3, 1 , 0, 1 1 , О ) т +а3 (- 1 0, 4, О, О, i l ) т .22. 18. х = а1 (-3, 2, О, О) т + а 2 ( 5 , 3, О, О,22. 19. Если п i= 3 k + 2, то система имеет только нулевое решение. Еслио ' -1, 1 , о' . . .
' о ' -1, 1) т .п3k + 2 ' то х = Q (22.20. х = (О, 0, 2, -l) т + а1 {13, 0, 9, -l ) т + а 2 (0, 13, -27, 3) т .22. 21. х == (2, 1, -1, 0, 1 ) т + а1 (1 , 0, 4, О, -1 ) т + а 2 (0, 1 , -8, 0, 2) т .22.22. х = (2, -2, 3, - l ) т + а1 (-13, 8, -6, 7) т .22.23. х = (О, -6, О, - 4, 2) т+а1 (1, О, -2, -4, -4) т+а 2 ( 0, 1 , -1, -2, -2 ) т .22.24. х == (3, О, -5, l l) т .22.25.
x= ( l, 1 , 0, -2, 0, О)т + а1 (-4, О, О, О, - 1 , 3) т + а 2 (-1 , О, О, 1 , 0, О)т+аз (-3, 1, о , о, о , о ) т .22.26. При Л == О система несовместна. При Л == 6 размерность равнадвум, при остальных значениях Л равна нулю.22.27. При Л = 2 система несовместна. При Л = -1 р аз мерность равнадвум, при остальных значениях Л равна нулю.22.28. У к аз ан и е. Переменные Х4, х 5 не могут быть выбраны свобод==1,11) т .1,-1, 1,==-1) т .--ными неизвестными, и следовательно, 4й и 5й столбцы основной матрицысистемы входят в любой ее базисный минор и потому не выражаются черезостальные столбцы.22.
29. Х1 , х 2 ; Х1 ' Х4; Х 2 , хз; Х 2 , Х5; Хз , Х4; Х4, Х5 .Х1 = -2Х 2 ,== О,+2хх1Х2 Х ,22 . 30 . а) х 1 + 2 Х 2 - хз+Х 4 - О·' б ) { 2х 2 - Х3 - Х4 = О; в )Х3 === Х4з .У к аз ан и е. Согласно формуле общего решения любое решение искомой системы х = ( х 1 , х 2 , хз , Х4 ) т линейно выражается через векторы указанной системы, т.е. система G1 Y 1 + . .
. + Gk Yk = х относительно неизвестныха1 , . . . , й k совместна.- Х 2 + Хз - Х5 = о ,22.31. а) { 2х 2 +5х110хз- Х4 - 1 4х 5 == О;б,в ) У к аз а н и е. Добавить к системе из а) любые уравнения, являющиеся ее следствиями.22. 32. а ) У к аз ан и е. Построить любую систему, единственным решением которой является вектор У 1 .х1 + 3х 2 == 3,x 1 + 2x 2 = -l,3,хз+xЗб ) 2х1i - 3х4 О, в) х 2хз- -хзХ4== =-3,2, г) Ох1 + Ох 2 + Охз + Ох4 О.Х4 - Х5 = -3;х 1 - 3х5 = О ;У к аз а н и е Если линейное многообразие задается. принадлежащимиему векторами у1.
, . . . , Yk ( k > 2) , то в качестве вектора сдвига можно взять_{===={4{==Ответы и указания к §23423У 1 , а направляющее подпространство описать однородной системой уравнений, Ф.С.Р. которой является максимальная линейно независимая подсистема совокупности векторов У2 - У1 , . . . , Yk - У 1 .22.33. Нет, так как вектор у2 линейно не выражается через другуюсистему.22.
34. Нет, так как ни один вектор Yi линейно не выражается черездругую систему.22.35. Да.22.36. Нет, так как вектор zз линейно не выражается через другуюсистему.22.37. У к аз а н и е . Пусть свободными в системе являются ее последниер неизвестных. Тогда базисные :миноры ( порядка р) МА в матрице А и Мвв матрице В оба расположены в последних р столбцах и С == Мв МА.
1 .22.38. У к аз а н и е. Ф.С.Р. содержит один вектор._22.39. У к аз ан и е. И �ользовать то, что присоединенная матрица Аудовлетворяет равенству АА == О.22.40. У к аз ан и е. Воспользоваться предыдущей задачей.22.41. У к аз а н и е. Дописать к основной матрице системы любую еестроку и разложить определитель получающейся квадратной матрицы поэтой строке.
Далее воспользоваться задачей 22.38.22.42. Частное решение: х = (-2 , -6, 7) т . Общее решение: ах, а Е IR.22.43. Частное решение: х == (3, 2, О) т . Общее решение: ах, а E. IR.22.44. Частное решение: х = (-6, 1 1, -9, 4) т Общее решение:ах , а Е JR .22.45. Частное решение: х == ( 3, О, 2, О) т . Общее решение: ах, а Е IR.22.46.a d - Ьс.22.47.
:rviатрица А и столбец Ь нулевые . У к аз а н и е. Рассмотреть вкачестве х нулевой вектор и единичные векторы пространства IRn .22.48. У к аз а н и е. Столбцы В суть решения системы Ах == О.22.49. Ранг расширенной матрицы систе!\.fЫ должен при вычеркиванииk-го столбца уменьшаться на единицу.22. 50. 2) k ( n - rg A) . У к аз ан и е. Если х - столбец, составленный изэлементов искомой матрицы Х, зануl\fерованных по столбцам , то А 1х = О,где А1 - блочная матрица, диагональные блоки которой равны А, а внедиагональные являются нулевыми матрицами .22. 51. 2) nk - rg А rg В.ед)=§ 2323.
1 . а) А(О, О), В( 1, О) , С(3/ 2, 1 / 2), D(l, 1), Е (О, 1), F (-1 / 2, 1 / 2);б ) А(О, О), B( l , О), С(3 / 2, v'з/ 2) , D ( l , JЗ) , Е (О, J3) , F (-1 / 2, v'з/2) .23.2. С(5, 3), D(2, 7) или С( - 1 , -5), D(-4, -1) .23. 3. а) М1 (-х, -у) ; б) М1 (х, -у ); в ) М1 (-х, у) ; г) М1 (у, х) ;М1 (-у, -х) .23.4. D(l, -2). 23.5. D( l l , 7) . 23 . 6. 1\1/ ( 12, - 1 1).23. 7. а) М1 (-х, -у, - z ) ; б )(х, у , - z ) ; в) М1 (-х, - у, z ) .23.8. а) Мо (х, О, О); б ) Мо (О, у , z ) .23.9. а) C ( l , 1 , 0), В 1 (1, О, 1), C1 ( l , 1, 1); б) /( (1 / 2, 0, 1), L( l , 1 , 1/2) ;А11в ) M (l/2, 1/2, 1), N ( l/2, О, 1 /2); г) 0 ( 1 / 2, 1 / 2, 1 / 2).23.
10. (1 / 3, 1/3, 0) для грани АОВ; (О, 1 / 3, 1 / 3) для грани БОС;( 1 / 3, О, 1/3) для грани СО А; (1/3, 1 / 3, 1/3) для грани АБС.23. 1 1 . 1) (-8 / 3, 5/3) ; 2) (9, 5); 3) (-22/3, 1 /3); 4) (1/4, 5 / 2).424Ответы и указания к §23О) (О,(О, О); у=23. 12.23. 14.23. 1 5.23. 16.23. 1 7.23. 20.23.23.23.24.О1 ) (- 1 , 5) ; 2)3) ( 1 /2 , 1/2) . 23. 13. В( , -7) .( 1 1/5, и - 1 1 ) .( У 1 + У2 + Уз ) /3.х = (х 1 + х 2 + х з ) /3,( -3, 3) , (7, 5) , ( -3, -3) .C( lO, 9) , D(4, -4) . 23. 18.
4. 23. 19. С( , - 1 ) , D (4, -4) .А(3, - 1 ) , В(О, 8) . 23. 21. В( -3, 16/3) . 23. 22. - 2.А( 160, - 131) , В(-225, 184) .1+v1+µ(BNO). У к аз а н и е. Ввести систему, (СМО)координат так, чтобы µ В( , 1 ) , C( l v,23.26. (АМ К) = 3, (BN К) == 3/5.23.27. Центр 5) . 23.28. (-2, 1 ) .23. 29. 1) (3, 2/3, 2) ; 2) ( -30, 8, 13) ; 3) ( -6/5, 8/5, 17 /5) ;4) (21 /2, - 1 , - 1/2) .
23.30. (3, о , 5) .23.31. А( 14/3, -8, 12) , В( - 1 1 /3, 7, - 13) и остальные точки деления:D(4/3, -2, 2) , Е ( - 1 /3, 1 , -3) .23.32. С(4, -5, -2) . 23.33. 7 /2 , 1/5, - 1 /2.23.34. Пересекаются в точке (-3/2, 5/2, 1 1 ) .23.35. Пересекает ось Oz. 23.36.
А( -5, 4) , В(- 12, 5) , С( - 7 , 3) .23.37. 0 ' (6, -2) , е � = { 1 , } , е� = {О, 1 } ; 0(-6, 2) , е 1 { 1 , О } , е21}.23.38. A(3J3, 1 ) , В( '13/2, 3/2) , С(3, - '13) .23.39. M(J2, 2J2) , N(-3J2, 2J2) , P(-J2, -2J2) .1 , vГз ,JЗ х , - 1 у , + 2. 23 .41 . А(2, 3) .23.40. х - 2 х - ТУ - 4,221Гn11 / 1 '23.42.
1 ) х v12 x - V2, + 1 , у = v12 x + y + 1 - v 2; 2 ) х -х ' + 4,J23JЗ1J3,3J3, 1,у + 2 , у = 2 х + "2 у , ; 4 ) х -у , ,у = - у, + 8; 3 ) х = х -2Т2у = х ' + 4. У к аз а н и е. Показать, что � = - С) $ + С �; ,где (о., /З) - координаты точки А, а С - матрица поворота на угол ер .23.43. C(-3J3/2, (5 - 4J3) /2) .23.44. D ( -5, 7) , С( , 9) или D(- 1 , -3) , С(4, - 1 ) .23.45 . В(5/2, 7/3) или В( -5/2, - 13/3). У к аз ан и е. Выполнить пово�( - �� ) .рот вокруг точки В на угол 7Г - 223.46. 2. У к а з а н и е. Принять указанную ось за одну из осей новойО=А (О,. О), О=О).(О,О{О,у=====Y/=1( )( ) (!=( )Оarctg = arccosсистемы координат.23.47.
С(4, 3) , D(-2, -5) . У к аз а н и е . Выполнить поворот на угол 1Г /2вокруг середины отрезка АВ .23.48. В( - 1 + 2JЗ, -JЗ - 2) , С(- 1 - 2JЗ, J3 - 2) .23.49. С(5 ± VЗ, ±2J3) , D( l JЗ, 2 2JЗ) .23. 50. ( хо + (х 1 - хо)- (у 1 - Уо)Уа + (х 1 - х о )27Г(k - 1 )Yo ) cos o.
k ) , гдe o. k = ±23. 5 1 .cos Ct.k±±sin Ct.k ,si n Ct.k + (у1 -.1 ) х = 2х ' + 7у' + 3, у = 5х ' + 9у ' + 1 ; 2) х 5х ' + 3, у == 4у ' + 5;3) х = -7у ' , у = 2х ' + 2; 4) х = ах', у = Ьу' ; 5) х = Ьу' , у = ах'.п==425Ответы и указания к §231 1 , 1 ,7 2 , 1 ,23.52. х = - - + - х + - у ' у = - + -х - -у · х ' = х + у - 2 ' у ' = 2х - у + 3·'3 333 33 'О ' ( - 1 /3, 7 /3) , е � = { 1/3, 2/3}, е� = { 1 /3, - 1 /3} ; 0(-2, 3) , ei = { 1 , 2} , е 2 ={1 , - 1}.23. 54. 0 ' (3, -2) , е� = {2 , - 1 } , е 2 = { -5, 2}.
23.55. ст С = l.23. 56. х = 6х ' + 4у ' - 4, у = -2х ' + 6у' + 2.23. 57. 0(0, О) , А( 4/3, -2/3) , С(2/3, 2/3) , В(-2/3, 4/3) .23. 58. х = -х ' - у ' + 2, у = -х ' + у ' + 1 .,2 , 2 , 223. 59. х = - 3 х , + 52 У + 3 ' у = - 5 х - 5 У + 5 ·5523.60. х = -х ' - 2у ' + 2, у = -2х ' - у ' + 2.3364823.61 . х = - 3 х ' - 4 У ' + ' у = 54 х - 5 У ' +55252523.62. 1 ) х = 2х ' + z ' + 2, у = 4х ' + 4у ' + z ' + 1 , z = х ' + 4у ' + 3;2) х = 4х ' + 5у ' +3z ' + 1 , у = 2х ' +Зу ' + 2z ' + 1 , z = х' +2у ' +z ' + 2.23.63. а) О ' ( - 1 , 3, -2) , е� = { 1 , - 1 , - 1 } , е � == { 1 , О, - 1 } , е ; = { 1 , 1 , О} ;б) О ' ( - 1 , О , 1 ) , е � = { -2 , О , 1 } , е� = { - 1 , - 1 , 3} , е� = { - 1 , - 1 , 1 } .·/з,1 , 1 ,- - у - -1 z , + 1 ' у = -х + 1 z = -5 х , + - у - -1 z , - 1 '·23 . 64 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
