Том 1 (1113042), страница 73
Текст из файла (страница 73)
От получающего определителя перейти к новому определителю Коши,но на единицу меньшего размера.( 1 ! 2! . . '. ( п -( 1 ) !) 3 ' ' У к а з а н и е. Воспользоваться предыду8.26. '2 - l)l)(щей задачей.8.27. (и использовать тож) У к а з а н и е. Найти2дество det ( AAт) = ( det A ) •8. 29. О, если > 2 , и f ( ) если = 1 .8.30. У к а з а н и е. Разложить в произведение определителей.8.31.
( - l)n- l ()8.32. (- l )n ( (x - l)n - x n ) . У к а з а н и е. Из каждой строки вычестьпредыдущую, в правом нижнем углу положить 1 = + ( 1 - ) и представитьв виде суммы двух определителей.( - l ) (x 2 1 ) . . . ( - 1 ) ) П (xi 8.33. (mвтАт А А,a i , а 2 , . .
. , ап ,-а1 а2 . . . an = a 1 a2 . . . ak ak+ 1 a k+2 . . . an + a 1 a2 . . . ak - 1 (ak+ 2 ak+зп. п + . . . . п .А Ата2 + Ь2 +с2 + d2 2 .пi a1 , пЬ1а2 аз . . . ап + Ь1 Ь2 аз . . . ап + . . . + Ь1 Ь2 . . . Ъп - 1 аn ·х ххп n �i>k�1 X k ) ·х 1 х2 . . . Xn - х 1У к а з а н и е. Элементы 1-го столбца представить в виде Xi (xi - 1) и раз-ложить определитель в разность двух определителей.-Ответы и указания к §8401П (xi - X k ) ·1 2 . . . Xn - ( - l)(x2 - 1) . . . (xn - 1)) n �i>k�1У к а з а н и е. Приписать первую строку 1, О, О , . .
. , О и первый столбец из единиц, затем первый столбец вычесть из остальных, единицу в левом верхнемуглу представить в виде 2 - 1 и разложить определитель в разность двухопределителей.n8. 35. 1 + L.: (ai + bi ) + L.: (a i - a k )(b k - bi ).i= l1$i< k$ n8.36. (-l) n ( 1 - - f: Xi Yi + L,: (xi - X k )( Yi - Yk ) ) .i = l 1$i< k $ nУ к а з а н и е. Использовать пример 7.
8 из §7.n8.37. x n + x n - l L,: (ai - bi ) + x n L,: (ai - a k )(bi - bk ) ·i1$i<=k $нlУ к аз а н и е. Разложить определитель на сумму двух определителей относительно каждого столбца и воспользоваться результатом задачи 7.118.8.38. О , если > 3,( - 1)(1 - ) если = 2, иесли = 1 .8.38 .
1 .П (ai - aj ). У к а з а н и е. Рассмотреть определитель�i>j�On108.34. ( 2 хх1хn2пхаР а 2оа ,паР - х ,пааоАогде А - матрица исходного определителя.s . з 9.(-1) n (xn - xn - ia:;_=-n .8.40. a i a2 . . . an (i + � + � + . �).аaai2n2l)8.41. (-l) n(n / (ao - a i + - . . . + (-l) n a n ).8.42. 1. У к а з а н и е . Пользуясь равенством г) из задачи 6.1, вычесть изкаждого столбца предыдущий, а затем из каждой строки предыдущую.8.43. 1. У к а з а н и е. См. указание к предыдущей задаче.8.44. 1. У к а з а н и е. Из каждой строки вычесть предыдущую.8.45. (-l) n ( n +l ) / 2 • У к а з а н и е. Из каждого столбца, начиная со второго, вычесть предыдущий, затем из каждого столбца, начиная с третьего,"а2+вычесть предыдущий и т.д. То же самое проделать со строками полученногоопределителя.8.46. 1 . У к а з а н и е.
Из каждой строки , начиная со второй, вычестьпредыдущую , затем из каждой строки, начиная с третьей, вычесть предыдущую и т.д.8.47. У к а з а н и е. См. указание к предыдущей задаче.У к а з а н и е. Из каждой строки вычесть предыдущую и8.48. ( х= (хпоказать, что8.49. У к а з а н и е. Пусть == im. Тогда заметить, что в k-м столбцестоят одинаковые многочлены k-й степени отТак как определитель неменяется при прибавлении к его столбцам линейных комбинаций другихстолбцов, то его можно привести к определителю с элементами = х{ /j!(mj /j! ) ij .1. - l) n .Dn +l- 1) DnXi.Xi .bij402Ответы и указ ания к §9п ( a i - Gj ) ;n � i >j � lб) х ( Q } + + Q ) -n ( n - / 2 п (ai - Gj ) .n �i >j � l8. 50.
а) е(сч + " . + ат� )х§99.2.9.4.н1)TL• • •6 58 7].9.3.ьаа 2 ь2 [ - Ь а ] .1+129.6.-9.8.-12[[[[1 1 о1 о 1о 1 1[COS Q- SШ Qsin aCOS Q].[ =� ]]· [ J �]· []·[]·9.5.9. 7.41 -31 239 -751 -1-1-�о2-17о -21]·о -31о .о41 -11о119.9.11о-1 1 -1о1 -311- -4о29. 1 1.93 -36ооо]·]·11 2оооо1-2о9. 10.оо 1 -1ооо о -13о -2 о 1о 1 о-29. 12.о1 о о1о о о9. 14. У к а з а н и е. Равенства в) и г) доказать сначала для невырожденных матриц А , В, а затем воспользоваться непрерывной зависимостьюэлементов обеих частей равенств от элементов рассматриваемых матриц.9. 1 5 . Например, матрица, у которой i-й столбец и j-я строка нулевые, апри вычеркивании i-го столбца и j-й строки остается единичная матрица.9.
16. Матрица А ( aij ) Е IRn x n , в каждой строке и каждом столбце которой стоит ровно один положительный элемент, обладает требуемымсвойством. У к а з а н и е. Для доказательства единственности рассмотретьматрицу А , в которой a ir , ais > О для некоторого i, и , проанализировав элементы { АА -l }ij при всех j -:/= i, показать, что detО.а) поменяются местами i-й и j-й столбцы; б) i-й9. 18. В матрицестолбец разделится на а; в) из j-го столбца вычтется i-й, умноженный на=А=л- 1 :{3..]6Л 1, Л 2, .
. . , Л n - 1[9. 21. 2) Треугольное разложение не единственно. 3) Например, �отУ к а з а н и е. 1 ) Показать, что если главные минорыличны от нуля, то квадратную :матрицу можно привести к верхнему ступенчатому виду, пользуясь элементарными преобразоваl_iиями строк толькотретьего типа. Затем воспользоваться задачами 2. 1 и 9. 1 9.9.
22. а)[� �][6 6];б)[ � � � ] [ g -! -� }Ответы и указания к §9403]i ]6]]i[ 81 [ = -10� [ 1! �1 �1 81 [ g g 00 0! .[ � ? ] [ 6 � ] [ 6 j ];6 ) [ 6 ? � ] [ 6 ? g ] [ 6 i 8] [ 6 ? 8 ] [ j ? g ] [ 6 ? g ]0 0 1 0 0 1 0 0 10 1 1 0 0 1 0 0[ -1/-�2 1-�/2 1 /{2 ] . [ -;��-2 -i1 =i��1 ]] .[ 21 //99 21/9/9 -22//99 ] . l g -g1 6 g1 .2 / 9 -2 / 9 1/9-1[ 6 � � 1� ] 1 [ i i j j ]� .g gi i -i -i .6[ � � ! -g ] . [ g ? � J ] .-111][ j -1 -51 -1i ] [ l /�a1. /.� �� . : . : . .
� .?1 -1 1. . . 1 /ani2 -5?в)о;ог)о о9.24. У к а з а н и е. Воспользоваться предыдУщей задачей.9.25 . Например , а);9.26.в)l9.27._9.28.9.29.9. 30 .9. 31 . 49.32.9. 33.о=__О1 -1 1О 1 -1О О 1ооо1".оооооа-а2з -аа2 -а11.........(-а) п - 1 (-a) n - 2 (-a) n - 3 (-а) п - 4-11 ."-1 " .оо ".оооооооо.1ооО1 1 ". 11 1 ." 1.. 1о 1-а9.40.оО9.35..9.36.9.38 .оОО1оо_оооооО9.34.г·. .
. -а 1( - l ) n- l(-( - ll )) nn -- З21·404Ответы и указ·ания к §91оо9.41.9.42.-21о1-2оооооо1 -2о1оо11о-2оооо1 -11ооо...оооооо-11..о. ..о1о11-1оо -11ооо ...-=- 11-2-31оо о 1о 1 о1 -2 - 31 оо1оооооооQ[4о9.45.оо1-1-Xk+ 1 ,k] 4[]о1оо1- 1 -3и 35- 14 - 101[ ]- 01 29. 5 1 . - о31о211оа- 11оо.о о.о1о -Xn- 1,k ооо-Хпkо5239.52..о ... оа-1 ... О1.....". 1." оа-1.11�].[ ]-1139.49.оооо1о1-1-3[ 6 21 п...
о..ооо.6о оо оо оQо-Xk - 1 ,k112[9.48.-1 4 79. 53.19.43.о1о1п(п + 5) (п - 2)ьгде=nnО2-п 'О1-поо2 - n 1 - n bn n0оо о- X1kоо о- X 2k09.44.9.47.о1 -1о 1ооо2-п.о о оо о ооо ооооо1 1 11 2 23 3 3оо9. 54.о-1ооо ... оо ... оо -1 . " оо1о1ооо-1.о[ � о1 а9. 50..о1.....о " . о -111 ... 19.55. У к а з а н и е. Рассмотреть разложение ее определителя, например,по первой строке как линейную функцию относительно того элемента a l i ,для которого дополнительный минор отличен от нуля.9.
59. У к а з а н и е. Использовать задачу 3 . 1 1 .9.61. а)�, где а + d - 1 , ad - Ьс = 1 ;6) ±1, � ! , где а 2 + Ьс = ± 1 ./, [[�]а]=9.62 . У к а з а н и е. Найти обратную матрипу методом Гаусса-Жордана.405Ответы и указания к §99.63. У к а з а н и е. Воспользоваться предыдущей задачей.9.64. У к а з а н и е. Воспользоваться соотношением пункта е ) задачи2. 52.9.66. У к а з а н и е. Учесть, что I A - 1 1 = 1/ I A I .9.67.
У к а з а н и е. Положив С = (/п + АВ) - 1 , доказать, что( /m - BCA) (/m + БА) = lm .9.68. У к а з а н и е. Пусть A kО. Воспользоваться тождеством21k(! + А + А + . . . + A )(1 - А) = !.1 [ 62 71 ] .9. 70.9. 71 . У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 1. 2 1.109.72. У к а з а н и е. Показать, что J� = nJn .9.73. У к а з а н и е. Использовать задачу 9.7 1 .9. 74.А--- 1 = л - 1 - 1 +hhbji Ti Sj ,где bji == {A - 1} ji , и- i-й столбец , а Sj - j -я строка матрицы А - 1 ·У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 9.
73.9. 75. Пусть - вектор-столбец ( того же порядка, что и А), все элементыкоторого равны единице. Тогдаriел - 1 . У к а з а н и е. См. указание к предыдущей111[ I -В ] [ лО- - л -п1 -вD1 - ] ; в) [ - п-л-1 сл - 1 D� 1 ] ;- 1 л - 1 п - 1 ] · 9.79. [ g -1Аг ) [ - D л -в1оо �� ] ·�]D9.80. Если В - 1 = [ qт' то111__d ( тл- ) , - - dA - qт - dут л - 1 , D - л - 1 + dA - 1 тл - 1где s - сумма всех элементовзадаче.9.78. а ) О lm ; б )- а__ухх,r_ху.9.81 . У к а з а н и е. Привести матриц.у Х к верхней квазитреугольнойформе.9.82. Нет, не верно.
У к а з а н и е. Воспользоваться предыдущей задао о очеи ; рассмотреть матрицу 8 �о 6о[1u]i .9.84. У к а з а н и е. Воспользоваться предыдущей задачей.9.86. Нет, не верно.для любой невырож9.87. У к а з а н и е. Показать, что еслиденной матрицы то это же верно и для любой вырожденной матрицыЗатем применить задачу9.89. Нет.9.91.
Вообще говоря, нет.S,1. 32.AS = SAS.406Ответы и указания к § 1 2§ 1010.6. У к а з а н и е. Применить индукцию по п.10. 7. У к а з а н и е. Применить индукцию по п.10.8. У к а з а н и е. Перейти к характеристическим функциям обеих частей равенства.n '.10. 12. C m = I ()I .nm. n_m .§111 1 . 1 . а) Нет. б) Да, биективное отображение. в) Да , сюръективное отображение.1 1 . 2 . а,б,в) Да. г) Нет. Биективным является отображение п ."б".1 1 . 3.
Да. 1 1 .4. а,б,в) IR х IR IR ; г) IR х ( IR \ { О } ) IR .1 1 . 5. Нет. 11 .6. а) Нет. б) Да .1 1 . 7. Каждому подмножеству ставится в соответствие его характеристическая функция.1 1 . 8. Включение в б) перейдет в равенство.1 1.9. nm . У к аз а н и е. Применить индукцию по m .1 1 . 10. У к а з а н и е. б) Применить инд.vкцию по m .1 1 . 1 1 . У к а з а н и е. б) Применить индукцию по m .1 1 .
12. У к а з а н и е. а) Воспользоваться утверждениями задач 1 1 . l Oaи 1 1 . l l a. б) Показ ать, что это число равно числу всех перестановок из пэлементов.1 1 . 13. Пусть У = { у 1 , . . . , Yk } · Выделим в бесконечном множестве Х \ Упроизвольную последовательность элементов S = { х 1 , х 2 , . .
} и положимSy = { у1 , . . . , Yk , х 1 , х 2 , . . } . Тогда требуемое биективное отображение можно установить по правилу:- каждому элементу последовательности Sy поставим в соответствиеэлемент последовательности S с тем же порядковым номером ,- оставшиеся части Х \ Sy и ( Х \ У ) \ S совпадают, поэтому соответствиемежду ними можно выбрать тождественным., в обратном порядке1 1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
