Том 1 (1113042), страница 77
Текст из файла (страница 77)
6У к аз а н и е. Воспользоваться теоремой 20. 1 .У к аз а н и е. Если Ах = Ь, Ау = Ь, х # у, то А ( х - у) = О и в силутеоремы 20 .5 rg А меньше числа столбцов А.20.8. У к аз ан и е. У систеы одинаковое число свободных неизвестных,а следовательно , равные ранги основных матриц . Далее использовать задачу16.22.20.9. У к аз а н и е. Воспользоваться задачами 2 0 .
8 16.23.20. 10. У к аз а н и е. Как и в задаче 20 . 8 , rg A = rg � и в силу кри20. 2.20. 5.20.6.20. 7.rg.и[[ ]]терия совместности rg[A I Ь] = rg :, 1 � . Далее см. задачу 16.22.20. 11. У к аз а н и е. Воспользоваться задачами 20. 1 0 и 16.23.20. 12. У к аз а н и е. К системам , которым удовлетворяют столбцы матрицы Х, применить теорему 20.
1 .20 13 Q1X ( 1 ) + Q 2 X ( 1 ) + . . . + GkX (k) где Q 1 + Q 2 + . . . + Gk = 1 .20 14 Q 1 X ( 1 ) + Q 2 X ( 1 ) + . . . + GkX (k) ' где Q1 + Q 2 + . . . + Gk = о .20. 15. У к аз ан и е . Воспользоваться определением кронекерова произведения из задачи 2 . 52.20. 16. См. указание к предыдущей задаче.••••'§2121. 1. Система несовместна . 21.2. х1 = 1 , х 2 = 2, хз = -2.21.3.
хз = 2х 2 - х1 , Х 4 == 1 , х1 , х 2 Е IR. 21.4. Система несовместна.5= о , Х 2 = 2, Хз = 3 ' Х4 = - з ·21.5.21 .6. х 1 = 1 , х 2 = 2, хз = 1 . 21 .7. Система несовместна.21.8. Х1 = 2, Х 2 = Х3 == Х4 == 1 .хз21.9. Х1 = - l lxз7- , Х 2 = - 7 , Х3 Е IR.21. 10. Система несовместна. 2 1 . 1 1 . х1 = Х 2 = хз = Х4 = О .21. 12. х1 = -8, Х 2 = 3 + Х4, хз = 6 + 2х4, Х4 Е IR .21. 13. Система7 несовместна.5Х5 ' хз, Х5 Е IR.2 1 . 14.
х1 = 6 х5 - хз, х 2 = 6 х5 + х з , Х4 = 321. 15. х = -l 6+хз +х4 +5х5, х 2 = 23- 2хз - 2х4 -6х5 , Х3 , Х4, Х5 Е IR.21. 16. Х1 = Х 2 = Х3 = о , Х4 Х5 ' Х5 Е IR.5Х5 , X 3 , X 4 , X 5 E lR.1 + Х52 1 . 17., х 2 = 31 + х з + Х4 - 34Х1-1==3Х5Х5Х5 ' Х5 Е IR.21. 18. х 1 = - 2 , х 2 = - 1 - 2 , хз = О , Х4 = - 1 - 21 + 5х4- 1 - 7Х4 , Х 2 - 1 + 5х4 Х4 Е21. 19. Х1 =,Х266621.20. При Л # 5 система несовместна. При Л = 5: х1- 4 + Х3 ,11х 2 2 - 2хз , хз Е IR.21.21.
При Л =f. О система несов:м естна.При Л == О: х1 = -3 - 5хз2 - 13х4 , х2 = -7 - 7хз2 - 19х4 , x3 , X4 E lR._=-_П])�.419Ответы и указания к §211При Л == - 3 система несовместна. При Л -:/= - 3 : х1л+3'Л4Л+11+11х 2 == 3 ( ..\ + 3 ) ' Хз == - 3(..\ + 3 ) .4 - Л - 3 хз ,21.23. П р и Л = О систе ма несовместна . При Л -:/= О : х1 ==SЛ 59Л - 16 81х 2 = БЛ - 5 х з , Х4 = � ' хз Е IR .21.24. Система совместна при любом Л Е IR. При Л == 8: х 2 == 4 + 2 х 1 2х4, хз == 3 - 2х4, х1 , Х4 Е IR.
При Л -:/= 8: х 1 == О , Х 2 == 4 - 2х4 , хз == 3 - 2х4,Х4 Е IR.21.25. Система совместна при любом Л Е IR. При Л == 8: хз == - 1 ,Х4 = 2 - xi - 23 х 2 , х 1 , Х 2 Е IR. При Л -:/= 8: Х 2 == 4 -32х1 , хз = -1, Х 4 = О,Х1 Е IR .21.26. При Л = 1 система несовместна. При Л == -2: х1 == х 2 == 1 + хз ,х3 Е IR. При Л -:/= 1, -2: х1 = Х 2 = - Л -1 1 , хз = Л -2 121.27. При Л = - 3 система несовместна. При Л = 1 : х1 = 1 -х 2 -х 3 - Х4 ,х 2 , х3, Х 4 Е IR. При Л -:/= 1 , -3 : х1 = Х 2 = Хз = Х4 = Л +1 321.28. При Л = 1 и Л == -2 система несовместна. При Л -:/= 1, -2: х 1 =33(..\ + 1) .х 2 = - ( Л - l )(ЛХз=+ 2) ' (Л - l )(Л + 2)21.29.
При Л == О и Л = - 3 система несовместна. При Л -:/= О, - 3 : х1 =3 + 2л2 - л - 1Л2л2 - л21==хЛ (Л + 3 )Л(Л + 3) ' 2 Л(Л + 3 ) ' Хз21.30. Система совместна при любом Л Е IR . При Л == О: х1 = -х 2 - хз ,== Хз , Х3 Е IR. При л i= О, -3 : Х1 == 2 - ..\ 2 ,Х 2 , Хз Е IR. При л ==3 -3 : Х1=Х2Х 2 = 2 ..\ - 1 , Х3 == ..\ + 2..\ 2 - А - 1.3хз ,21.31. П р и Л = О и Л = 1 система несовместна. При Л = -1 : х1 = l - 53хз , х 3 Е IR.
При Л -:/= О, ±1: х 1 = -х з == 1 l ) , Х = _Л 1х 2 == -1 - 52 ЛЛ(Л21.32. При Л == 1 и Л = -2 система несовместна. При Л =О: х = -1,3 2 22..\- 3..\ + 2 '==х3 = О, х1 Е IR. При Л -:/= О, 1 , -2 : х 1 == -(Л4..\ +l )1( 2Л..\+-· 2 10,Х2)(Л l)(Л + 2)2..\Х3 = - А + 2 ·21.33. л == о , 7 . - 21.34. л == о, 3 , 4 .21.36. Если а, Ь, с - попарно различны , то21.22.··__(Ь - d) (c - d)х = ---(Ь - а ) (с - а ) 'у ==(d - a ) (d - c)(Ь - а) (Ь - с)·_'z==(d - a) (d - b)(с - а) (с - Ь)·Если среди чисел а , Ь, с, d имеется только два различных , то система неопределенна, например, если d == а -:/= Ь = с, то х == 1, у = - z , z Е IR. Еслиа == Ь = с == d , то х == 1 - у - z , у, z Е IR.
Если же среди чисел а, Ь, с дваразличны и d не равно ни одному из них или если а == Ь == с # d, то системанесовместна.Ответы и указания к §21420Если D = аЬс - а - Ь - с + 2 -:/= О, то- а) .х = (b - l D)(c - 1) , у = ( а - lD)(c - 1) ' z = ( а - 1)(ЬDЕсли D = О, причем одно и только одно из чисел а , Ь, с отлично от единицы,то система неопределенна, например , если а -:/= Ь == с = 1, то х = О, у = 1 - z ,z Е IR . Если а = Ь = с = 1 , то х = 1 - у - z, у, z Е IR. Если D = О и ни одноиз чисел а , Ь , не равно единице , то система несовместна.21.38.
Если D = аЬс - а - Ь - с + 2 -:/= О, тох == аЬс - 2Ьс + Ь + с - а , у == аЬс - 2ас + а + с - Ь , z = аЬс - 2аЬ + а + Ь - с21.37.сDЬDDЕсли D = О и только одно из чисел а, Ь , с отлично от единицы, то системанеопределенна, например , если а -:/= = с = 1, то х = 1, у = -z , z Е IR.Если а = Ь = с = 1 , то х = 1 - y - z , y, z Е IR. Если D == О, причемвсе числа а, Ь, с отличны от единицы , то система несовместна. У к аз ан и е .Для доказательства несовместности системы в последнем случае показатьсправедливость тождеств: D - Dx = 2(Ь - l)(c - 1), D - Dy = 2(а - 1)( с - 1),D - Dz = 2(а - l)(b - 1), где Dx , Dy , Dz - соответственно числители внаписанных выше выражениях для х, у , z.21.39.
Если а, Ь, с все различны, то х = а Ьс, у = -(аЬ + а с + Ьс) , z =а + Ь + с. Если среди а , Ь, с лишь два равных, то системанеопределенна,2например, если а == Ь -:/= с, то х3 = a2c( z - а - с), у = а + ас + с2 - ( а + c) z,z Е IR. Если а = Ь = с, то х = а - a z - ау , y , z Е IR .2Ь - 1l ) , у = Ь1 ' z = 2аЬ - 4Ь + 1 . Если21.40. Если Ь(а - 1) -:/= О, то х =Ь(а _ l )а = 1 , Ь = 1 / 2, то х = 4 - z, у == 1, Е JR. В остальных случаях системанесовместна.а-Ь , У =2 1 . 41 . Если Ь( а - 1) (а + 2) -:/= О , то х = z =_(а 1 )(а + 2)аЬ + Ь - 2 . Если а = Ь = -2, то х = z = -1 - 2у , у Е IR.
Если а = Ь == 1 ,Ь ( а l)( a + 2)то х = 1 - у - z, у, z Е IR. В остальных случаях система2несовместна.а 2 ( Ь - 1) , У = Ь( а - 1 ) , z = а - 1 )21. 42. Если а (а - Ь) -:/= О, то х =Ь-аа Ь-аа ( а - Ь)Если а = Ь 1 , то х == 1 - у - z, у, z Е IR. В остальных случаях системанесовместна.21.43. Если Ь = с = 1 , то х = 1 - у - z, у, z Е IR. Если Ь == с # О, 1, то-Ь ,2 + Ь - z, у = -х = 1 + Ь - 1 + z, у = - 1 , z Е IR. Если с = 1, Ь -:f. ±1 , то х . = -1+Ь1+Ьz Е IR. В остальных случаях система несовместна.а + 1 - Ь - с У = Ь(а + 1) - 1 - с21 .44 . Если ( a - l)(a +2 ) -:/= О, то х ( _l )( a + 2) '( а _ l)( a + 2) 'Ь +3-1 , у = z - 1 +3 2Ь ,1) - 1 - Ь . Если а = -2, Ь+с = - 1 , то х = z - z = с ( аа + l)(a + 2)z Е IR.
Если а = Ь 1 , то х = 1 - у - z , у, z Е IR. В остальных случаях системанесовместна.- 1), У = - 2 , z = 2(Ь21. 45. Если а ( Ь- 1 )( Ь + 1) -:/= О, то х =Ь+ 1Ь+ 1а( Ь + 1)Ь(а_z_(==(==_==·а5-Ь·Ответы и указ ания к §2242 1Если а = О, Ь = 5, то у = -1 /3, z = 4 / 3, х Е IR. Если Ь == 1, то у = 1 - ах,В остальных случаях система несовместна.х Е IR.21.46.а , г ) Нет, не является ; б) Ь = 3 а1 +2а 2 -аз; в ) Ь = 3а1 -5a з+l l a4.21 .47. При i = 1 : х = ( 1 , 2, l) т , при i = 2: х = ( 1, 1, 1 ) т , при i = 3:х = ( 1 , -1, 1 )т .
У к аз а н и е. Составить расширенную матрипу [А I Ь1Ь2 Ьз ] .21.48. а ) Л -:/= 5, 7; б) Л -:/= ± 3; в) Л -:/= 1 , 3 ; г) Л -:/= -2, -4.У к аз ан и е. Составить уравнения для нахождения столбцовл- 1 21.49..- 15 / 2 -4 11 / 2 -7/ 21 0 3 15 -3-5 / � 3 / � .7/�2 1 . 50. - � б =� � . 2 1 . 5 1 .J-2 -1 о о2 1 -111 1 1 12 1 . 52.
( 4 , - 4 , 4 ' 4 ) т . У к аз а н и е. Решить систему Ах = е з .21.53. (О, О , О , 1, - 1). У к аз а н и е. Найти последний столбец (А т ) -1.21.54. а) х 1 = 1 + хз, х 2 = -2хз , хз Е IR ; б) х1 = хз, х 2 = -2хз ,хз Е IR ; в) неизвестные х1 , х 2 , хз, у 1, у2, Уз удовлетворяют соотношениям :) = О, 3(х1 + х 2 + хз) = у1 + У2 + уз .2х1 +2 1х. 255.+ 3(уВерны2 + 2узутверждения1 и 4 . У к аз а н и е. Для утверждения 2:взять п = m - 1 и построить А и Ь так, чтобы rg А = п, rg(Alb) = m. Дляутверждения 3 : построить А так , чтобы rg А = m; тогда rg(Alb) = m длялюбого вектор-столбца Ь.2 1 . 56. У к аз ан и е. Дописать к системе Ах = Ь у равнение х 1 + х 2 + хз +получаюrцуюся систему на совместность.х4 ==2О1 .и57.исследоватьУ к аз а н и е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
