Том 1 (1113042), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Ь 1 Ь2 " . Ьп . 7. 33. ( - l ) n - l (п - 1 )х п - 2 .7.34. ( - 1 ) n ( n - l ) / 2 b 1 b2 . . . Ъп . 7.35. (а о + а 1 + а 2 + . . . + an ) X n .7.36. (- l ) n- l x n - 2 . 7.37. ( - l ) n ( n - l ) / 2 n. 7.38. 1 .396Ответы и указания к §7( па + п(п2- 1) ) аn- 1 .(-l) n (n + l)a 1 a2 . . .
ап .1. п 3,(-1) n - 1 n. п 2 , + + п 1 .п 3,п1, 2, п21.5. 5 §5.п(-1) п - 1 (п - l)2n- 2 .2-й,( 1 - а2 ) nа.(1 + (-l ) n )/2.127.127.2k- 1, k (-l) k ,2k, k(64nп(+l l+-п).1)/3 . п +41.п + l 3n + l . 3п (1 - 2п).5n - 2 ( -4) n .37n 5-n 2-п2 --l .2n- 1 . 64.а6 - 5а4 + 6а2 1(2+k+lx2-+1)(3. k - 1)(31 -2l).x4 L++i. .-. +2L +xl2)n-4(2k+inlVS1l ( 1 - VS ) n +l .+)(7. 6 4. _22v15у'57.65. У к а з а н и е. Применить И НдУкцию по п.7.67. аоа 1 а 2 .
. . a n (2- + ]__ + _.!._ + . . . + _!_).аaаlaо2n.7.68. 1 - Ь 1 + Ь 1 Ь2 - Ь1Ь 2 Ьз + . . + (-l) n b1b2 . . . Ьn .7.69. (х 2 - 1 2 )(х 2 - 3 2 ) (х 2 - (2m - 1) 2 ), если п = 2m, m Е N ;х(х2 - 22 )(х2 - 42 ) . . . (х2 - (2m) 2 ), если = 2m + 1, m Е N.7. 70. -а 1 а 2 . . . an ( 2- + _.!._ + . . . + _!_).aаапi21n7.
71. L (-1) k a1a 2 . . . a п - k + (-1) n .k=O пп7. 72. (а 2 - Ь2 ) . 7 . 73 . П ( aia 2n+l -i - Ьi Ь2 п +l - i ) .7. 74. a i a 2 " . а п ( ао - _.!._ - � - . . . - .!!:_ ) ·a i а2anсо7. 75. аЬс1с2 . . . Сп ( - _!_ - _!_ - . . . - 2- ) .аЬ С1 С2Спa7. 75. 1. С1 С2 . . . Сп (са - i b i - . . . - an bn ) .СпС1у7. 39.к а з а н и е. К первому столбцу прибавитьвсе остальные.7.40.У к а з а н и е. К последнему столбпу прибавить все остальные.7.41.7.42.7.43. О при > -pq при = и р q s при =7.44. О при > -9 прии при п =7.45. О , если п нечетно, и если четно. У к а з а н и е.
При нечетномвоспользоваться утверждением примераПри четном п из каждойстроки, начиная с первой и заканчивая предпоследней, вычесть последующую, а затем из каждого столбца, начиная со 2-го, вычесть предыдущий.7.46.У к а з а н и е. Из каждого столбца, начиная с1-ого, вычесть последующий.I . У к а з а н и е. Из каждой строки, начиная со7 .4 7.вычесть предыдущую, умноженную на7.48.7.49.7.
50.если п =7. 5 1 . О , если п =Е N, иЕ N. У к а з а н и е.Проанализировать рекуррентное соотношение.7. 53.7. 52.7.54.7.56.7.57.7.55.7. 58.7.59.7.60.1.7.61.У к а з а н и е. Предварительно р азложить определитель по последней строке.7.62.У к а з а н и е. Разложить7.63.по первым строкам и применить метод рекуррентных соотношений.==_·__•••пi= l397Ответы и указания к §7ао Х n + а 1Хn - 1 + . . . + an - 1 X + an . 7.77.
x(хn +-l -1) 21 пх -+ 11nxn - 1xn7. 78.. 7. 79. a l a2 . . . an ( 1 + _!_ai + _!_а2 + · + _!_)(х - 1 ) 21апх7.80. аох 1х2 . . . Хn +а 1у1 х2х з . . . Хп +а2у 1 у2х з . . . X n +· . . +ап У 1 У2 . . .7.81 . h(x + h) n . 7.82. 1 ! 2! 3! . . . п!. 7.83. 1 ! 2! 3! . .
. п ! .П (xi - X k ) ·7.84.1:5i<Пk :5( n+1l)(ai2 - пak ) · . 7.85.�i>�1kni - 'Pk ..'P7 . 86. ( -2) n n - /SШ 'Pi + 'P k SШ221:5i<:5kn+ . 'Pi - 'Pk ·7.87. 2 n ( n - 1 ) / 2 п COS 'Pi 'P k SШ22i�1�>kn7.88. ( - l ) n l ! 2! 3! . . . п! .n Xi7.90. п7.89.п (Xi - X k ) ·х·1i=i>�lk� ln7.91 . 1 ! 3! 5! .
. . ( 2п - 1 ) ! . 7.92 .П (aibk - a k bi).1:5i<:5+kln7.93. (х1 + х 2 + . . . + Хп) П (xi - X k ) · У к а з а н и е. Определитель�1�i>knВандермонда V (x 1 , х 2 , . . . , Xn, ) разложить по последней строке и вычислить коэффициент при n - 1 .7.94. Х1Х2 . . . X n ( : + : + " . + : ) п (x i - X k ) ·1 2n�1�i>knln7.95. ( -l)� iП> k � l (xi - Xk)· У к а) nз-а1н игдее. Представить каждый элe-и,nмент последнего столбца виде ( - Xi,х 1 + Х2 + .
. . + Xn ,разложив его по степеням Xi , свести определитель к определителю Вандермонда.7.96. (- l ) n - l П (x i - X k ) · У к а з а н и е. Умножить i-ю строку ( i =� i> k �1n1, п)7.97.на Xi и свести определитель к определителю Вандермонда.П ( Лj - Л i )(1 - A i Aj ) · У к а з а н и е. Вынести из i-й строкиij�l�>ni1, п) множитель( i 7.98..Л1).1)(2)...(хп+(хх1n7.99. (-l) (x - l)(x - 2) . .
. (х - п + 1).7. 100. -3(х 2 - l)(x 2 - 4) . 7. 101 . x 2 z 2 .7. 102. (х - а - Ь - с)( х - а + Ь + с)(х + а - Ь + с)(х + а + Ь - )па7. 103. (х + ai + 2 + . . . a n ) П (х - a k )·=1knn7. 104. X +(a1 +а 2 + . . . +a n ) X l. 7. 105 . (х-а 1 )(х-а 2 ) . . . (x-an )·7. 106. ( 1 - ха11) (1 - х а 22 ) . . . (1 - Xann ).7.
107. � 1 О ..\ 2 = 2, Лз = -3. У к а з а н и е. К 1-й строке прибавитьостальные строки.7. 108. Л1 = ..\ 2 = 1, Лз = - 1 . У к а з а н и е. Из 1-го столбца вычесть 3-йи ко 2-му столбцу прибавить удвоенный 3-й.7. 109. Л 1 = Л 2 = Лз = ..\4 = 1. 7. 110. Л1 = Л 2 = 1 , Лз ..\4 2.7 76.•···Уп1zzвss==с .+=,==·398Ответы и указания к §77.
1 1 1 .= А 2 == Л з == А 4 = 4.7. 1 12. Л 1 == 3, Л2 == 5, А з == -2, А 4 = -4.7. 113.= А 2 = А з == О, А4 ==7. 1 14.== А 2 = 2, А з = 4, А4 = - 2.7. 115. Л 1 = . . . == - 1 == о , Л п == п .7. 1 16.= . . . == А п - 1 == О , Лп == n n + 1 )/2.7. 117. (х1 - а1 ) (х 2 - а2 ) . . . (х п -ап ) ( 1 + а 1 + а 2 + . . .
+ апХп - nХ1 Х2 - а2У к а з а н и е. Положить �i == xi - ai + ai .7. 1 18. О, если п > 3, (а 2 - а 1 ) (Ь2 - Ь1 ) , если п = 2, и а 1 - Ь 1 , если п == 1 .7. 1 19. (а1 - х 1 ) ( а 2 - х 2 ) . . . (ап - Х n ) - а1 а 2 . . .У к а з а н и е. Представить элемент в левом верхнем углу как - 1 и разложить определитель всумед л т ей .AlAAllAl8.An(taf;�::: . :�::� -�-��7(alan .)1n�l:: [: : �i= l х2. - 2а х ] i=Пl (х� - 2а х )резуз�)·a(t·;t·;.У к а з а н и е . Использовать1+�� а��; ) .n 1п- 11 x - -уn7. 122. ( - 1 ) x y. У к а з а н и е. Представить элемент в прах-увом нижнем углу как х - х и разложить определитель в сумму определителей.х(а - у) п - у(а - х ) п7.
123.х-у(x) - f (y )7. 124. fa2 - z, где f ( z ) = (а1 - zх-у7. 125. О, если п 3; sin ( a 1 - a 2 ) sin(J31 - /32 ) ,если п == 1 .7. 126. О, если п � 3; - sin 2 (a1 - а 2 ) , если п ==)(>Пz .) . . . (an - )еслип= 2; cos( a 1 - /31 ) ,2; sin 2а 1 , если п = 1 .У к а з а н и е. Разложить в произведение(ai - ak)(bi - bk ) ·определителей Вандермонда.7. 128. с�с� .
. . с;; п (a k - )(b - bk ) ·�i>2k � On7. 129.П (x i - xk ) . У к а з а н и е. Разложить в произведение oпpe� >k�nделителей Вандермонда.n7. 130. П (х - Xi) П (x i - X k ) 2 У к а з а н и е. Представить искомыйi=l n � i > k �1определитель в виде произведения7. 127.n �i> k� 1iaili.1Х1xr1Хпх�1хх2х}х ппхп11Х1Х21 Хпооп- 1Х1п- 1Х2ооХпоn- 1о1399Ответы и указания к §8§88. 1. У к а з а н и е. Воспользоваться задачами 1 . 1 6 и 6 .4 1 .8.2. У к а з а н и е. Воспользоваться задачами 1 . 16 и 8.
1 .8.3. У к а з а н и е. Пусть все члены определителя положительны. Показать, что для любого минора 2-го порядка �его матрицы выполненосоотношение sgn(ad) = sgn (bc) . Затем рассмотреть первые три элементыкаких-либо двух строк и прийти к противоречию.8.5. а) 2 n d2 ; б) О. 8.8. Равенство выполнено не всегда.8.9. У к а з а н и е. Применить метод Гаусса к каждой блочной строкепроизведения А ® В.8. 10. У к а з а н и е. Рассмотриы соотношение[1-хооо+А-х�)1-х11АА-х-х-х11Второй определитель левой части лишь множителем отличается от определителя кососимметрической матрицы нечетного порядка, и значит, он равеннулю.
Поэтому левая часть равна I A I . Вычитая 1-й столбец определителя вправой части из всех остальных столбцов, получим требуемое.8. 1 1 . У к а з а н и е. Рассмотреть определитель1А18 . 12. У к а з а н и е. Рассмотреть определительSnа�п. . -. . . . оs1 - al lS1....ап п-1- а пl-1Sn -о18. 13. У к а з а н и е. Разложить определитель по последнему столбцу, азатем каждый дополнительный минор по его последней строке.8. 14. У к а з а н и е. Рассмотреть определитель1А-х-х1и воспользоваться предыдущей задачей.8.
15. У к а з а н и е. Прибавить ко всем элементам матрицы левой частих и учесть, что получающийся определитель в силу задачи 8. 14 являетсялинейной функцией переменной х и, следовательно, может быть найден полюбьпн своим значениям при х х 1 и х = х 2 .=Ответьr и указания к §8400а 11А11 + . .
. + an 1Х1An 1 A .8 . 16. У к а з а н и е. Коэфф ициент при в сумме определителей, стоя= I Iщих в левой части, равен8. 17. У к аз а н и е. Воспользоваться задачей 8. 14.8. 18. У к а з а н и е. Воспользоваться предыдущей задачей.8. 19. У к а з а н и е. Рассмотреть равенство задачи 8 . 14 при = - 1 .8.20. У к аз а н и е . Разложить в произведение определителей.8.21. У к а з а н и е. Разложить определительха 12aа 11 о n2an 1 оо.....оп..a i n Ь11aо nn ЬЪn1 11оЪп1...b1 nbb1nnnbnnпо первым строкам.8.22. У к а з а н и е. а) Рассмотреть произведение матриц [ 1] и, где - нулевая матрица размера х ( п - m) . 6) Рассмотреть опре-[ !}т ] ОА Оп1 А Опв 1 .делитель - 18.
23. У к а з а н и е. Представить главный минор матрицыв видепроизведения В, где В :матрица, составленная из столбцов матрицыи воспользоваться результатом предыдущей задачи.од8.24. а ) Сумма всевозможных произведений элементовно из которых содержит все элементы, а другие получаются из него выбрасыванием одной или нескольких пар сомножителей с соседними номерами( если выброшены все сомножители, считаем член равным 1 ) .. . . an )б) ()()) () (У к а з а н и е.
а) Использовать рекуррентное соотношение для определителяЯкоби. в ) Применить индукцию по п.8.25. У к а з а н и е. Вычесть последний столбец из всех предыдущих.Затем вынести множители из всех строк и из всех столбцов, кроме последнего.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
