Том 1 (1113042), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Можно ли матрицуА=[\20оо:]1- 1 - 2iпредставить в виде А = ЛИ, где Л Е С , И_- унитарная матрица?Возможно ли такое представление, если Л = - Л ?4 1 . 23 . Показать, что поле С не изоморфно полю IR .§4 2 .К о м плексные числа в тригоно м етричес койформеМодулем комплексногочисла z = а + Ьi называется число r = Ja 2 + Ь2 •О б о з н а ч е н и е : lzl .Свойства модуля:1 ) l z l - действительное неотрицательное число, причемl z l = О {==::> z = О;l z l совпадает с полярным радиусом точки NI, изображающей это число на комплексной плоскости;3) l z l = Jй;4) модуль вещественного числа совпадает с абсолютным значением этогочисл а.Аргуме'Нmом комплексного числа z # О называется угол ер между положительным направлением оси абсцисс и радиус-вектором точки М, отсчитываемый от оси абсцисс в любом направлении, при этом положительнымсчитается направление против часовой стрелки.
О б о з н а ч е н и е = arg z.Свойства аргумента:1 ) arg z не определен для z = О, а для z # О определен с точностью дослагаемого, кратного2)2?Т ;Глава XI. Поле комплексных чисел37 82) arg z отличается от полярного угла точки М тем, что arg z имеетбесконечно много значений ;3) два комплексных числа z1 и z2 равны тогда и только тогда, когда( 4 2.
1 )Т е о р е м а 42. 1 . Любое комплексное 'Число z i= О может б'Ытъ заz == r ( cos ер + i sin ер ) ,писано в виде( 4 2 .2 ), ер = arg z .Форма (42.2) записи комплексного числа называется тригонометри'Ческой формой этого числа.Т е о р е м а 42.2. Дл.я любых комплекснъtх 'Чисел z1 и z 2 имеют мегде r == 1 z 1сто неравенстваЭти неравенства называют неравенствами треуголъника на комплексной плоскости.Т е о р е м а 42.3.
При умножении комплекснъtх 'Чисел их модулиумножаются, а аргументъt склад'Ьtваются; при делении комплекснЪtх 'Чиселих модули дел.яте.я, а аргумент'Ы в·ы'Чuтаютс.я:l z1 z 2 IZ1 _z2== l z1 l l z 2 I , arg( z1 z2 )lz1 1 ,l z2 IZarg 1z2-==arg z1 + arg z 2 ·;arg z1 - arg z 2 ,z2 -:/= О .( 42.3)( 42.4)З а м е 'Ч а н и е. Если один из сомножителей в (42.3) или z1 в (4 2 .4) равеннулю, то теорема относится только к модулям.Соотношения ( 42.3) переносятся и на любое число сомножителей (достаточно применить метод математической индукции ) .r ( cos ep + i sin ep) ,Т е о р е м а 42.4 (форм ула М уавра) . Если zп Е Z , то==ЗАДАЧИz142 . 1 .
Найти тригонометрическую форму числа:1) 5 ; 2) i; 3) - 2 ; 4) -Зi ; 5) 1 + i; 6) 1 - i ; 7) - 1 + i ;8 ) l + i VЗ; 9) 1 - i VЗ; 10) - l + i VЗ; 1 1 ) VЗ + i ; 1 2) - VЗ + i;13) - JЗ - i ; 14) 2 + V'З+ i ; 1 5) l - (2 + V'З)i ; 1 6) cos a - i siп a ;2-11 + i tg а(l+2i)· 19)1 7) sin а + i cos а ; 1 8 ).'1 - i tg а( 1 + i ) 2 - ( 1 - i) 242 . 2 .
Указать геометрический смысл выражения l z 1 - z 2 I , гдеи z 2 заданные комплексные числа.-§4 2. Комплексные числа в тригонометрической форме37942 . 3 . Найти геометрическое место точек, изображающих комплексные числа z , удовлетворяющие условиям :1 ) l z l = 1 ; 2) l z l < 1 ; 3) l z l < 2 ; 4) l z - i \ < 1 ;5) \ z + 1 - i \ < 1 ; 6) 1 < l z - 1 1 < 3 ; 7) \ z + 2i \ = \ z - 4i \ ;8) l z l = \ z - 4 + 2i \ ; 9) arg z = 1Г/ 6; 10) -1Г/3 < arg z < rг /3 ;111 1 ) l ar g(z + i ) I < Jr/ 4; 12) Iш z = 1 ; 13) Re = ;z 2z-21114) Im - < - - ; 15) I Re z l + I Iш z l < 1 ; 16)= 2;z-1z21 7) l z - i \ + \ z + i \ = 4; 18) \ z + 2i l - l z - 2i \ = 3 ;19) l z - 2 1 2 + l z + 2 1 2 = 10; 20) l z l 2 + 3z + 3z = О; 2 1 ) sin l z l > О;z+i> О;22) lo g 1 ;3 z - i.23) z = 1 + 2w , где w пробегает всю окружность l w l = 1 .42 .4.
Н а комплексной плоскости даны точки z1 = 6 + 8i ,z 2 = 4 - Зi . Найти комплексные числа, соответствующие точкам биссектрисы угла, образованного радиус-векторами точекz1 и z 2 .42 . 5 . Доказать , что множество комплексных чисел z , для которых l z l = 1 , образует мультипликативну10 группу.42 .6. Образует ли мультипликативную группу:а ) множество комплексных чисел с заданным модулем r ,б ) множество комплексных чисел с модулем , не превосходящим фиксированного числа r > О ?42 . 7 . Решить уравнения :а ) l z l + z = 8 + 4i; б ) l z l - z = 8 + 12i; в ) l z l + z 2 = О;г ) z 2 = z 3 ; д ) z 2 + z = О.4 2 .
8 . Найти необходимые и достаточные условия того, что:а ) модуль суммы двух комплексных чисел z 1 и z2 равен суммеих модулей ;б) модуль суммы двух комплексных чисел z1 и z2 равен абсолютной величине разностей их модулей.42 . 9 . Доказать , что если точки на комплексной плоскости,изображающие числа z1 , z2 , . . . , Zn , являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность l z l = r , то ониудовлетворяют условию z 1 + z2 + . . . + Zn = О.42 . 10 . Установить необходимое и достаточное условие того ,Глава XI.
Поле комплексных чисел380что три точки, изображающие три различных комплексных числа z1 , z 2 , zз , лежат на одной прямой .42 . 1 1 . Доказать, что корни уравнения111= 0,+-- +z - z1z - z2z - zзгде z1 , z 2 , zз - различные комплексные числа, лежат внутри илина границе треугольника с вершинами в точках, изображающихчисла z 1 , z2 , zз .42 .
1 2 . Доказать , что:а) если l z l < 1 , то l z 2 - z + i l < 3;б) если l z l < то 1 < l z 2 - 5 1 < 9 .cos r.p + i sin r.p42 . 1 3 . УпроститьCOS 'Ф - i Slll. 'Ф .--2,.42 . 14 . в ычислить42 . 1 5 . Вычислить:а) ( l + i) 2 5 ; 6)( 1 - i JЗ) ( cos r.p + i sin r.p ).2 ( 1 - i) ( cos r.p - i siп r.p )(1:��)20; в)( JЗ2- )i1-24; г)( 1 + i) 9;( 1 - i)7( - l + i J3) 1 5( - 1 - i J3) 1 5.д)+( 1 + i) 2 0( 1 - i) 2042 . 16 . При п Е Z вычислить выражения:1 - i v'З n ·1 - i tg a n ·( 1 + i) nп.б)г)в)а ) ( l + i· )1 + i tg а( 1 - i) n - 2 ·'( 2 )')(2'42 .
1 7. Вычислить ( 1 + cos a + i sin a)n , п Е Z.42 . 18. Доказать, что если z + z- 1 = cos r.p, то zn + z -ncos nr.p, где п Е Z.42 . 19 . Найти смежные классы:а) а,пдитивной группы С комплексных чисел по подгруппечисел вида а + Ьi , а , Ь Е Z ;б ) мультипликативной группы комплексных чисел, отличныхот нуля, по подгруппе чисел, равных по мо,цулю единице;в) мультипликативной группы комплексных чисел, отличныхот нуля, по подгруппе положительных действительных чисел ;г) мультипликативной группы комплексных чисел , отличныхот нуля, по подгруппе ненулевых действительных чисел;2§42.
Комплексные числа в тригонометрической форме38 1д) адцитивной группы С комплексных чисел по подгруппе IRдействительных чисел ;е) аддитивной группы С комплексных чисел по подгруппе,объединяющей число О и все комплексные числа, аргументы которых равны 'Ро + 1Г n , п Е Z.42 . 20 . Доказать, что фактор-группа аддитивной группы IRпо подгруппе Z изоморфна мультипликативной группе всех комплексных чисел с модулем , равным единице.42 . 2 1 . Доказать, что фактор-группа мультипликативнойгруппы ненулевых комплексных чисел по своей подгруппе Н изоморфна:а) мультипликативной группе всех комплексных чисел с момультипликативная группадулем , равным единице, если Нненулевых действительных чисел ;б) мультипликативной группе IR + всех положительных действительных чисел , если Н мультипликативная группа всехкомплексных чисел с модулем, равным единице.42 .
2 1 . 1 . Доказать, что группа всех поворотов плоскости V2относительно операции суперпозиции отображений изоморфнамультипликативной группе комплексных чисел с модулем , равным единице.42 . 2 1 . 2 . Показать, что мультипликативная группа ненулевых комплексных чисел не изоморфна мультипликативной группе невырожденных диагональных матриц второго порядка.42 .
2 2 . Вычислить определители:1 Е Е2l . vf:За ) с: 2 1 с ' где с = - + i'--б)в)с с: 2 11 1 с1 1 с2с: 2 с 11 1 11 Е с21 с: 2 с-гдеЕ=гдеЕ=2- ·2cos 3 + i sш 3 ;21Г. . 2 1Г. 3.cos 3 + '/, 81114 1Г.47Г42 . 2 3 . Выразить через cos x и sin x :а) cos 5х; б ) cos 8х; в) sin 6х ; г) siп 7х.42 . 24. Выразить tg 6rp через tg rp.42 . 2 5 . Составить формулы, выражающие cos nx и sin nx через cos х и s1n х.Глава XI. Поле комплексных чисел38242 .
26. Представить в виде многочлена первой степени от тригонометрических функций углов , кратных х:а) sin3 х; 6) sin4 х ; в) cos 5 х ; г) cos6 х.42 . 27 . Найти суммы :а ) i - с� + с� - с� + . . . ; 6) с� - с� + с� - с� + . . . .42 . 28 . Доказать, что:� (2п- l + 2п/2 cos п; ) ;(б) с� + с� + с� + " . = � 2 п - l + 2 п / 2 sin п; ) ;(в) с� + с� + с�0 + . . . � 2 п - l - 2 п / 2 cos п; ) ;(г) с� + с7� + С� 1 + " . = � 2 п - l - 2 п f 2 sin п; ) .а)1 + с� + с� + . . . ==42 . 29 .
Найти сумму11сп1 - сп + сп5 9331727 сп + . . . .)(_ l (2n + 2 cos (n -3 2 ) 7Г ) ·'б) сп + сп + сп + . . . 3- ) 7Г1 (в) сп2 + сп5 + сп + . . . - 3 2 + 2 cos ( п 4 ) .42 . 30 . Доказать, что:а)n11 + С11 + Сп + " . _- 3 2 п + 2 cos 31Г .,вз147в_п342 . 3 1 . Вычислить суммы:а ) 1 + а cos <р + а 2 cos 2rp + .
. . + ak cos krp;6) siп rp + a si11 ( rp + h ) + а 2 siп ( rp + 2h ) + . . . + ak sin ( rp + k h ) .42 . 32 . Показать, что при х =!= 21Гn , п Е Z:а)6).2х ++ 8111. n+2Slll1Х•. п2хSl ll;Х.Slll2+ 1 . . пхcos пх 8111 22cos х + cos 2х + . . . + cos пх =хSlll2.Slll Х.... + Slll nx =---=------.383§4 3 . Корни из комплексного числа42 .
3 3 . Найтиl in1n --+ oo( 1 + 21 cosх+12п cos пх� cos 2х + . . . +4).42 . 34 . Доказать , что если п Е N, а е - угол, удовлетворяющий.условию юnе1 , то2 2n38е2+...++2=COSCOS42 . 3 5 . Показать, чтоа ) cosrг3rг51ГCOS2n - 1 827rг=. n8 .n Slll1;U 2UUUU27Г47Г6 7Г87Г101Г16) cos u + cos u + cos u + cos u + cos 11 - ;21Г + cos 3 rг + cos 51Г + cos 7rг + cos 9rг + cos 11 rгв ) cos131313131313+ cos+ cos+ cos+ cos9rг==------- =42 .
�6 . Найти суммы:а ) cos х + с� cos 2х + . . . + с;: cos ( n + l ) x ;12-.6) s in х + с1; siп 2 x + . . . + с:; sin ( n + l ) x .42 . 37. Найти суммы:па ) cos х - с1; cos 2х + CPi cos 3 х - . . . + ( - l ) с:: cos ( n + l ) x ;6) sin х - С1� sin 2х + С1; sin 3х - . . . + ( -1 ) п с:: sin ( п + 1 ) х .§4 3 .К орни из комплексного числаПусть п Е N . Корн.емn п-й степен.и из комплексн.ого 'Числа z называетсячисло Е С такое, что a = z .Для z == О существует единственный корень п-й степени, равный нулю.Т е о р е м а 43. 1 . Дл.я н.ен.улевого 'Числа z = r ( cos ер + i sin ер) сущеп-й степен.и:ствует ровн.о п разли'Ч'Н.ЪtХ корн.ейайkur::;,= у/(ао, а 1 , .
. . , йп - 1co sер +21rk . юn. ер п27rk ) , k Q , п - 1 .n+i+==ао,а 1 , . . . ,йп - 1 .О б о з н а ч е н и е : \(Z == {}Т е о р е м а 43.2. Все корю.t п-й степе'Н'l.L нз един.и'ЦЪt образуют мулътипликативн.ую группу.На комплексной плоскости все корни п-й степени из ненулевого числа zрасположены на окружности радиуса р = � и делят эту окружность нап равных частей .В частности , все корни п-й степени из единицыck==27rkп . . -27rkп kCOS - +iSШ==0,n-1,Глава XI. Поле комплексных чисел384расположены на единичной окружности и являются вершинами правильного п-угольника, вписанного в эту окружность (одна из вершин которого- точка Ао ( 1 , О ) ) .
При этом действительных корней может быть либо два,если п четно (с: о и c n ; 2 ) , либо один, если п нечетно (с: о ) . В любом случаенедействительных корней четное число, они расположены симметрично относительно действительной оси, т.е . попарно сопряжены.Т е о р е м а 43.3. Все корн.и п-й степен.и из комплексн.ого 'Числаz-:/= О полу'Чаютс.я умн.ожен.ием одн.ого из этих корн.ей н.а все корн.и п -йсrпепен.и из едию.щ'Ы.Таким образом, все корн.и п-й степен.и из 'Числа z образуют смежн.ъtйкласс мулътипликативн.ой группъt ненулев'Ь/,Х комплексн'Ьlх 'ЧUсеЛ по подгруппе · корней п-й степени из едини'Ц'ЬL, порожденн'Ый одн.им из корней п-йстепени из z .ЗАД АЧИ43.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
