Том 1 (1113042), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Доказать, что любая циклическая группа порядка пизоморфна аддитивной группе Z11 вычетов по мо,цулю п.39 . 78 . Доказать, что в коммутативной группе множество элементов, порядки которых делят фиксированное число п, является подгруппой. Верно ли это утверждение для некоммутативнойгруппы?39 . 79 . Доказать, что:а) все бесконечные циклические группы изоморфны меж,цусобой;б) все конечные циклические группы данного порядка п изоморфны меж,цу собой.-Ф акто р-груп па39 . 80. Пусть Н нормальный делитель в группе G.
Назовемдва элемента а , Ь Е G связанными бинарным отношением R, еслиэлемент а ь - 1 принадлежит Н. Доказать , что:1 ) R является отношением эквивалентности на множестве G;2 ) фактор-множество G \ R совпадает с фактор-группой группы G по подгруппе Н.39 .81 . Доказать, что фактор-группа сииметрической группы Sn по знакопеременной группе А п изоморфна фактор-группе-Глава Х.
Элементы общей алгебры362Z/2Z аддитивной группы целых чисел по подгруппе четных чисел.39 .82 . Найти фактор- группы:а ) аддитивной группы 'll целых чисел по подгруппе p'll чисел,кратных данному натуральному числу р;6) аддитивной группы 3Z целых чисел, кратных 3, по подгруппе 15Z чисел , кратных 15 ;в) адцитивной группы 4Z целых чисел, кратных 4, по подгруппе 24Z чисел, кратных 24;г ) мультипликативной группы ненулевых действительныхчисел по подгруппе IR + положительных действительных чисел.39 . 83.
Доказать, что в фактор-группе Q/Zа) содержится бесконечно много элементов;6) каждый элемент имеет конечный порядок;в ) для каждого п Е N имеется в точности одна подгруппапорядка п.39 .84 . Доказать , что фактор-группа мультипликативнойгруппы невырожденных матриц n-го порядка по своей подгруппеН изоморфна:а ) мультипликативной группе ненулевых действительныхчисел , если Н = { А Е IR. n x n 1 det A = 1 } ;6) мультипликативной группе 1R + положительных действительных чисел, если Н = { А Е IR.
n x n 1 1 det A I = 1 } ;в) группе Z 2 , если Н = { А Е IR.n x n 1 det A > О } .39 .85 . Пусть Gn аддитивная группа векторов n-мерного линейного пространства и Hk подгруппа векторов k-мерного подпространства, О < k < п . Доказать, что фактор-группа Gп / Hkизоморфна G n- k ·--§4 0 .К ол ь цоиполеНепустое множество К , наделенное двумя алгебраическим и операциями- сложением и умножением, называется колъцом, если эти операции удовлетворяют следующим аксиомам: \/а, Ь, с Е К1 ) а + Ь = Ь + а;2) (а + Ь) + с = а + (Ь + с) ;3) 30 Е К : а + О = О + а = а ;4) \/а Е К 3 а Е К : а + (- а ) = ( - а ) + а = О;5) ( аЬ) с = а (Ьс) ;6) (а + Ь) с = аЬ + Ьс, а(Ь + с) = аЬ + ас.-§40 .
Кольцо и поле363Кольцо называется КОМ.Jvt,утативн'ым, если умножение в нем коммутативно. Кольцо называется колъцом с единицей, если операция умноженияобладает нейтральным элементом.1 . Колъцо обладает все.м,и свойствами аддитивной абелевой гp ynn'Ьt; вчастности, в кольце:а) существует единственный нулевой элемент О;б) для любого элемента а существует единственный противоположныйэлемент -а;в) для любых элементов а, Ь Е К существует, и притом единственное,решение уравнения х + а = Ь, при этом х == Ь + (-а) ; это решение называетсяразностъю элементов Ь и а и обозначается символом Ь - а.2.
В колъце умножение дистрибутивно относителъно въt'Читания,т.е. а (Ь - с) == аЬ - ас, ( а - Ь)с = ас - Ьс, \/а, Ь, с Е К .3 . В колъце дл.я любого эле.м,ента а: аО == Оа = О.4. В колъце дл.я любЪtх эле.ментов а , Ь: (-а)Ь == а ( - Ь) == -аЬ.Сл е д с т в и е. (-а) ( -Ь) == аЬ, \/а, Ь Е К.5. В колъце с единицей дл.я любого эле.м,ента а :(-l)a а( - 1 ) == - а .6. В колъце дл.я любого элемента а определен эле.м,ент, кратнъ�й элементу а: па , п Е N.7. В колъце единицей, содержащем н е менее двух эле.ментов, вътол==сне но :колъце с единицей множество обратимъ�х {по умножению) элементов образует мулътипликативную группу.Ненулевые элементы а и Ь кольца называются делителями нул.я , еслиаЬ == При этом элемент а называется лев'Ьtм делителем нуля, а элемент Ь- правъ�м.Два кольца К и К' называются изомо'рifтъ�ми, если существует биективное отображение ер : К � К' , которое сохраняет операции, т.е.
для любыха, Ь К1 ) ер( а + Ь) = ер (а) + ер (Ь) ; 2) ер ( а Ь) == ер( а ) ер(Ь) .8. В1 # О.О.Е·В изоморфных кольцах К и К'1 ) ер (О) == О' , где О и О' - нули в К и К' ;2) ер(-а) == -ер(а) , \/а Е К ;3) если кольцо К обладает единицей 1 , то кольцо К' тоже обладаетединицей 1 ' , при этом ер( 1 ) == 1' ;4) если элемент а Е К обладает обратным1 элементом а - 1 , тоер( а - 1 ) == (ер( а )) - ;если кольцо К имеет делители нуля, то их образы будут делителяминуля в кольце К' .Рассмотрим адцитивную группу Zp == {Со , С1 , . . . , Ср - 1 } вычетов по модулю р (пример 39.9). Определим на Zp операцию Уl\1I Ножения, положивCm · Сп == Cr , где r = mn ( шod p ) ,·т.е. Ст Сп - это смежный класс, в который входит mn.Т е о р е м а 40.
1 . Zp - коне'Чное коммутативное колъцо с единицей,5)которое имеет делители нул.я, если р - составное 'Число.Кольцо Zp называется колъцом в'Ьl'Четов п о модулю р .Непустое подмножество кольца К называется подколъцом, если оно самообразует кольцо относительно операций, определенных в К.Глава Х. Элементы общей алгебр:ы364Полем называется коммутативное кольцо с единицей, содержащее неменее двух элементов, в котором каждый отличный от нуля элемент имеетобратный.1 .
Поле обладает всеми свойствами колъца.поле нет делителей нул.я.Сл е д с т в и е. Умножение .являете.я алгебраи-ч,еской операцией на множестве всех ненулевъtх элементов поля.полемножество всех ненулевъ�х элементов образует мулътипликативную коммутативную группу, и поэтому в поле:а) существует, и приmом единственная, единица, при-ч,ем 1 i= О ;б ) для любого элемента а # О существует, и притом единственнъtй,обратнъtй элемент;в) дл.я любъtх а, Ьа i= О , уравнение ах = Ь имеет единственноерешение, при этом х = а - 1 ь = ьа - 1 ; этот элемент называется -ч,астнъtм отьЬделения на а и обозначается символом - или Ь / а .аполе сохрахяются все объt-ч,ные правила обращен1tя с дробями:аса) ь = {::} = Ьс ·2. В3. ВРЕ Р,4.
Вd ad ± Ь 'ad с а с ас ;�± с=ьd bd ' b d bd-б)в)-Ь--а5. В-а= -Ь=а-Ь .Еполе дл.я любого элемента а и любого п Z определен элемент па,кратнъtй элементу а; если пто определена п-я стеnенъ а n элементаа; если а i= О, то п-.я степенъ определена дл.я любого п Z.Элементы поля называют 'Числами.Е N,ЕНаименьшее натуральное п, для которогоп . 1 = 1 + 1 + . . . + 1 = о,nназывается характеристикой поля.
Если указанное свойство не имеет места ни для какого натурального числа п , то говорят, что такое поле имеетхарактер�tстику нулъ.Т е о р е м а 40.2. Характеристикой пол.я может бъtтъ либо О, либопростое 'Число.Т е о р е м а 40. 3. Если р - простое 'Число, то колъцо Z p въt'Четов помодулю р образует поле характеристики р .Подмножествополя Р называется подполем поля Р, если оно самоР'является полем относительно тех операций, которые определены в поле Р.При этом поле Р, в свою очередь, называется расширением поля Р ' .Два поля называются изоморфными, если они изоморфны как кольца.В главах I, П , IV, V рассматриваются вещественные матрицы, их определители, вещественные системы линейных алгебраических уравнений, вещественные линейные пространства.
Основные результаты этих глав практически дословно переносятся на случай, когда вместо поля IR вещественныхчисел рассматривается произвольное поле Р. Без всяких ограничений онипереносятся на случай бесконечного поля Р характеристики р = О, так какалгебраические операции в таком поле обладают теми же свойствами, что ив поле IR.Для конечного поля имеет место очевидное отличие. Так, неопределенная система линейных алгебраических уравнений над полем IR имеет бес-365§4 0. Кольцо и полеконечно много решений.
Это перестает быть справедливым, если основноеполе Р конечно.Более серьезное отличие возможно для поля характеристики р -:/= О , таккак в таком поле из равенства па = а + . . . + а = О не следует, что а = О( задача 40.43) . Доказательства, относящиеся к вещественным объектам иопирающиеся на выводпа = О :::} а = Отеряют силу в поле ненулевой характеристики. Так, доказательство свойства 6 определителя (§5) не проходит для поля характеристики два, хотя само это свойство остается справедливым (задача40.50) , а утверждениеxnRn(задача 1 .38, § 1 ) о том, что для матриц А , Еневозможно равенствоАВ - БА = 1, оказывается неверным, если основное поле Р имеет характеристику п .
Доказательство (пример 5.5, §5) утверждения об определителяхкососи:мметрических матриц нечетного порядка требует предположения, чтохарактеристика поля отлична от двух, хотя само это утверждение остается в силе (с одной оговоркой) и в случае поля характеристики два (задача40.49) .:�Латрица с элементами из поля Р называется матрицей над полем, Р,аналогично определяются термины "система линейных алгебраическихуравнений над полем Р", "линейное пространство над полем Р".ВРЗАД АЧИПримеры колец и полей40. 1 . Выяснить, какие из следующих числовых множеств образуют кольцо ( но не поле ) и какие поле относительно сложенияи умножения чисел; в случае кольца указать, обладает ли оноедицицей:1) целые числа Z;2) четные числа 2Z ;3) целые числа nZ, кратные данному целому п > 3 ;4) неотрицательные целые числа;5) рациональные числа Q;6) рациональные числа, в несократимой записи которых знаменатели делят ф иксированное число п Е N ;7) рациональные числа, в несократимой записи которых знаменатели не делятся на ф иксированное число п Е N ;8) рациональные числа, в несократимой записи которых знаменатели являются степенями заданного простого числа р;9) вещественные числа IR;10) вещественные числа вида а + bij2, где а , Ь Е Q;1 1) вещественные числа вида а + b ij2 + с�, где а , Ь, с Е Q;12) вещественные числа вида а + Ь V2, где а , Ь Е Q.Глава Х.
Элементы общей алгебры36640. 2 . Выяснить, какие из сле,цующих множеств вещественных матриц п-го порядка, п > 2, образуют кольцо ( но не поле) ,а какие поле относительно сложения и умножения матриц; в случае кольца указать, является ли оно коммутативным , кольцом сединицей, кольцом с делителями нуля:1 ) симметрические матрицы;2) ортогональные .матрицы;3) верхние треугольные матрицы ;4) диагональные матрицы;5) матрицы, у которых все строки, начиная со второй, нулевые;( -� � ) , где а , Ь IR ;7) матрицы вида ( -� � ) , где а, Ь Q ;8) матрицы вида ( 2� � ) , где а, Ь IR;9 матрицы вида ( � ) где а, Ь)2�,Q.40. 3 .
Выяснить, относительно каких из сле,цующих операций6) матрицы видаЕЕЕЕсложения и умножения множество IR х IR пар вещественных чиселобразует кольцо ( но не поле) , а для каких - поле; в случае кольцауказать , является ли оно коммутативным , кольцом с единицей,кольцом с делителями нуля :1) ( a , b) + (c, d ) = ( a + c, b + d) ; ( a, b) · (c , d) = (ac, a d + b) ;2) ( a , b) + (c, d) = (а+ с , Ь+ d) ; ( a, b) · ( c, d) = ( a c - bd , a d + bc) ;3) (а, Ь) + (с, d ) = (а + с , Ь + d) ; ( а , Ь) ( d ) = (О, О) ;4) (а, Ь) + (с , d ) = ( а + с , Ь + d) ; (а, Ь) · ( с , d) = (а с , bd) ;5) (а, Ь) + ( с , d) = (а + с , Ь + d) ; (а, Ь) · (с, d) = (а с, a d - Ьс) ;6) (а, Ь) + ( с, d) = ( а + с , Ь + d ) ; (а, Ь) (с , d ) = ( a d , bd ) .·с,·40.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
