Том 1 (1113042), страница 62
Текст из файла (страница 62)
1 1) задает эллипсоид с центром<====>- х 1 = -../2, у 1 = 3, z 1<===> хх' = у' = z'полуосями а = 6, Ь = 3, с = 2 ../3 и осями симметрииу 3,У 1 = о3, <===>у - z - о <====>z-хZ1=О=О1х'{ =/=z'=Q=0 <===>{ Х1Z1 == Q-v12,={ ХУ 11 = 3- v12,(�'�2= 1 , у = 3, z = - 1 ,{ = = О;{ ХZ = - 1 ;<===:>-==--1,{ Х + Z = -2,8у = 3.Отметим, что вид, форму и расположение в пространстве поверхностивторого порядка, заданной общим уравнением (38. 1 ) , можно (так же, какдля линий второго порядка) определить непосредственно с помощью инвариантов 2 .х ' = у'<===>=<===:>-ЗАДАЧ ИВ задачах этого параграфа считается , что система координат прямоугольная декартова.
Случай произвольной аффиннойсистемы координат оговаривается особо .38 . 1 . Составить уравнение кругового конуса, проходящегочерез все три координатные оси.38 . 2 . Составить уравнение кругового конуса, касающегосяплоскостей Oxz и Oyz по прямым Ох и Оу соответственно.38 . 3 . Направляющая цилиндра дана уравнениями х = y 2 + z 2 ,х = 2z , а образующая его перпендикулярна к плоскости направляющей. Составить уравнение цилиндра.38 .4. Найти прямые, проходящие через начало координат ицеликом лежащие на поверхности y 2 + 3xy + 2yz - xz + 3x + 2y = О.Система координат аффинная.2 См.
[1 , с.3 1 2-327] .Глава IX. Линии и поверхности второго порядка34238. 5 . Найти те прямолинейные образующие поверхности х 2 +у 2 + 5z 2 - 6ху + 2yz - 2 x z - 12 = О, которые параллельны прямойх- 1 = у+3 = z .2-11---Система координат аффинная .38 . 6 . Найти линию пересечения поверхности:1) Зх 2 + 4у 2 - 5z 2 + 2ху - Зуz + 5х - 8 = О с плоскостью Оху;2) х 2 + Зz 2 + 2ху + 4x z + 2yz + 5х - z = 1 с плоскостью Oyz;3) х 2 + у 2 - 2ху + 5yz + x z - х + Зу - z = О с плоскостью Oz x.Система координат аффинная .38.7. Определить вид линии пересечения поверхности х 2 +2у 2 + z 2 + 4ху - 2 xz - 4yz + 2х - 6z = О с плоскостью х - z = Ои исследовать ее форму и расположение в пространстве.38.8.
Пользуясь методом Лагранжа, показать, что следующие уравнения в общей аффинной системе координат определяют поверхности, распадающиеся на пару плоскостей, и найти этиплоскости:1)2)3)4)у2 + 2ху + 4 x z + 2yz - 4х - 2у � О;х 2 + 4у 2 + 9z 2 - 4ху + 6 xz - 12yz - х + 2у - 3z - 6 == О;Зх 2 - 4у 2 + Зz 2 + 4ху + lO x z - 4yz + 6х - 20у - 14z - 24 = О;5х 2 + 4у 2 + Зz 2 + 9ху + 8 x z + 7yz + 7х + 6у + 5z + 2 = О .38 .
9 . Определить вид поверхности , пользуясь методомЛагранжа ( система координат аффинная) :1) 4х 2 + 6у 2 + 4z 2 + 4x z - 8у - 4z + 3 = О;2) х 2 + 5у2 + z 2 + 2ху + 6 xz + 2yz - 2х + 6у - lOz = О;3) х 2 + у 2 - Зz 2 - 2ху - 6 x z - 6y z + 2х + 2у + 4z О;4) х 2 - 2у2 + z 2 + 4ху - 8 x z - 4yz - 14х - 4у + 14z + 16 = О;5) 2х 2 + у2 + 2z 2 - 2ху - 2yz + х - 4у - 3z + 2 = О;6) х 2 - 2у 2 + z 2 + 4ху - lO x z + 4yz + х + у - z = О;7) 2х 2 + у 2 + 2z 2 - 2ху - 2yz + 4х - 2у = О;8) х 2 + у 2 + 4z 2 + 2ху + 4 x z + 4yz - 6z + 1 = О;9) 4ху + 2х + 4у - 6z - 3 = О;10) ху + xz + yz + 2х + 2у - 2z = О .==38 . 10. Определить вид и расположение поверхности, пользуясь переносом системы координат:1)2)3)4)5)х 2 + 4у2 + 9z 2 - 6х + 8у - 36z = О;4х 2 - у2 - z 2 + 32х - 12z + 44 = О;Зх 2 - у2 + З z 2 - 18х + lOy + 12z + 14 = О;6у 2 + 6z 2 + 5х + 6у + ЗОz - 11 = О;z = 2х 2 - 4у 2 - 6х + 8у + 1 ; 6) z = х 2 + Зу 2 - 6у + 1 ;§38.
Поверхности, заданные общ1пни уравнениямих 2 + 2у 2 - 3 z 2 + 2х + 4у - 6 z = О ;х 2 + 4у 2 - z 2 - 10х - 16у + 6z + 16 = О;9 ) 3х 2 + 3у 2 + 3z 2 - 6х + 4у - 1 = О;10) Зх 2 + 3у 2 - 6х + 4у - 1 = О;1 1 ) 4х 2 - у 2 - 4х + 4у - 3 = О3437)8).38. 1 1 . Определить вид поверхности и ее расположение относительно системы координат, пользуясь поворотом системы координат вокруг одной из ее осей:1) z 2 = 2ху; 2) z = ху; 3) z 2 = 3х + 4у; 4) z 2 = х 2 + 2ху + у 2 + 1 .38 . 1 2 . Определить вид поверхности и ее расположение относительно системы координат, пользуясь переносом и поворотомсистемы координат вокруг одной из ее осей:1) х 2 + 4у 2 + 5z 2 + 4ху + 4z = О;2 ) х 2 + 2х + Зу + 4z + 5 = О ; 3) z = х 2 + 2ху + у 2 + 1 ;4 ) 2ху + z 2 - 2z + 1 = О;5) х 2 + у 2 - z 2 - 2ху + 2 z - 1 = О;6) 2ху + 2х + 2у + 2z - 1 = О ;7) х 2 + у 2 + 2z 2 + 2ху + 4z = О ;8) х 2 + у 2 + z 2 - 2yz - 2х - у + 1 == О;9) z 2 - 2ху - 4х - 2у + 2z - 3 = О38.
1 3 . Определить ф орму и расположение в пространствегеометрического места точек, равноудаленных от оси О z и отпрямой у = z, х = 1 , не лежащей с осью О z в одной плоскости..Глава Х . Э лемент ы о б ще й алге б р ы§39 .ГруппаНепустое множество G с заданной на нем алгебраической операциейназывается группой, если:1) операция ассоциативна:*(а * Ь) * = а * ( Ь * ) \/а , Ь , Е G ;операция обладает нейтральным элементом Е G:а * е = * а = а, Va Е G ;3) для любого элемента а Е G' найдется симметричный элемент а ' Е G:а * а = а' * а =О б о з н а ч е н и е : G или (G, *). Условия 1)-3) называются аксиомамигруnпъt.
Группа с коммутативной операцией называется ком.м,утативнойили абелевой.Если групповая операция названа умножением, то группу G называют мулътипликативной, нейтральный элемент - единицей ( и обозначаютсимволом 1), симметричный элемент к элементу а - обратным а ( и обозначают символом а - 1 ). Аналогично аддитивна.я группа - это группа, в котос2)сс ,еее.крой групповая операция названа сложением, при этом нейтральный элементназывают нулем ( и обозначают символом О) , симметричный элемент к элементу а противоположным к а ( и обозначают символом -а).Обычно при исследовании группы используется терминология мультипликативной группы.Из аксиом группы и свойств алгебраической операции следует, что1) в любой группе существует, и притом единственный, нейтральныйэлемент;в любой группе для каждого элемента существует, и притом единственный, симметричный элемент.Т е о р е м а 39. 1.
Множество С с ассо'Циативной алгебраи'Ческой-2)опера'Цией .являете.я группой, если оно обладает правой едини'Цей u поотношению к ней кажi}ый эле.м,ент а Е G обладает прав'Ьlм обратнъш.Сл е дс т в и е. В группе люба.я права.я едини'Ца .являете.я левой и тойединственной едuни'Цей, которой эта группа обладает, а любой правЪtй обратнЪtй эле.м,ент к элементу а группъt .является левЪtм и тем единстве'НобратнъLМ, которЪtм обладает элемент а.Т е о р е м 39.2. Множество G с ассо'Циативной алгебраи'Ческойопера'Цией .является группой тогда и толъко тогда, когда эта оnера'Ци.яобладает обратной.В адцитивной группе обратная операция называется въt'Читанием (справа и слева}, а элементы х = Ь + (- а) и у = (-а) + Ь - разностъю ( правосторонней и левосторонней соответственно) .
В абелевой группе обе разностисовпадают и обозначаются единым символом Ь - Аналогично определяется деление и частное в мультипликативной группе.епН'ЬtМаа.§39 . Группа345В любой группе действует закон сокращения слева и справа:ахха == уаау <====>- хх == уу;.Две группы G 1 и G2 с операциями * 1 и * 2 называют изомоrхfтими, еслисуществует биективное отображение f : G 1G2 , которое сохраняет групповую операцию, т.е.f( a * 1 Ь) = f( a ) * 2 f(b), \/а, Ь Е G1 .G2 . Само отображение f при этом называют изоО б о з н а ч е н и е G1морфизмом.Изоморфизм обладает следующими свойствами:1) отношение изомо'fХfiизма являете.я отношением эквивалентностина множестве всех групп;в изомо'fХfiнъtх группах G 1 и G2 образ (и прообраз) едини'Ц'Ьt являете.яедини'Цей;3) в изомо'fХfiн'Ь/,Х группах G 1 и G 2 образ (и прообраз) обратного элемента является обратнъtм эле.ментом, т.е.
f(a- 1 ) (f(a))- 1 •Непустое подмножество Н группы G называется подгруппой группы G,если оно само является группой относительно алгебраической операции вG.Т е о р е м 39.4. Подмножество Н группъt G являете.я подгруппойэтой групп'Ь/, тогда и толъко тогда, когда имеют место следующие имплика'Ции:Н1 ) а,Ь Е НаЬ;Е1Еа- Е Н.а НПусть G группа, М и N два ее подмножества. Произведением М Nэтих подмножеств называется множество всевозможных произведенийгде Е М, Е N . Очевидно, что имеет место свойство ассоциативности:(М N)K = Nl ( N К ) .Т е о р е м а 39.3.<===:>--+:l"V2)==а=>2)=>-m-mn ,пЕсли одно из подмножеств состоит только из одного элемента, напримерNJ = m } , то произведение N обозначается символом mN, а произведениеNM символом Nm.Пусть - подгруппа группы G,элемент группы :tv1ножествоназывается левъtм смеЖН'ЫМ классом группы G по подгруппе порожденН'ЬLМ элементом а множество На - правъtм смежнъtм классом.Из определения смежных классов следует, что:М{-Наа,-G.
Н ,аН1) а Е аН, а Е На, Va E G;смежнъtй класс состоит из элементов группЪL, при'Чем любой элемент группъt входит в какой-нибудъ смежнЪLй класс;3) подгруппа Н .является од'Ним из смежнъtх классов (как левых, так иправых) ;4) в абелевой группе аН = На, \/а Е G.Т е о р е м 39. 5. Смежнъи.t класс порождается люб'Ь/,м своим элементом.Т е о р е м 39.6. Люб'Ь/, е два левъtх (прав'Ь/,х) смежнЪLх класса либосовпадают, либо не пересекаются.Итак, вся группа разбивается на непересекающиеся левые (правые) смежные классы по подгруппе Н.
Это разбиение называется левосторонним (соответственно правосторонним) разло;ж:.ением групп'Ь/, G по подгруппе Н.2)ааГлава Х. Элементы общей алгебры346Группа, состоящая из конечного числа элементов, называется конеttt нойгруппой. Число элеl\1ентов конечной группы называется ее порядком и обозначается символом card G.Т е о р е м а 39.
7 (теорема Лагранжа) . Во всякой коне'Чной группепорядок ее подгрупп'ы являете.я делителем порядка самой группъt.Если а элеыент группы С , п Е Z, то п-й степенъю а называется элемент-1,n = O;аа . . . а, п > О;na( 1 ) - n , п < О.В аддитивной группе п-я степень элемента а обозначается символом паи называется элементом, кратн'Ьtм элементу а.Т е о р е м а 39.8. Дл.я любъ�х m , п Zаm ап = a n a m == a m+ n '( a 'n ) n = a mn .Если все степени элемента а группы различны, то а называется элементом бесконе'Чного порядка. Если же имеются совпадения: a m = a n , m -:/= п, то( пусть m > п) а m п == 1 , т.е. существуют положительные степени элементаа, равные 1 . Наиl\·Iеньшее положительное п, для которого ап = 1 , называетсяпорядком элемента а, при этом а называется элементом коне'Чного порядкааn-�Е-п.Т е о р е м а 39.9. Множество {а} всех степеней элемента а групп'ЬLобразует подгруппу группъ� G.Подгруппа {а} называется цнклн-ч,еской подгруппой, поро:ж;денной элементом а.Группа G называется 'Цикли'Ческой, если она состоит из степеней одногоиз своих элементов а, т.е.
совпадает с одной из своих циклических подгрупп{а} ; элеl\lент а называется о6'разующнм элементом группы G.Подгруппа Н группы G называется нормалы-1,ъ�м делителем, если длялюбого элемента а Е СGаН == На,т.е. если любой левый ( правый ) смежный класс одновременно является правым ( левым ) смежным классом.Элементы а и Ь группы G называются сопр.яженнъ�ми, если существуетэлемент с Е С такой, что а = с - 1 ьс.Т е о р е м а 39.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
