Том 1 (1113042), страница 60
Текст из файла (страница 60)
3 ) является эллипс.Зам е 'Ч а н и е . Плоскость (37 . 3 ) не проходит через вершину конуса пересекает все его образующие. l\1ожно показать, что в сечении конуса такимиплоскостями всегда лежит эллипс.П р и м е р 37. 3 . Определить вид сечения конуса х 2 + у2 == z 2 плоскостью(37 . 5)х + z + 1 = о.Р е ш е н и е. Параметрические уравнения плоскости (37. 5 )х= -v, у = и, z == -1 vвыражают пространственные координаты х, у, z точки плоскости через еегде Мо ( О, О,,плоскостные координаты u,v в системе координат { Afo ;е2, е 2 == { -1, О, 1 } .
Подставив эти выражения в уравнение-1конуса,, получим== {О, 1, О}уравнениелинии пересечения конуса с плоскостью:v2 и2 = 1 - 2v + v2 {::=:::> и2 -2 ( v - �),которое определяет параболу. •3 ам е 'Ч а н и е . Плоскость ( 37 . 5) не проходит через вершину конуса и параллельна только одной образующей х == t, у = О, z = -t).
11Iожно показать,что в сечении конуса такими плоскостями всегда лежит парабола .П р и м е р 37.4. Определить вид сечения конуса х 2 + у 2 z 2 плоскостью(37. 6)х-4=ш е н и е. Подставив параметрические уравнения х == 4, у == и + v,v плоскостив уравнение конуса, получим уравнение линии пересеzчения== Ри е-конусас плоскостью:uv+16=ов плоскостной системе координат { о ; е , е 2 , где Мо == ( 4 , О, О), е =={О, 1, 1 , е 2 = {О, 1, - 1 . Полученное уравнение определяет гиперболу.
•3 а м е 'Ч а н и е. Плоскость (37 . 6) не проходит через начало координат ипараллельна двум образующиl\I конуса. l\1ожно показать, что в сечении ко11=17>> О, 1I1 КзКз•и+) eiei ,}=+(=о}}А1.1}1нуса такими плоскостями всегда лежит гипербола.Цилиндры. Поверхности, определяемые в некоторой прямоугольнойГлава IX. Линии и поверхности второго порядка332декартовой системе координат Oxyz уравнениемх2 + у2 = 1 ,(37.
7)а 2 ь2х 2 у2 = 1 ,(37.8)ь2у2 = 2рх,(37.9)называются соответственно эл.л,ипти'Ческим, гиnерболи'Ческим и параболи'Ческим цилиндрами (рис.а2-2-4).zzРис.Рис. 32Рис.4Цилиндры обладают следующими простейшими свойствами.1 ° . Дл.я эл.л,ипти'Ческого u гиперболи'Ческого цилиндров координатнъ�еплоскости кано'Н'l.t'Ческой cucrne.м,ъi координат цилинdра .являются плоскост.ямн симметрии, координатнъ�е ocu - ос.я.м,1� симметрии, а кажда.я то'Чка оси Oz центром симмеrпрнн цилинdра. Ось Oz канонической системыкоординат называются осъю цилиндра.2° . Дл.я параболи'Ческого цuлuнdра (37.9) координатная плоскостъ Oxz.являете.я плоскосrпъю сuмметри1�, коорд1�наrпная осъ Ох - осъю симметрии.
Центра симметрии параболический цилиндр не имеет.3° . Все се'Чени.я цнлиндров плоскостями z = h , h Е IR, одинаковъ� и.являются: элл1�псами дл.я эл.л,ипти'Ческого цuлиндра, гиперболами дл.я гuперболи'Ческого и параболами дл.я па<раболи'Ческого цилинdра. Любое сечениецилиндра плоскостью z = h называется его направляющей.Если в уравнении (37.7) эллиптического цилиндра а = Ь, то такой цилиндр называется круговЪLм.4° Пр.ям'ЬLе, проходящие 'Через то'Чку цuлиндров (37.7)-(37.9) пара.ллелъно оси.
О z, .явл.яютс.я пр.я.м.олинейн'ЬLми образующими.Отметим, что поверхности (37.7) , (37.8) и (37.9) могут быть полученыдвижением образующей, когда какая-либо точка на образующей описывает2 у2хх 2 у2соответственно эллипс+ ь2 = 1 , z = о, гиперболу 2 - ь2 = 1 , z = о, и-а2а§3 7. Конусы и цилиндр ы333у 2 = 2рх, z = О.параболуП р и м е р 37 . 5. Выяснить, по какой линии пересекаются цилиндрх2 + 2у 2 = 1у - z = 2.и плоскость(37.
10)(37. 1 1 )Система координат прямоугольная.Р е ш е н и е. Выберем ортонормированный базис плоскости (37 . 1 1) из ее{ 1 , 0, 0} ,направляющих векторов - напрш\.1ер, из векторов ei11J2 , J2 } , и дополним его до ортонормированного базиса всего простран11ства вектором{ , J2 ' - } . Тогда как следуег из §23) новые коордиJ2натыточки пространства будут связаны со старыми координатамипо формулам11))((={О,х,х',у',z'у, zе3 =е2 =(Ох = х , y = J'2 y + z ' z = V2, y - z ' ./11/Отсюда и из (37.10) и (37. 1 1) следует, что координаты точки искомогосечения в новой системе координат должны удовлетворять соотношениям:�-/:2) 2 = 1 ,1,2{2у'z')(2{ z(;'=) 2 J2+ (у. ' +(х' ) + �уГn2L.Z ' = 2Таким образом, искомым сечениемявляетсяокружность радиуса 1 сJ2- J2центром в точке х' О, у' =, z' =или, что то же самое , х = О,у = о, z = -2=.
•=ЗАД АЧИВ задачах этого параграфа считается , что система координатпрямоугольная декартова.37. 1 . Найти уравнение цилиндра с образующей, параллельной оси Oz и направляющей - окружностью х 2 + у 2 + z 2 = 3,z =1.37. 2 . Образующая цилиндра параллельна оси Oz, его направляющая - окружность х 2 + у 2 = 2z, х 2 + у 2 + z 2 = 8 . Найтиуравнение цилиндра.37. 3 . Найти уравнение конуса с вершиной в точке 0(0, О, О)и направляющей - окружностью х 2 + у 2 + z 2 = 1, х + у + z = 1 .37.4. Написать уравнение конуса с вершиной (2, 3 , 6) , зная ,что плоскость Оху пересекает его по эллипсу, оси которого параллельны осям Ох и Оу, причем эллипс касается этих осей координат.334Глава IX.
Линии и поверхности второго порядка37 . 5 . Написать уравнение поверхности, получающейся привращении прямой у = k x + Ь, z = О вокруг оси Ох.37.6. Прямаях -3 2у z=2=6вращается около осиОх.Найтиуравнение описанной ею поверхности.37 . 7. Написать уравнение кругового цилиндра радиусаосью которого является прямаях - хоау - УаЬr,z - z0с37 .8. Написать уравнение кругового цилиндра, проходящегочерез точку ( 1 , -2, 1 ) , осью которого служит прямаях1у-12z+З-237. 9 .
Составить уравнение кругового цилиндра, образующиекоторого касаются сферы х 2 + у 2 + z 2 = 1 и составляют равныеуглы с осями координат.37 . 10 . Найти острый угол между образующими конуса х 2 +у 2 - z 2 = О, по которым его пересекает плоскость 5х + 10у = 1 1 z .37. 1 1 . Найти уравнение семейства прямолинейных образующих цилиндра х 2 - у 2 = 1 .37. 1 2 . Найти уравнение семейства прямолинейных образующих конуса х 2 + у 2 - z 2 = О.37. 1 3 .
Показать, что линия пересечения двух цилиндров х 2 +у 2 = 1 и х 2 + z 2 = 1 не является плоской кривой.37. 14. Доказать, что линия пересечения двух параболических цилиндров у 2 = х и z 2 = 1 - х лежит на круговом цилиндре.Каково уравнение этого цилиндра? Является ли рассматриваемая линия пересечения плоской кривой?37. 1 5 . Показать, что сечение конуса х 2 + 2у 2 - 4z 2 = О плоскостью х + 2z = 5 представляет собой параболу. Найти ее фокуси ось симметрии.37. 16. Показать, что сечение конуса х 2 + 2у 2 - 4 z 2 = О плоскостью х - z = 2 представляет собой гиперболу.
Найти ее центри полуоси.37. 17. Показать , что сечение конуса x 2 - 2y 2 - 4 z 2 = О плоскостью 2х + z + 5 = О представляет собой эллипс. Найти его центри полуоси.37. 18. Доказать , что плоскость v'a 2 - b 2 y ± bz = О пересекает·§38.335Поверхности, заданные общими уравнениямиэллиптический цилиндрх2 + у2а 2 ь2=1 , а > Ь,по окружности.37. 1 9 . Показать , что сечение цилиндра у 2 = 2х плоскостьюх + у + z 1 = О представляет собой параболу.
Найти ее ось ифокальный параметр.37. 20 . Н айти фокусы эллипса, получающегося при пересече2нии цилиндра х + у 2 = 36 плоскостью 3х + 4у + 12z = О37. 2 1 . Какую поверхность образуют точки всех прямых с направляющим вектором а, которые пересекают:2а) окружность х 2 + у = 1 , z = О , если а = { 1 , 1 , 1 } ;б) эллипс х 2 + 2у 2 = 8, z = 1 , если а = { 1 , О , 1 } ;в) параболу у 2 = 2рх, z = О (р > О) , если а = { 2, - 1 , 1 } ?37. 22 . К акую поверхность образуют точки всех прямых:а) пересекающих окружность х 2 + у 2 = 1 , z = 1 и проходящихчерез точку ( 1 , О, О) ;б) пересекающих параболу у 2 = х, z = О и проходящих черезточку (2, о, 1 ) ;2в ) пересекающих гиперболу х - у 2 = 8, z = О и проходящихчерез точку (О, О, 2) ?-.§38 .Поверх ности второго порядка , заданныеобщи м и уравнениямиПусть Oxyz аффинная система координат в пространстве.
Алгебраическая поверхность второго порядка определяется уравнением-равны нулю, aiJ = aj i (i, j =где не все коэффициенты aij (i, j =называется общим уравнением поверхности второго порядУравнениека.В основе классификации поверхностей второго порядка лежит тот жепринцип, что и для линий второго порядка (см. §35) . В соответствии с этимпринципом все поверхности второго порядка делятся на семнадцать классов.Т е о р е м а 38. 1 . Общее у]Jав'н ениеповерхности второго по�_р.яиr.;апереходом к новоtt а'J11rr.rr..Jлmнои системе коордtm aт О' , у , z , можно при-1 , 3)1,3).(38.1)( 38.1)хвестн к одному и толъко одному из следующих семнадv,ати видов:.......336Глава IX.
Линии и поверхности второго порядкаУравнениеНазваниеповерхности1 ( х ' ) 2 + (у ' ) 2 + ( z ' ) 2 1 ЭJl,./1,ипсоид2 ( х ' ) 2 + (у ' ) 2 + ( z ' ) 2 - 1 Мним'ый ЭJ1,J1,ипсоид3 ( х ' ) 2 + ( у ' ) 2 + ( z ' ) 2 О В'Ьtроэкденный ЭJ1,J1,иnсоид4 ( х' ) 2 ( у' ) 2 - ( z ' ) 2Однополостны,йгиперболоид22''2(х ) + у' ) - ( z )Двуполостнъtй гиперболоид6 ( х ' ) 2 + (у' ) 2 - ( z ' ) 2Конус7 (х ' ) 2 + ( у' ) 2 z 'Эллипти'Ческийпшраболоид2'2(х ' )()z'Гипербоули'Ческийпараболоид(х' )' 22 (у' ) 22ЭJl,./1,ипти'Ческийцилиндр10 ( х ) + (у ' )Мю.tмъtйэл.липти'Ч.ескийцилиндр11 ( х') 2 - ( у ' ) 2Гиперболи'Ческийцилиндр2''12 ( у ) хПараболи'Ческийцилиндр2'213 ( х ' ) ( у )Парапересекающихсяплоскостей2'1 4 (х ' ) + ( у ) 2Парамнимъtхпересекающихсяплоскостей2'15 ( у )1Парапараллел'ЬН'ЫХплоскостей21 6 (у' )Парамнимъ�хпараJl,./1,елънъ�хплоскостей2о1 7 ( у' )Пара совпадающ1�х плоскостей==+589=(==.==-+====-====1-1О1-11ОО-1=Как и для линий второго порядка , наиболее простым способо м построения такого преобразования аффинной системы координат являетсяметодЛагранэка.П р и м е р 38.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
