Том 1 (1113042), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Определить вид линии пересечения двуполостного гих 2 + у2 - z 2 = -4х + у - z + 3 = о.с плоскостью(36. 7)Р е ш е н и е. Запишем уравнение плоскостиформе(36 . 7) в параметрической{ �z = �,и '+ v + 3.v7)(36.{ Мо; е2}, Мо (О, О, 3) , = { 1, О, 1}, е2 = { О, 1, 1 } .2 + v2 - (и + v + 3) 2 + 4 = Оиили2иv + 6и + 6v + 5 == О.преобразование координат и = и + v , v =и - v приводит это уравнениек виду (и') 2 - (v') 2 + 12и' + 5 =О или (и' + 6) 2 - (v') 2 = 31.
Перенос началакоординат и" =и' + 6, v" = v ' дает уравнение гиперболы (и") 2 - (v") 2 =31.Значит, и иплоскостные координаты точки плоскостив системегдекоординатeiei ,Уравнение линии пересечения в этой системе координат имеет вид-''//•П ри м ерСоставить уравнения прямолинейных образующих однополостного гиперболоида36 .4 .х 2 + -у 2 - -z2 = 1 '16 9 4проходящих через точку Мо(4, 3, 2).Р е ш е н и е.
Согласно теореме 36. 1 через каждую точку гиперболоидапроходят две прямолинейные образующиеа( � - �) = /3(1 - � ) ,/3( � + �) = a( l + �),Ct2 + ,в2 -:/= оит(� - �) = 0(1 + � ) ,12 : О ( � + � ) = 1 (1 - �) ,"2 + 8 2 -:/= о .321§36. Эллипсоиды, гиперболоиды, параболоидыТак как они пересекаются в точкеискомые прямые имеют уравнения. { -: +- -�z == 11 +- �-у ·l1 .х4 26Мо , то /3 = 1 , = О. Таким образом,а =иl 2 ..3{ 1�--у�==О.о,З•Параболоиды.
Поверхность, определяемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат Oxyz уравнениемх2 у2а 2 ь2+ = 2z,(36.8)где а , Ь >называется( рис.а поверхность, определяемая уравнениемх2 - у2а2 ь2 =где а , Ьназывается( рис.Уравненияиназываютсясоответственно эллиптического и гиперболического параболоидов, а соответствующие системы координат Oxyz для данного параболоида.Если в уравненииэллиптического параболоида а = Ь, то такойпараболоид называетсяО,эл.лиnти-ческим nа'раболоидом 4),(36.9)2z,м параболоидом5) .> О, (36.8) гиnерболu'Ческttканонu'Ческнми уравнени.ями(36.9)канонu'Ческими(36.nа'раболоидом8)вращения.zzРис.4Рис.5Эллиптический и гиперболический параболоиды обладают следующимипростейшими свойствами.1 1 -427 1Глава IX. Линии и поверхности втор ого порядка3221°. Координатнъ�е плоскости Oxz и Oyz канони'Ческой систе.м,ъ� коорi}ннат пшраболоида .явл.яютс.я плоскостями симметрии, а координатная осъOz - осъю симметрии параболоида.
Точка 0(0, О, О) пересечения параболоида с его осью симl\11 етрии называется вершиной параболоида. Плоскость Охуслужит касательной плоскостью к параболоиду в его вершине.2° . Пшраболоидъ� - неогранн'Ченнъ�е поверхности, при'Чем элл1tnти'Ческийпараболоид целиком расположен в полупространстве z > О.3° . Плоскостн х h и у пересекают эллипти'Ческий параболоид попараболам, ветви котор'ЬtХ направлен'Ьl вверх. Се'Чени.я же эллипти-ческогопараболоида плос·костями z == > О, представляют собой эллипс'Ьl, 'Ч'Ьиполуоси неогранн'Чеюю возрасп�ают при4° . Плоскости хупересекают гиперболи'Ческий параболоид по параболам, при'Чем ветви== первой параболъ� направленъt вннз, а второй - вверх. Се'Чени.я же гиперболи-ческого параболоида плоскостями z hпредставляют собой гиперболъ� за uсклю'Чение.м, одного слу'Ча.я: касателъна.я плоскостъ z О пересекает эту поверхностъ по паре пересекающихсяпр.ЯМ'ЬtХ.hh, h hh h====='l.L�-оо .===Как и однополостный гиперболоид, гиперболический параболоид покрыт двуl\,IЯ семействами прямолинейных образующих.а 36.2.
Через кажю то-чку гиперболи'Ческого пшраболоТеоремдуида (36 . 9) проход.яrп две пр.ямолинейнъtе образующие, общие уравненu.я коrпор'ЫХ имеют вид:/J( : t) ,2/j = а ( � - 1;) , tt+az =о? +J' Z = 8 ( � - � ) ,Ьа�28 !' ( + ]!_ )Ьа==1' 2 + 8 2 -:/= О./3 2 -:/= О'П р и м е р 36 . 5. Составить уравнения прямой, на которой лежат центрысечений эллиптического параболоида1 6 9 == 2 zплоскостяl\ш, параллельными плоскости х z.Р е ш е н и е.
Плоскость, параллельная плоскости х z , иыеет уравнениех - z + t О, t Е IR. Она проходит через точку Мо(О , О, t) и имеет направляющие векторы 11 , О, 1 ,== {О, 1 , О , поэтому ее пара.метрическоеуравнение имеет видх = и,х2 + у2====е== {{ у ==} е2====}v,(36.10)z t + и,где и и v - плоскостные координаты точки плоскости в декартовой системекоординатУравнение линии пересечения параболоида с такой плоскостью имеетвид1 6 9 == 2(t + u )поэтому центр линии пересечения ( эллипса или пары пересекающихся пряu 4, g = О.мых ) определяется из условий4С учетом (36.
10) получим, что центры сечений лежат на прямой16 , у == о . •{Мо; е1 , е2 } ·tt2 + v 2==vх§36. Эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды323З АД АЧИВ задачах этого параграфа считается , что система координатп рямоугольная декартова.36 . 1 . Составить уравнение эллипсоида, оси которого совпадают с осями координат, если он пересекает координатные плосz2х2=1кости Oxz и Oyz соответственно по линиям у = О, 25 +2zи х = О,+ = 1.g 16у21636 . 2 . Составить уравнение эллипсоида, оси которого совпадают с осями координат, если он проходит через эллипс z = О ,х2 у 2+ = 1 и через точку M( l , 2 , v'23) .g1636 . 3.
Составить уравнение эллипсоида, оси которого совпадают с осями координат, если он проходит через окружностьх 2 + у 2 + z 2 = 9, z = х и точку М ( 3 , 1 , 1 ) .36.4. Написать уравнение эллипсоида с вершинами в точках(О, О, 6) и (О, О, -2) , зная , что плоскость Оху пересекает его поокружности радиуса 3.36.4. 1 . Составить уравнение эллипсоида, оси которого параллельны осям координат, зная, что в его сечении плоскостью Oyzлежит эллипс 2 у 2 + 4z 2 - 4у + 8z + 3 = О, а плоскостью Oxzэллипс х 2 + 4z 2 - 2х + 8z + 3 = О .36. 5 .
Написать уравнение поверхности, получающейся прих2 у2вращении эллипсаа2 + Ь2 = 1 (а > Ь) , z = О:1) вокруг его большой оси; 2 ) вокруг его малой оси.36 . 6 . Установить, при каких значениях D плоскость 2х + 2у +z - D = О пересекает эллипсоид 4х 2 + 4у 2 + z 2 = 4.36. 7. Найти ортогональную проекцию на плоскость Оху линии пересечения эллипсоида х 2 + 4у 2 + 16z 2 = 16 и плоскостих + 4z - 4 = О .36 . 8 .
Найти центр сечения эллипсоида х 2 + 2 у 2 + 4z 2 = 10плоскостью:-1) x + y + 2z = 5; 2) x + y + z = 7.36. 9 . Найти уравнение множества центров сечений эллипсоида х 2 + 2 у 2 + 3z 2 = 4 плоскостями , параллельными плоскостиГлава IX. Линии и поверхности второго порядка324x + y + z = l.36. 10. Найти уравнение плоскости, пересекающей эллипсоид2х + 2 у 2 + 4 z 2 = 9 по эллипсу, центр которого находится в точкеС(З, 2, 1) .36. 1 1 . Определить координаты центра окружности, лежащейв сечении сферы x 2 + y 2 + z 2 = R2 плоскостью Ax + By + Cz + D =О. При каком необходимом и достаточном условии такое сечениесуществует?36. 1 2 .
Доказать, что если и и v большая и малая Полуосиэллипса, получающегося при пересечении эллипсоида·-х2 у2 z2+ ь2 + 2 = 1 ,2аса>ь> с > о,плоскостью, проходящей через его центр, тоа > и > Ь > v > с.36. 1 3 . Найти полуоси эллипсов, лежащих в сечении:.., 2у221 ) эллипсоида х + 4 + -<- = 1 плоскостью х + у = О;92) эллипсоида 4х 2 + у 2 + 4z 2 = 4 плоскостью х - у = 1 ;3) эллипсоида 4х 2 + 4у 2 + z 2 = 4 плоскостью х + у + z = О ;4) эллипсоида 2 х 2 + у 2 + z 2 = 1 плоскостью х + у - z = 1 .36.
1 3. 1 . Доказать, что сечения эллипсоидаплоскостями,х2 у2 z 2+ ь2 + 2 =2ас1,а>ь>с > о,c Ja 2 - Ь2х ± а JЬ2 - c2 z + D = О ,где I D I < ac v1а2 - с2 , представля ют собой окружности. Найти ихрадиусы.36. 14. Выяснить, по какой линии пересекаются два эллипсоидах2 у2х2у2 z 2z2+ 2 = l , 2 + ь2 + 2 = 1 , а > ь .ь2 + 2аасс36. 1 5 . Написать уравнение однополостного гиперболоидавращения, проходящего через прямые у = ± х , z = О и черезточку ( 1 , 2 , 3) , если известно, что ось Oz является его осью симметрии.§36. Эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды32 536 . 16. Написать уравнение двуполостного гиперболоида свершинами (О, О , ±6) , зная, что плоскости Oxz и Oyz являются его плоскостями симметрии и пересекают его по гиперболам ,асимптоты которых образуют с осью О z углы, соответственноравные 1Г /6 и 1Г /3 .36.
1 7. Написать уравнение плоскости, параллельной плоскох2 у2сти Oyz и пересекающей однополостный гиперболоид g + 4 z 2 = 1 по гиперболе, действительная полуось которой равна 1 .36 . 18. Найти прямолинейные образующие поверхности х 2 +у 2 = 2 (z 2 + 1 ) , проходящие через точку ( 1 , 1 , О) .36. 19. Определить угол между прямолинейными образующими однополостного гиперболоида х 2 + у 2 - z 2 = 1 , проходящими через произвольную точку.36.
20. Найти уравнение плоскости, пересекающей гиперболоид х 2 + 4у 2 - 9z 2 = 36 по паре прямых, проходящих через точкуМ ( 6, -3, 2) .36. 2 1 . Составить уравнения плоскостей, проходящих черезточку ( а , О , О) и пересекающих однополостный гиперболоидх2 у2z2+ ь2 - 2 = 1 по двум r1араллельным прямым .2ас36. 2 2 . Пусть Р - множество всех точек гиперболоида2ху2z2в которых его прямолинейные обр азующие+ ь2 - 2 =2аспересекаются под прямым углом . Доказать, что:а) множество Р непусто тогда и только тогда, когда выполнено условие n1ax ( а , Ь) > с;б) при а = Ь > с множество Р является объединением сеченийгиперболоида плоскостями z = ±cJ(a2 - с2 ) / ( а2 + с2 ) ;в) множество Р является пересечением гиперболоида с шаром2х + у 2 + z 2 = а 2 + ь2 - с2 .36 . 23 .
Доказать , что проекции прямолинейных образующихгиперболоида х 2 + у 2 - z 2 = 1 на плоскость О х у касаются окружности х 2 + у2 = 1 .36. 24. Доказать, что прямолинейные образующие однопох 2 у2 z 2лостного гиперболоида 2 + ь2 - 2 = 1 проектируются на плосаскость Оху в касательные к горловому эллипсу.36 . 2 5 . Определить, какие линии второго порядка могут по-1,326Глава IX. Линии и поверхности второго порядкалучиться в сечении:а) однополостного гиперболоида;б) двуполостного гиперболоидапроизвольной плоскостью.36 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
