Том 1 (1113042), страница 54
Текст из файла (страница 54)
точка !vlo лежит вне эллипса.Уравнениене имеет решений, т.е. из точки М0 нельзя провестини одной касательной к эллипсу, если(34.9)хЬ2 < 1 , т.е. точка Мо лежит внутри эллипса.<====>- аб2 + УбОтметим, что при D > О угловые коэффициенты касательных к эллипсуопределяются в силупо формулеD<О(34.9)k=Хо УоуП5/4 .х 2о - а 2±•ЗА Д АЧИВ задачах этого параграфа считается, что система координатп рям оугольная декартова.34 . 1 . Составить каноническое уравнение эллипса, если:1) его полуоси равны 5 и 4;Глава IX. Линии и поверхности второго порядка2982)равнарасстояние меж,цу фокусами равно5;8и большая полуосьбольшая полуось равна 1 3 и эксцентриситет с = �� ;расстояния от одного из фокусов до концов большей осисоответственно равны 7 и 1;5) прямые х = ±8 являются директрисами, а малая осьравна 8 ;6) расстояние между вершинами, лежащими на большей оси,равно 16 , а расстояние между фокусами равно 10 ;7) фокусами эллипса являются точки (±1 , О) , а точка ( v'з ,v'з/2 ) принадлежит эллипсу;8) фокусами эллипса являются точки (±2 , О) , а директрисамиявляются прямые х = ±18;9) расстояние от директрисы до ближайшей вершины равно 4, а до вершины, лежащей на оси, параллельной директрисе,равно 8;10) треугольник с вершинами в фокусах и в конце малой осиправильный, а диаметр окружности, проходящей через центр идве вершины эллипса, равен 7.34.
2 . Составить уравнение семейства эллипсов, имеющих одни и те же фокусы F1 (- c, O) , F2 ( c , O) .34. 3 . Оси эллипса совпадают с осями координат. Составитьуравнение эллипса, если известно, что эллипс проходит черезточки Р(2, 2 ) , Q (3, 1).34.4. Определить эксцентриситет эллипса, зная , что:1 ) его малая ось видна из фокуса под прямым углом ;2) расстояние меж,цу фокусами равно расстоянию между вершинами малой и большой осей;3) расстояние между директрисами в четыре раза большерасстояния между фокусами;4) отрезок между фокусом и дальней вершиной большей осиделится вторым фокусом в отношении 2 : 1 .34.
5 . Известно, что фокус эллипса имеет координаты ( 1 , О) ,ему соответствует директриса х = 7, а эксцентриситет с равен1/ 2 . Найти второй фокус и вторую директрису этого эллипса.34.6. Определить эксцентриситет эллипса, если расстояниемежду фокусами есть среднее арифметическое длин его осей .3)4)х2 у234. 7. Через фокус эллипса 2 + 2Ьа=1 проведена хорда,299§34 . Эллипс, гипербола и параболаперпендикулярная к большей оси .
Найти длину этой хорды.34.8. Найти эксцентриситет эллипса, зная , что стороны вписанного в него квадрата проходят через фокусы эллипса параллельно его малой оси.34. 9 . Составить уравнение прямой, проходящей через сере-х2у21 , лежащих на прямых100 + 642х - у + 7 О и 2х - у - 1 О .х 2 у234 . 9 .
1 . Через точку (х о , О ) большей оси эллипса 2 + 21а Ьпроведена хорда с угловым коэффициентом k. Найти длину этойдины хорд эллипса===хорды.34. 9 . 2 . Доказать, что среди хорд эллипса, параллельных заданной прямой, максимальную длину имеет хорда, проведеннаячерез центр эллипса. Такая хорда называется диаметром эллипса.34 . 9 . 3. Доказать , что две параллельные хорды эллипса равны тогда и только тогда, когда они симметричны относительноцентра эллипса.34 . 9 .4. Многоугольник называется вписш-t/н ым в эллипс, если все его вершины принадлежат этому эллипсу. Доказать, чтодиагонали параллелограмма, вписанного в эллипс, явля ются егодиаметрами.34.
9 . 5 . Доказать, что стороны прямоугольника, вписанногов эллипс, параллельны его осям .х 2 у234 . 10 . Дан эллипс 2 + 2Ьа1.Вычислить длину стороныквадрата, вписанного в этот эллипс.34 . 10. 1 . Доказать, что максимальная площадь параллелох 2 у2грамма, вписанного в эллипс 2 + 2Ьа1 и две стороны которогоравна 2 аЬ .=пар аллельны заданной прямой ,34. 1 0 . 2 . Доказать , что стороны прямоугольника максимальНОЙveiь .х2 у2площади , ВПИСаННОГО В ЭЛЛИПС 2 + 2Ьа=1,равны J2a И34. 10.
3 . Доказать, что геометрическое место середин хорд2 у2хэ лли пса 2 + 2а Ь=1 с угловым коэффициентомk есть диаметр300Глава IX. Линии и поверхности второго порядкаэллипса с угловым коэффициентом k 1 = - Ь2 /(ka 2 ) .34 . 10.4. Доказать , что сторона ромба, вписанного в эллипс2у2ха2 + 2 = 1 , пересекает большую ось эллипса в точке с абсциссойЬa b v'l + k2kv'a + Ь 'х о - --===2 2гдеkугловой коэффициент этой стороны.34. 1 1 . Доказать, что если d i и d2 длины взаимно перпендикулярных диаметров эллипса, то величина d} 2 + d2 2 постоянна.34. 1 2 . Написать уравнения эллипса и гиперболы с фокусами(7, О) и (-7, О) , проходящих через точку (-2 , 12) .34. 1 3 .
Составить каноническое уравнение гиперболы, если:1 ) действительная и мнимая полуоси соответственно равны 5и 3;2) фокальное расстояние равно 1 0 и вещественная полуосьравна 4;3) вещественная полуось равна 24 и эксцентриситет с = i� ;4) действительная полуось равна 8 , а угол 'Р меж,цу асимптотой и действительной осью равен arctg � ;5) расстояние между вершинами равно 10, а расстояние между фокусами равно 12;6) действительная полуось равна 1/2, а точка ( 1 , 3 ) принадлежит гиперболе;7) угол между асимптотами, содержащий фокус, равен 60° , арасстояние от директрисы до ближайшей вершины равно 3(2 --V3)/2;8) эксцентриситет гиперболы равен 7 /5, а расстояние от вершины до ближайшего фокуса равно 2;9) точка ( - 1, 3 ) принадлежит гиперболе, а асимптотами являются прямые у = ± 2 х.34. 14. Известно, что фокус гиперболы имеет координаты( 3, 0 ) , ему соответствует директриса х = -1/5, а эксцентриситет с равен 5/3.
Найти второй фокус и вторую директрису этойгиперболы.34. 1 5 . Пусть две гиперболы имеют общие асимптоты. Доказать, что:1 ) если эти гиперболы лежат в одной и той же паре вертикальных углов, образованных их асимптотами , то их эксцентри-§34. Эллипс, гипербола и парабола30 1с итет ы р авны между собой;2) если эти гиперболы лежат в разных парах вертикальныхугл ов, образованных их асимптотами, то произведение их эксцентр иситетов больше или равно 2, причем это произведение равно2 только для равносторонних гипербол.34. 1 6 . Н аписать уравнение гиперболы, зная четыре точки(± 4, 2) , (±4, - 2) пересечения ее директрис и асимптот.34 .
1 7. Н айти эксцентриситет равносторонней гиперболы.34. 18. Дана равносторонняя гипербола х 2 - у 2 = 8. Найти гипроходяrцую через точку М ( -5, 3) .перболу с теми же фокусами,234. 1 9 . Н а гиперболе = 1 найти точку, для которой16фокал ь ные радиусы взаимно перпендикулярны.34. 20.
Доказать, что произведение расстояний от любой точки гиперболы до двух ее асимптот есть величина постоянная .34. 2 1 . Составить уравнение такой хорды гиперболыххg2 - 4у2-у-291 , которая точкой М ( 5 , 1 ) делится пополам .34. 2 1 . 1 . Доказать , что любая прямая пересекает гиперболупе более чем в двух точках.34 . 2 1 . 2 . Хордой гиперболы называется отрезок, концы которого лежат на гиперболе.
Показать , что хорды гиперболы лежатна прямых, не параллельных ее асимптотам .=2 у2х34. 2 1 . 3 . Найти длину хорды гиперболы 2 - 2 - 1 , еслиЬа222ее угло вой коэффициент равен k (k a - Ь =/= О) и она проходитч ерез точку ( О) действительной оси гиперболы.34. 2 1 .4 . Доказать , что при lkl < IЬ /al хорда гиперболыу21 с угловым коэффициентом k соединяет две раз- ь2х0 ,х2а2=ли чны е ветви гиперболы. Показать , что среди всех таких хорднаи меньшую длину имеет хорда, проходящая через центр гипербол ы. Эта хорда называется диаметром гиперболы .34. 2 1 . 5 .
Доказать, что две п араллельные хорды гиперболыравн ы тогда и только тогда, когда они симметричны относительно цен тра гиперболы.34. 2 1 . 6 . Многоугольник называется вписшн/н ъ�м в гиперболу,ес ли в се его вершины принадлежат этой гиперболе. Доказать ,ч то диагонали параллелограмма, вписанного в гиперболу, явля-302Глава IX.
Линии и поверхности второго порядкаются его диаметрами.34. 2 1 .7. Доказать , что стороны прямоугольника, вписанногов гиперболу, параллельны ее осям.2х34. 22 . Дана гиперболаа2 -у2Ь2=1 . Найти вершины квадра-та, вписанного в эту гиперболу, и указать , в каком случае такоепостроение возможно .·34. 2 2 . 1 .
Стороны квадрата, вписанного в гиперболу, -проходят через ее фокусы. Найти ее эксцентриситет.34. 23 . Составить каноническое уравнение параболы, если:1) расстояние от фокуса до вершины параболы равно 3;2) расстояние от фокуса до директрисы равно 12;3) длина хорды, проходящей через фокус параллельно директрисе, равна 5 ;4 ) длина хорды, проходящей через фокус под углом 45° к осипараболы , равна 18.34. 24. Найти координаты фокуса и уравнение директрисыпараболы у 2 = 6х.34. 25 .
На параболе у 2 = 8х найти точку, фокальный радиускоторой равен 20.34. 26. На параболе у 2 = 1 0 х найти точку М такую , что:1) прямая, проходящая через точку М и фокус параболы,образует с осью Ох угол 60° ;2) площадь треугольника с вершинами в искомой точке М,фокусе параболы и точке пересечения оси параболы с директрисой равна 5;3) расстояние от точки М до вершины параболы равно расстоянию от точки М до фокуса;4) расстояния от точки М до вершины параболы и до фокусапараболы относятся как 8 : 7.34. 27. Через фокус параболы у 2 = 2рх проведена хорда, перпендикулярная к ее оси. Определить длину этой хорды.34. 28. Найти такую хорду параболы у 2 = 4х, которая точкой(3, 1 ) делится пополам .34. 29 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
