Том 1 (1113042), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Прямая на плоскости и плоскость в пространствеЗАД АЧИВ задачах этого параграфа рассматривается аффинная система координат { О ; e i , е2 } на плоскости и {О; e i , е2 , е з } в пространстве.П р я м ая на пл9с кости30. 1 . Н айти тангенс угла а от оси Ох до прямой у = kx + Ь ,если :а) известны метрические коэффици енты 911 , 91 2 , 922 базисаe l , е2 ;б) известно, что 1 e l l = 1 е 2 1 = 1 и ( � ) = w .30 . 2 .
Найти тангенс угла 'Р от прямой у = k i x + Ь 1 до прямойу = k2 x + Ь2 , если:а) известны метрические коэффициенты 911 , 91 2 , 922 базисаel ' е 2 ;б) известно, что 1 e i l = 1 е 2 1 = 1 и ( �) = w .30 . 3 . Найти необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых A l x + В 1 у + С1 = О, А 2 х + В2 у + С2 = О,зная метрические коэффициенты 91 1 , 91 2 , 922 базиса e l , е 2 .30. 4 .
Базисные векторы аффинной системы координат имеют единичную длину. Определить угол w между ними, если известно , что прямые у - 2х - 3 = О и 5х + 4у - 5 = О перпендикулярны.30. 5 . Составить уравнение перпендикуляра, опущенного източки (х о , уа ) на прямую Ах + Ву + С = О, если 1 e i 1 = 1 е 2 1 = 1И ( �)= W.30.6. Через точку ( 2 , 5 ) проведена прямая, образующаяугол 1Г /6 с прямой 4х - Зу + 1 = О . Составить уравнение этойпрямой, если l e1 I = l e 2 I = 1 и ( � ) = rг/3.30 . 7.
Зная метрические коэффициенты 91 1 , 91 2 , 9 22 базисааффинной системы координат, составить уравнения семействапрямых:а) перпендикулярн ых к оси Ох ;б) перпендикулярных к оси Оу.30 .8. Найти расстояние d от точки (х о , уа ) до прямой Ах +Ву + С = О, зная метрические коэффициенты 9 11 , 9 1 2 , 9 2 2 базиса,взаимного к базису аффинной системы координат.-§30. Метрические задачи в аффинной системе координат 26930 .9 . Найти расстояние d от точки (хо , у0 ) до прямой Ах +Ву + С = О, если 1 e l 1 = 1 е2 1 = 1 и ( el,"e2 ) = w .30 .
10. Составить уравнения биссектрис углов между координатными осями, зная метрические коэффициенты 9 1 1 , 9 1 2 , 92 2базиса аффинной системы координат.30 . 1 1 . Составить уравнения биссектрис углов , образованныхпрямыми х - у - 1 = О и х + у + 2 = О, если 911 = 1 , 91 2 = 1 ,922 = 2.30 . 1 2 . Определить площадь треугольника, заключенногомежду осями координат и прямой Зх - 2у + 6 = О , если известныметрические коэффициенты 9ij базиса аффинной системы координат Оху.30.
1 3 . Зная метрические коэффициенты 9ij базиса аффинной системы координат Оху, составить уравнение прямой , отсекающей на осях координат ненулевые отрезки равной длины ипроходящей через точку М ( 2 , - 1 ) .30 . 14 . Составить уравнение перпендикуляра, опущенного източки A( l , 2) на прямую 2х + у - 1 = О, если 1 ei l = 1 е2 1 = 1 ,( � ) = 27Г /3. Какая точка является ортогональной проекциейточки А на эту прямую?30 . 15 . Составить уравнение серединного перпендикуляра котрезку с концами (1 , 1 ) и ( 1 , 3) , если 1 e i l = 1 е2 1 = 1 , ( � ) =1Г /4.30. 1 6 . Найти расстояние между параллельными прямымиАх + Ву + С1 = О и Ах + Ву + С2 = О , если \ e1 I = l e2 I = 1 ,( el,e"2 ) = w .30.
1 7 . Н а плоскости рассматривается аффинная система координат { О ; e i , е2 } , в которой ( � ) = rг/3. Известно, чтоточка A ( l , 2) удалена от прямой х + у - 1 = О на расстояние1 и ее ортогональной проекцией на эту прямую является точкаB ( l , О) . Найти метрические коэффициенты 9ij базиса.30. 18. Прямая у = 1 является биссектрисой угла между прямыми х = 1 и у = х. Найти угол w между базисными векторамиei , е2 , если известно, что они единичные.Плоскость в пространстве30. 1 9 .
Плоскость 1Г задана своим уравнением A x + By + Cz +D == О в некоторой аффинной системе координат. Доказать , чтоесли векторы f1 , f2 , fз образуют базис, взаимный к базису дан-270 Глава VII. Прямая на плоскости и плоскость в пространственой аффинной системы координат, то вектор р = А f1 +В f2 +C fзбудет перпендикулярен плоскости 1Г .30. 20. Найти расстояние d от точки (хо, уа) до плоскости Ах+Ву + С z + D = О, зная метрические коэффициенты 9ij базиса e i ,е2 , ез .30 .
2 1 . Найти необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух плоскостей Akx + Bky + Ckz + D k = О , k = 1, 2,если известна матриЦа Грама G = ( 9ij ) базисных векторов- аффинной системы координат.30. 22 . Найти углы между плоскостями Akx+Bky+Ck z+Dk =О, k = 1 , 2 , если известна матрица Грама G = ( 9ij ) базисныхвекторов аффинной системы координат.30 . 2 3 .
Зная метрические коэффициенты 9ij базиса аффинной системы координат Oxyz, составить уравнение плоскости,проходящей через точку M ( l, 2, 3) и отсекающей на осях координат ненулевые отрезки равной длины .30. 24 . Найти объем тетраэдра, заключенного между координатными плоскостями и плоскостью 2х + Зу - 6z + 12 = О, еслиизвестна матрица Грама G базиса аффинной системы координат-Oxyz.30 . 25 .
Известно, что l e1 I = l e2 I = 1, ei 1- е2 , l eз l = 2 ,( е1,ез ) = ( е2,ез ) = 1Г /3 . Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат, точку (1, 1 , 1) и перпендикулярной плоскости х + у + 2z - 4 = О .30 . 26. Известно, что \ e1 I = \ e2 I = 1 , ei 1- е2 , l e з l = 2,( е!,ез ) = ( е2,ез ) = 2 1Г /3. Составить уравнение плоскости, всеточки которой равноудалены от точек 0( 0 , О, О) и А(О, О, 2) .30. 27. Известно, что l e1 I = l e 2 I = 1, e i J_ е2 , l e з l = 2 ,( е!,ез ) = ( е2,ез ) = 1Г /3. Для каждого значения параметра анайти угол меж,цу плоскостью х + у + az 1 = О и ее векторомнормали n = { 1 , 1 , а } .-Глава VI I I .
Прямая и плоскость впространстве§3 1 .Уравнения прямой в пространстве .З адачи взаи м ного расположенияМо(хо, уо , zo) ,Прямая, проходящая через точкуромп, определяется уравнениями:а){ xу == Уоxo ++ nt,mt,а = { m, k}z zo + kt, t=или в векторной формеЕснаправляющим векто(31.1)IR ,(31.2)г = го + at, t IR,где Го - радиус-вектор точки Мо;6)х - хо у - уо - zo(31.3)пkmУравнения ( 31.1) и ( 31. 2) называются параметри'Ческими уравнени.ямив координатной и векторной формах соответственно , уравнения- канони'Ческимиу'[ХLвнен и прямой.(31.3)прямойВекторное уравнение (31.2) равносильно (согласно критерию коллинеарности) уравнению(31.4)[ г - го, а] = Оили[г, а] = М, где М = [го, а].(31.5)ЕzиямСистема уравнений[ 1� z� g� ]в случае, если rgпересечения плоскостейD 2 == О.
Системупространстве.Т е о р е м 31 . 1.l(31 . 6)2, определяет прямую, являющуюся линией+ В2 у ++ D 1 =уравнени.ями+ В1у + C1z?Т 1(31.6: А1хО и ?Т2 А2 хпрямойC2 z +общимив) называюта уравнениямиЕсли в аффинноймая задана общими(31.6), тосисте.мевектор координат Oxyz пря(31. 7).являете.я направляющим вектором этой прямой.=:Глава VIII. Прямая и плоскость в пространстве272Для запоминания координат векторанический определительа может быть использован мнемое1 , е2, езе1 , е 2, ез.аOxyz.гдебазис, соответствующий системе координатРазложение этого определителя по первой строке совпадает с разложением векторапо базисуВ прямоугольной декартовой системе координат, соответствующей ортонормированному базисувектор (31 .
является векторным пронормалейизведениеми n 2 к плоскостям 7Г 1 иПустьлежащейнанейточкойi1,2,заданакаждая из прямыхи направляющим векторомв некоторой аффинной системекоординат31.2.oihtoй-е 1 , еn21, ез,7).7Г2Взаимное расположениедвухпрямыхвпространстве.Mi( Xi , yi, Zi)=li ,ai = { тi , n i, ki}Oxyz.ТеоремаПрямъtеlиlлежатвплоскоститогда12и толъко тогда, когдаХ2т�- Х1 У2 n-1 У1=О.nт22когда Теорем а 31 .3. Прям'Ьtе l 1 и l 2 совпадают тогда и толъко тогда,[rg Х2т-1Х1 У2 -1 У1 Z2 ki ] == 1 ,т 2 n 2 k2парал.лелы-1,'Ьt и не совпадают тогда и толъко тогда, когдах-1 х1 У2 n-1 У1 z2 k- z1 = 2,2[km�]1,rrg [ : � nigп2 kт2 n2 k2iпересекаются тогда и толъко тогда, когда1У2Х2У1Х12ZZ_[z�]2rg [ :�=rg :� � �z���]Взаимное расположение прямой и плоскости.
Пусть в пространстве в некоторой аффинной системе координат Oxyz заданы плоскость7Г:Cz+D==ОАх+Ву+и прямаяl г = го + t а,где го = {xo, yo, zo}, а = {т, п, k}.l лежит в плоскости 7Г тогда и толъкотогда, Теоремкогда а 31 .4. Пр.яма.я++CkСz=o +О,D = О ;{ ААтха ++ ВпВуопрямаяв ней тогда и толъко тогда, когдаl параллелъна плоскости 7Г, +ноCkне=лежитO,{ АхаAт ++ BnВуо+Czo + D -:/= О ;пр.яма.я l пересекает nлоскостъ +7Г Вптогдаи толъкотогда, когда+Ck-:/=О.Ат[ n1 , n2 ]·п==:- Zt]§3 1 .273Уравнения прямой в пространствеП р и м е р 3 1 .
1 . Составить уравнение плоскости, параллельной прямойl .. x - 2 = y + 7 = �-231и проходящей через линию пересечения плоскостей 7Г 1 : х - у + 2 О и7Г2 : у + z - 4 = О. Система координат аффинная.Р е ш е н и е. 1-й с п о с о б. Из системы уравнений � + ; + � g, найдем частное решение (2, 4, О) , которое дает точку А(2, 4, О) , через которуюпроходит прямая пересечения плоскостей 7Г1 и 7Г2 • Из мнемонического определителяe i е 2 ез1 -1 о = {-1, -1, 1}11онаходим направляющий вектор р = { - 1 , - 1 , 1 } этой прямой. Из канонического уравнения прямой определим ее направляющий вектор q = { 1 , 3, -2} .Таким образом, искомая плоскость проходит через точку А и параллельнанеколлинеарным векторам р и q, поэтому она определяется уравнениемх-2 у-4 z-11 = 0 {==::> x + y + 2z - 6 = 0.-113-22-й с п о с о б.
Искомая плоскость принадлежит пучку плоскостей, определенному плоскостями 7Г1 и 7Г2 , поэтому ее уравнение имеет видах + ({3 - а)у + j3 z + 2а - 4/3 = О.а(х - у + 2) + J3(y + z - 4) = ОТак как прямая l параллельна этой плоскости, то ее направляющий вектор q = { 1 , 3, -2 } параллелен этой плоскости. Следовательно ,а + 3(/3 - а ) - 2{3 = О,откуда получим f3 = 2а ( можно взять а = 1, {3 = 2) и уравнение искомойплоскости х + у + 2z - 6 == О . •П р и м е р 31 .2. Составить уравнения прямой, проходящей через точку(2, 1 , О ) и пересекающей две прямые-2 у+2 zx+l у-1 zи х34 - 1·123Система координат аффинная.Р е ш е н и е.
Искомую прямую можно рассматривать как линию, по которой пересекаются две плоскости, проходящие через данную точку и однуиз данных прямых. Уравнения этих плоскостейx+l у-1 zх-2 у+2 z1 =03 = о,3412оооо11Оили Зу - z - 3 = О, х - Зz - 2 = О . Таким образом , хЗу -Зzz - 32 == о ' - общиеур авнения искомой прямой.
•П р и м е р 3 1 .3. Через точку пересечения прямойх- 1 у zl:23 4{l{__Глава VIII. Прямая и плоскость в пространстве274с плоскостью 7Г : х + 2у - z == О провести прямую, перпендикулярную даннойпрямой l и лежащую в данной плоскости 7Г . Система координат прямоугольная.Р е ш е н и е.
1-й с п о с о б. Обозначим через а = { 2, 3, 4} - направляющий вектор прямой l , а через n = { 1 , 2, - 1 } - вектор нормали к плоскости7Г . Вектор== [ а, n = { - 1 1 , 6, 1 } будет направляющим вектором искомойпрямой. Найдя точку Мо пересечения прямой l с плоскостью 7Г , :можно составить параметрические. уравнения искомой прямой. Имеем М0 ( !2 , - �4 , - 1)и13х - - - 1 l t ' у - - - + 6t , z - - 1 + t"242-й с п о с о б. Искомая прямая является пересечением плоскости 7Г иплоскости 7Г1 , проходящей через прямую l и перпендикулярной прямой l .Следовательно, плоскость 7Г 1 проходит через точку ( 1 , О, О ) и параллельнавекторам а = { 2, 3, 4 } и = [ а, n == { - 1 1 , 6, 1 } , поэтому она определяетсяуравнениемх-1 у z23 4 =О21х + 46у - 45z - 21 == О.-11 6 1Искомая же прямая задается общими уравнениямих + 2у - z = о,•21х + 46у - 45z - 2 1 = О .Ь]-.Ь]{ЗАД АЧИВ задачах этого параграфа считается , что система координатпроизвольная аффинная .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
