Том 1 (1113042), страница 52
Текст из файла (страница 52)
1 .Векторное уравнение плоскости, проходящей через точку Мо ( г0 ) , с направляющим векторами ai и а2 имеет видг = го + ai tt + a2v , u , v Е IR , или( г - го, ai , а2 ) = О, или( г, ai , а2 ) = р.Векторное уравнение плоскости, проходящей через точку Мо ( г0) и перпендикулярной вектору n , имеет вид( г - го , n ) = О, или( г, n ) = D.П р и м е р 33.
1 . Доказать, что уравнение [ г, а] = М, где а i= О ,( а , М) = О, определяет прямую. Найти ее направляющий вектор и какуюнибудь точку М0 ( го ) , ей принадлежащую. Составить параметрическое уравнение этой прямой.[Р е ш е н и е. Рассмотрим вектор ro =. Согласно формуле двойного векторного произведения (пример 25.6) имеем���][ го , а] __[ а, [ а, М]]l al 2__а(а , М) - М( а , а )l al 2М(так как ( а, М) = О) . Следовательно, точка Мо ( го ) принадлежит линии,определяемой рассматриваемым уравнением, которое в силу равенств а[ го , а] = М эквивалентно соотношению[ г - го , а] = О.Оно же, в свою очередь, равносильно коллинеарности векторов г - Г о и а ,т.е.
существованию такого t Е IR, что r - г0 = a t , т.е.г = го + at , t Е IR.Таким образом, уравнение [ г, а] = М, где а i= О, ( а , М) = О, определяет прямую с направляющим вектором а и проходящую через точку Мо ( го ) ,] , а параметрическое уравнение этой прямои" имеет видгде Го = [ а, МI al 2г=[ а, М]+ at ,1 al 2tЕIR.•(33.2)287§33 . Векторные уравнения прямой и плоскостиП р и м е р 33. 2. Найти радиус-вектор г0 точки М пересечения трехплоскостей ( г , n1 ) = D 1 , ( г, n 2 ) = D2 , ( г, nз ) = D з , где ( n1 , n 2 , nз ) -:/= О.Р е ш е н и е.
Искомый вектор Го является решением системы уравнений( г, n1 ) == D 1 ,( г, n 2 ) = D 2 ,(33.3)( г, nз ) = Dз .Будем искать го в разложении по базису n ; = [ n 2 , nз] , n� == [ nз , n1 ] ,n� == [ n1 , n 2 ] , взаимному к базису n1 , n 2 , nз , т.е. в видего = x n� + y n� + z n� .Умножая скалярно обе части этого равенства на n1 , n 2 , nз , получим( го , n1 ) = x( n 1 , n 2 , nз ) ,( г о , n 2 ) = ( n 1 , n 2 , nз ) ,( го , nз ) = z ( n1 , n'2 , nз ) .Так как Го - решение системы (33.3) , тоD2DзD1х ==z = ----==''( n1 , n 2 , nз )( n1 , n 2 , nз )( n1 , n 2 , n з ) 'Следовательно,{ууП р и м е р 33.3.
Составить параметрическое уравнение прямой l , являющейся линией пересечения плоскостей ( г, n 1 ) = D 1 и ( г, n 2 ) = D2 .Р е ш е н и е. Прямая перпендикулярна как n1 , так и n 2 , поэтому вектор а == [ n1 , n 2 ] - направляющий вектор В качестве точки Мо ( го) возьмем основание перпендикуляра, опущенного из полюса на прямую так что( го , а) == О. Таким образом, вектор Го является решением системы( г, n1 ) = D 1 ,( г, n 2 ) == D 2 ,( г, а) == О.Поступая так же, как и при решении системы (33.3) , получим, что[[ n1 , n 2 ] , D2 n1 - D 1 n 2 ] --- [ а, D 2 n1 - D 1 n 2 ] - ---- D 1 [ n 2 , а] + D 2 [ a , n1] Го ( а, [ n1 , n 2 ] ) ( n1 , n 2 , а)l [ n1 , n 2 ] 1 2Следовательно, параметрическое уравнение прямой имеет вид, n ], D n - D n ]Г - [[ n1 2 2 1 2 1 2 + [ n 1 , n 2 ] t , t E IR.I [ n1 , n 2 ] ll{l.l,·l•_l:П р и м е р 33.4.
Найти точку А11 ( г 1 ) пересечения прямой [ г, а] = М( а # О, ( а , М) == О) и плоскости 7r: ( г, n) == D, если известно, что ( n, a ) -:j= O.Р е ш е н и е. Воспользуемся параметрическим уравнением (33.2) пряыойТогда задача сводится к нахождению такого числа t Е IR, что[ а, Мг 1 == 1 2 ] + at 'al( г1 , n) == D,l.{288т.е.Глава VIII. Прямая и плоскость в пространстве2t( а, n ) + ( [ a, M2] , n) == D ===> t == D l al -2 ( a , M , n) .1 aj1 а 1 ( а, n)Отсюда21М, n)r 1 == 2 [ а, М] + D I al - ( а,а .
•1 al( а, n)()ЗАДАЧИ33 . 1 . Найти геометрическое место середин отрезков , концыкоторых лежат на двух скрещивающихся прямых.33 . 2 . Плоскость 1Г пересекает две скрещивающиеся прямые.Найти геометрическое место середин отрезков, параллельныхплоскости 1Г , концы которых лежат на этих прямых.33 . 3 . Доказать, что уравнение ( r, n ) = D, где n =!= О, определяет в пространстве плоскость. Найти ее вектор нормали икакую-нибудь точку Мо ( ro ) , ей принадлежащую.33 .4. Составить уравнение плоскости, проходящей черезточку М1 ( r1 ) и прямую r = ro + at , эту точку не содержащую.33 .
5 . Составить уравнение плоскости, проходящей черезточку М1 ( r1 ) и перпендикулярной к прямой r = ro + at .33.6. Составить уравнение плоскости, проходящей черезточку Мо ( ro) и перпендикулярной к прямой пересечения двухплоскостей ( r , n 1 ) = Di и ( r , n 2 ) = D 2 .3 3 .
7. Найти точку пересечения прямой r = ro + at с плоскостью ( r, n) = D .33.8. Найти точку пересечения прямой r = ro + at с плоскостью r = r 1 + Ьи + cv .33 . 9 . Найти точку пересечения прямой r = ro + at с плоскостью, проходящей через три точки Mk ( rk) , k = 1 , 2, 3, не лежащие на одной прямой.33 . 10. Составить уравнение прямой, проходящей через точкуМо ( ro ) и пересекающей две скрещивающиеся прямые r = r 1 +ai t и r = r 2 + a2 t.33 . 1 1 . Составить уравнение прямой, лежащей в плоскости( r , n ) = D и пересекающей под прямым углом прямую r = r o +at , если [ а , n] =!= О.33.
1 2 . Найти ортогональную проекцию точки Мо ( ro ) на прямую r = r 1 + at .§33 . Векторные уравнения прямой и плоскости28933 . 1 3 . Найти ортогональную проекцию точки М0 ( r 0 ) на прямую [ r , а] = М ( а # О , ( а, М) = О )33. 14. Найти проекцию точки Мо ( ro ) на прямую r = r1 + atпараллельно плоскости ( r , n) = D, если ( а , n) rf О.33 .
15 . Найти точку, симметричную точке Мо ( ro ) относительно прямой r = r 1 + at .33. 16. Найти ортогональную проекцию точки М0 ( r 0 ) наплоскость ( r , n) = D .33 . 1 7. Найти проекцию точки Мо ( ro ) на плоскость ( r , n) =D параллельно прямой r = r 1 + at, если ( а , n) =1 О .33 . 18 . Найти точку, симметричную точке Мо ( ro ) относительно плоскости ( r , n) = D.3 3 . 19 . Найти ортогональную проекцию точки Мо ( ro ) наплоскость r = r1 + аи + bv.33 . 20. При каком необходимом и достаточном условии четыре плоскости ( r , nk ) = Dk , k == 1 , 4, имеют единственную общуюточку?33 . 2 1 .
Даны две плоскости ( r, nk) = D k, k = 1 , 2. При каком необходимом и достаточном условии они: 1) пересекаются;2) параллельны; 3 ) совпадают?33 . 2 2 . Даны прямая r = ro + at и плоскость ( r , n) = D . Прикаком необходимом и достаточном условии : 1 ) они пересекаются;2) они параллельны; 3) прямая лежит в плоскости?33 . 2 3 . Даны две прямые r = rk + ak t , k = 1 , 2. При каком необходимом и достаточном условии они: 1 ) скрещиваются;2 ) пересекаются ; 3) параллельны; 4) совпадают?3 3 .
24 . Через прямую r = ro + at провести плоскость , перпендикулярную к плоскости ( r , n) = D , если [ а , n] rf О .3 3 . 2 5 . Через прямую r = ro + at провести плоскость, перпендикулярную к плоскости r = r 1 + Ьи + cv, если известно,что ( а , Ь) 2 + ( а , с ) 2 =1 О .33 . 26. Через линию пересечения двух плоскостей ( r , n1 ) =D1 и ( r , n2 ) = D 2 провести плоскость, перпендикулярную к плоскости ( r , n з ) = Dз , если известно, что ( n1 , n з ) 2 + ( n 2 , n з ) 2 # О33.
27. Через прямую [ r , а] = М ( а # О, ( а , М ) = О) провес ти плоскость, перпендикулярную к плоскости ( r , n) = D, если..[ a, n] rfO.33 . 28. Пусть [ а , Ь] # О . Через прямую r = ro +плоскость , параллельную прямой r = r1 + bt.1 0-427 1at провести290Глава VIII. Прямая и плоскость в пространс тве33 . 29 . Составить уравнение плоскости, проходящей черезточку Мо ( r o) и прямую [ r , а] = М, не содержащую точку Мо( ( а, М) = О) .33 .
30. Составить уравнение плоскости, содержащей две параллельные прямые r = r 1 + at и r = r 2 + at.33. 3 1 . Составить уравнение общего перпендикуляра к скрещивающимся прямы.м r = Г k + akt , k = 1 , 2 .33. 32 . Составить уравнение общего перпендикуляра к скреMk , k = 1 , 2 .щивающимся прямым [ r, a k]33 . 33 . Составить уравнение перпендикуляра, опущенного източки Мо ( ro) на прямую r r 1 + at, если [ r1 - ro , а] =!= О .33 .
34. Составить уравнение перпендикуляра, опущенного източки Мо ( ro) на прямую пересечения двух плоскостей ( r, nk )Dk , k = 1, 2, не содержащую точки Мо .33 . 3 5 . Составить уравнение перпендикуляра, опущенного източки Мо ( ro) на прямую [ r, а] = М ( а =!= О, ( а, М ) = О ) , несодержащую точки Мо .33. 36. Найти расстояние от точки Мо ( ro ) до плоскости( r, n) = D.33 .
37. На прямой r = ro + at найти точку, отстоящую отплоскости ( r , n) = D на расстоянии d.3 3 . 38. Найти расстояние от точки Мо ( ro) до прямой rr1 + at .33 . 39 . Найти расстояние от точки Мо ( r0 ) до прямой пересечения двух плоскостей ( r , n1 ) = D i и ( r, n 2 ) = D2 , не содержащей точки Мо .33 .40 . При каком необходимом и достаточном условии триплоскости ( r , nk) = D k , k 1 , 2 , 3 , образуют призму?33.41 . При каком необходимом и достаточном условии триплоскости ( r, nk ) = Dk , k = 1 , 2 , 3 , имеют и притом только однуобщую прямую?33.42 .
При каком необходимом и достаточном условии четыре плоскости ( r, nk) = Dk , k = 1, 4 , образуют тетраэдр?33.43. Найти ортогональную проекцию точки Мо ( ro ) на прямую пересечения двух плоскостей ( r, n1 ) = D1 и ( r, n 2 ) = D 2 .33.44. При каком необходимом и достаточном условии прямая r = ro + at пересекает треугольник с вершинами в точкахMk ( rk ) , k = 1 , 2, 3 ?-==•========Глава IX .
Ал ге б р аические линии иповерхности второго порядка§ 3 4.Эллипс , гипербола и параболаЭллипсомЭллипс.называется геометрическое место точек М плосикости, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точекплоскости есть постоянное число, большее, чем расстояние междуиЭто число мы обозначим черезТочкиназываютсярасстояние между ними называетсяи= p(!vl,= р(М,иназываютсяобозначается через 2с. Числаточки М.Таким образом, точка М плоскости является точкой эллипса тогда итолько тогда, когда> с.+ =Введем на плоскостиданного эллипза осьса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
