Том 1 (1113042), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Случай прямоугольной декартовой системы координат оговаривается особо.х у3 1 . 1 . В пространстве дана прямая = = 5 . Найти направ2 3ляющий вектор этой прямой.3 1 . 2 . Составить параметрические уравнения прямых:х - 2у + 4z = О,х + у - z + 5 = О,l) 3х2)2х - у + 2z - 2 = О.- 2 у + 5z = О;3 1 . 3 . Составить уравнения прямой , проходящей через точкиА и В, в каждом из следующих случаев:2) А (7, - 1 , 2) , В(5, - 1 , 4) ;1 ) А(2, 3, 1 ) , В( 4, 6, 9) ;{{3) A(l , 5, 1) , B ( l , -5, 1 ) .{{3 1 .4 . Представить каждую из следующих прямых как линиюпересечения плоскостей, параллельных осям Ох и Оу:х = -1 + t ,х = 3 + 5t,1)y = 7 - 4t ,z = - 6 + t;2)y = l - t,z = 5t .§3 1 .Уравнения прямой в пространстве2753 1 . 5 . Написать уравнения прямой:1) проходящей через точку (3, 5 , 1) параллельно прямойх = 2 + 4t, у = -Зt , z = -3;2 ) проходящей через точку ( О , - 5, 4 ) параллельно прямойх + 2у + 6 = о , z = 5 .31 . 6 .
Дана точка A( l , 2 , 3) . Считая , что система координатпрямоугольная:1) составить уравнения перпендикуляров, опущенных из точки А на координатные плоскости ;2 ) составить уравнения перпендикуляров, опущенных из точки А на оси координат;3) написать уравнения плоскостей, проходящих через точкуА и перпендикулярных к осям координат.3 1 . 7 . 1 ) Составить уравнения прямой , отсекающей на осяхОх и Оу отрезки, соответственно равные 2 и 3.2 ) Написать уравнение плоскости, проходящей через эту прямую и параллельной оси О z .3 1 .8.
Написать уравнения прямой, лежащей в плоскости Oyz ,параллельной оси Оу и отсекающей на оси О z отрезок, равный3.3 1 . 9 . 1) Написать уравнения плоскостей, проходящих черезось Oz и делящих пополам двугранные углы, образованные координатными плоскостями Oxz и Oyz .2) Написать уравнения биссектрисы угла между положительными направлениями осей Ох и О у.Система координат прямоугольная.3 1 . 10. Найти ортогональную проекцию прямой на плоскостьО ху в каждом из следующих случаев:5х + 8у - 3z + 9 = О, 2) х - 3 у - 4 z - 6l) 2х- 4у + z - 1 = О;-586Система координат прямоугольная .31 .
1 1 . Найти точки пересечения с плоскостями координаткаждой из сле,цующих прямых:х = 6 + 2t,6 х + 2у - z - 9 = О,y = - 2 + 4t,1 ) Зх + 2у + 2z - 12 = О;z = -5t.3 1 . 1 2 . Даны точки пересечения прямой с двумя координатными плоскостями: (О , у1 , z1 ) , ( х 2 , О , z2 ) . Вычислить координаты{{Глава VIII. Прямая и плоскость в пространстве276точки пересечения этой прямой с третьей координатной плоскостью.Установить, какие из следующих пар прямых скрещиваются, параллельны, пересекаются или совпадают; если прямые параллельны, написать уравнение плоскости, их содержащей; еслипрямые пересекаются , написать также уравнение плоскости, ихсодержащей, и, кро м е того , найти их точку пересечения .31 .
1 3 .1)З){{{{{{х = 1 + 2t ,х = 6 + Зt,х = 2 + 4t,y = 7 + t, и y = - l - 2t , 2) y = -6t,z = -2 + t;z = -l - 8tz = 3 + 4t= 1 + 9t,х = 1 + 2t ,-2t,у = 2 - 2t, и у = -5 + Зt , 4) у = 2 + 6t,z = 4;z = 3 + Зtz = -tх =ихи{{31 . 14.1){2){3){4){31. 15.1)2)З)4){{{{х + z - 1 = о,Зх + у - z + lЗ = О2х + Зу = О,x+z-8=0х + у + z - 1 = о,у + 4z = ОЗх + у - 2z = 6,41х - 19у + 52z = 68х = 9tу = 5t,z = -З + tx=tу = -8 - 4t,z = -З - Зtх = з + t,у = - 1 + 2t ,z=4Х = -2 + Зt,у = -1,z=4-t''ииии{х =- 2у + 3 = о,у + 2z - 8 = О;z-4=02х + Зz - 7 = О;2х + Зу + 6z - 6 = О ,Зх + 4у + 7z = О;х - 2у + 5z = 1 ,ЗЗх + 4у - 5z = 6З.х{{{'{2х - Зу - Зz - 9 = О,х - 2у + z + 3 = О;и{х + у - z = о,2х - у + 2z = О;и{х - Зу + = О ,х + у - z + 4 = О;и{2у - z + 2 = о,х - 7у + Зz - 17их = 7 - 6t ,y = 2 + 9t ,z = l2t;7 + 6t,у = 6 + 4t ,z = 5 + 2t.z=О.277Уравнения прямой в пространстве§3 1 .3 1 .
16 . При каком необходимом и достаточном условии двепрямые{ AА 1 xх ++ BВ1 yу ++ CC1 zz + DD 1 == 0,О и { АА4з хх ++ ВВз уу ++ СC4з zz ++ DD4з == ОО,42222+лежат в одной плоскости?3 1 . 1 7. Даны две прямые{ AА i хx ++ ВВ1 уу ++ CC1 zz ++ DDi == О,О и { АА4з хх ++ ВВ4з уу ++ СC4з zz ++ DD4з == О,О .2222С помощью рангов матрицG=А1А2АзА4В1В2ВзВ4С1С2СзС4иF=А1А2АзА4В1В2ВзВ4С1С2СзС4DiD2DзD4выразить условия, необходимые и достаточные для того, чтобыпрямые: 1) скрещивались; 2) пересекались; З) были параллельны;4) совпадали.Установить в каждом из следующих случаев, лежит ли данная прямая в указанной плоскости, параллельна ей или пересекает ее; найти точку пересечения прямой и плоскости.3 1 .
18.1) х - 12 у - 9 z - 1134хzу3+12)2з4х - 13 у - 1 z - 43)з28z-54) х - 7 у - 4415-{ 2х3x +- у5y+-z7z- 6+ =l6О= 0,+ 6z - 10 = О ,2) { x2х++yЗу+z+5=0З) { х5х++2уЗу++Зzz +- 816==О,ОиЗх + 5у - z - 2 = О;иЗх - Зу + 2z - 5 = О;их + 2у - 4z + 1 = О;иЗх - у + 2z - 5 = О.3 1 . 19 .l)и5х - z - 4 = О;иу + 4z + 17 = О;и2х - у - 4z - 24 = О.278Глава VIII. Прямая и плоскость в пространстве3 1 . 20. Найти точку встречи прямой х = 2t , у = 1 - t, z = З + tс плоскостью х + у + z - 10 = о.3 1 .
2 1 . Составить уравнения прямой, лежащей в плоскостиу + 2z = О и пересекающей прямые х = 1 - t, у = t, z = 4t их = 2 - t, у = 4 + 2t, z = 1 .31 . 22 . Составить уравнения прямой, проходящей черезточку ( З , - 1 , -4) , пересекающей ось О у и параллельной плоскости у + 2z = О.3 1 . 23 . Составить уравнения прямой , параллельной прямойх - Зу + z = О, х + у - z + 4 = О и пересекающей каждую из двухпрямых х = З + t , у = - 1 + 2t , z = 4t и х = -2 + Зt, у = - 1 ,z = 4 - t.3 1 . 24.
Составить уравнения прямой, проходящей через начало координат и пересекающей каждую из двух прямых х = t,у = 1 - t, z = 3 + t и х = 2 + 2t, у = 3 - t, z = 4 + Зt.3 1 . 25 . Составить уравнения прямой, проходящей через точку( 2, З, 1) и пересекающей каждую из двух прямых х + у = О, х у + z + 4 = О и х + Зу - 1 = О, у + z - 2 = О.31 .
26. При каком необходимом и достаточном условии прямая х = х о + mt, у = Уа + nt, z = zo + kt пересекает треугольникс вершинами в точках Mi (Xi, Yi , Zi ) , i = 1 , 2 , 3 ?3 1 . 27. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат и через прямую х = 3 - 2t, у = 1 + t, z = t.3 1 . 28. Написать уравнение плоскости, проходящей черезточку (1, 2, З) , параллельной прямой х = у = z и отсекающей наосях Ох и Оу равные отрезки.3 1 . 29 .
Составить уравнение плоскости, проходящей черезточку (-2, З, О ) и через прямую х = 1 , у = 2 + t, z = 2 - t.3 1 . 30. Составить уравнение плоскости, проходящей черезточку ( -З , 1 , О ) и через прямую x +2y- z+4 = О , 3x-y+2z- 1 = О.3 1 . 3 1 . Составить уравнение плоскости, проходящей черезпрямую х = 2 + Зt, у = - 1 + 6t, z = 4t и параллельной прямой х = -1 + 2t, у = Зt, z = -t.3 1 .
32 . Составить уравнение плоскости, проходящей через осьО у и параллельной линии пересечения двух плоскостей х + 4у 2z + 7 = О и Зх + 7у - 2z = О .3 1 . 33 . При каком необходимом и достаточном условии отр езок прямой х = х о + mt, у = Уа + nt, z = zo + kt между дву м япересекающимися плоскостями Aix + Bi y + Ciz + D i = О, i = 1 , 2,•279§32. Метрические задачи в пространствележит в остром угле, образованном этими плоскостями? Системакоординат прямоугольная.3 1 . 34 . Показать, что прямые х = 1 + 2t, у = 2t, z = t их = 1 1 + 8t, у = 6 + 4t, z = 2 + t пересекаются, и написать уравнения биссектрисы тупого угла между ними. Система координатпрямоугольная.3 1 . 35 .
Написать уравнения биссектрисы тупого угла междупрямойх - 2у - 5 = оу - 4z + 14 = 6и ее ортогональной проекцией на плоскость х+у+ 1 = О. Системакоординат прямоугольная .3 1 . 36. Доказать, что уравнение пучка плоскостей с осью{х - хотимеет виду - Уапkz - zoа - х 0 + /3 у - Уа + / z -k zo = О,пmагде произвольные постоянные , /3 , / Е IR таковы, что а +/3+1 = 0.х§3 2 .М етрические задачи в пространствеПусть Oxyz - прямоугольная декартова система координат пространсовпадающий сства. Угол ер между прямымиГi + t a i , i ==углом между их направляющими векторами ==вычисляетсяпо формулеm 1 m2 ++cos ер ==Jmy + + kr Jm� + += r0 + t а и плоскостью ?Т : Ax + By + Cz + D =Угол ер между прямойО находится как дополнительный к углу между направляющим векторомпрямой а ==и вектором нормали к плоскости n =ивычисляется по формулеli: r{ m, n, k }l: r==ai {mi, 1,ni,2,ki },n1n2 k i k2п� k�пу.{А, В, С }Am + В п + Ck lI2Jm + п2 + k2 Jл2 + в2 + с2 , 0 < ер < 7r/2.Расстояние р ( М 1 , l) от точки М1 ( r1 ) до прямой l r == r0 + t находитсякак высота h параллелограмма, построенного на векторах и lv/1 Mo :[a, r1 - ro]I .(32.1)р ( м 1 , l) l1 alРасстоянием между скрещивающимися прям'Ыми li: r = ri + t ai , i1 , 2, называется кратчайшее расстояние между точками этих прямых.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
