Том 1 (1113042), страница 48
Текст из файла (страница 48)
60. Составить уравнения прямых , отстоящих от точки( 1 , 9) на расстоянии, равном 5, и наклоненных к прямой х-7у = Опод углом 45° . Найти вершины квадрата, образованного этимипрямыми.29 . 6 1 . Внутри треугольника, образованного прямыми (АВ) :7х+у-2 = О, ( ВС) : 5х+5у-4 = О и (АС) : 2х -2у+5 = О, найтиточку, равноудаленную от двух его сторон АВ и ВС и отстоящуюот третьей стороны АС на расстоянии, равном 3J°2/4.29 .62. Найти центр и радиус окружности, проходящей черезточку (- 1 , 3) и касающейся прямых 7х + у = О, х - у + 8 = О.29 .
63 . Найти центр круга, вписанного в треугольник, ограниченный осями координат и прямой Зх - 4у - 5 = О.29 . 64 . Найти центр круга, вписанного в треугольник, стороны которого заданы уравнениями х + у + 12 = О, 7х + у = О,7х - у + 28 = 0 .2 9 . 65 . Составить уравнения биссектрис внутренних угловтреугольника, стороны которого заданы уравнениями Зх - 4у =О , 4х - Зу = О, 5х + 12у - 10 = О.29 . 66. Н аписать уравнение биссектрисы наибольшего изв нутренних углов треугольника со сторонами Зх - 4у - 2 = О,4х - Зу - 5 = О, 5х + 12у + 27 = О.29 .
67. Написать уравнения сторон квадрата, описанного около окружности с центром ( 1 , 9) и радиусом 5, зная, что одна изего диагоналей параллельна прямой х - 7у = О.29 . 68. Основанием равнобедренного треугольника служитпрямая х+2у+6 = О, а боковой стороной - прямая 2х+у = О . Н а-264 Глава VII. Прямая на плоскости и плоскость в пространствеписать уравнение другой боковой стороны треугольника, зная ,что ее расстояние от точки пересечения данных сторон равноУ5.29 .69 . Написать уравнения сторон прямоугольника, знаяуравнения его диагоналей 7х - у + 4 = О , х + у 2 = О и внутреннюю точку ( 3, 5) одной из его сторон.29 . 70 .
Центр симметрии квадрата находится в точке ( - 1 , О) ,а одна из его сторон задается уравнением x-f3y-5 О. Со.ставитьуравнения трех других сторон квадрата.29 . 7 1 . Даны уравнения x + y - 5J2 = О, х + у = О параллельных сторон ромба и точки ( 3 , 5) и ( 1 , О) , лежащие на двух другихего сторонах. Составить уравнения двух других сторон ромба.29 . 72 . Составить уравнения сторон квадрата, две параллельные стороны которого проходят через точки ( 2 , 1 ) и (3, 5) , а дведругие - через точки (О, 1 ) и (-3, - 1) .29 . 73 . Составить уравнения сторон квадрата, зная его центр( 1 , 6) и точки на двух непараллельных сторонах: ( 4 , 9) на сторонеАВ, ( -5, 4) на стороне ВС.29.
7 4. Даны уравнения боковых сторон равнобедренноготреугольника 7х - у + 4 = О , х + у - 2 = О и точка ( 3, 5) наего основании. Составить уравнение основания.2 9 . 75 . Написать уравнения сторон ромба, зная точку M(l , 6)пересечения его диагоналей и по одной точке на трех его сторонах: Р (3, О) на стороне АВ, Q( 6, 6) на стороне ВС, R(5, 9) настороне CD .29 . 76. Вершины острых углов прямоугольных треугольниковперемещаются по двум параллельным прямым , а вершина прямого угла - по прямой, к ним перпендикулярной.
Какую линиюописывает при· этом основание перпендикуляра, опущенного извершины прямого угла на гипотенузу прямоугольного треугольника?29. 77. Найти геометрическое место точек, сумма расстояний которых до катетов С А и С В прямоугольного треугольникаАБС равна расстоянию до его гипотенузы АВ.29 . 78. Найти множество точек плоскости, отношение расстояний от которых до двух пересекающихся прямых А 1 х + В 1 у +С1 = О и А2 х + В2 у + С2 = О есть постоянная величина, равная k .-==§29 . Метрические задачи в прямоуголь ной системе координат265Плоскость в пространстве2 9 .
79 . Через точку М(-5, 16, 12 ) проведены две плоскости:одна из них содержит ось Ох, другая - ось О у. Вычислить остры й угол между этими плоскостями.29 .80. Через начало координат провести плоскость, перпендикулярную к плоскости 5х - 2у + 5z - 10 = О и образуюшую сплоскостью х - 4у - 8z + 12 = О угол 45° .29.8 1 . Через линию пересечения плоскостей х + 5у + z = Ои х - z + 4 = О провести плоскость, образующую угол 45° сплоскостью х - 4у - 8z = 1.2 9 . 82 .
Вычислить косинусы внутренних двугранных угловтетраэдра, образованного плоскостями координат и плоскостью2х + Зу + 6z - 1 2 = О.29.82 . 1 . Плоскость задана уравнением z а х + Ьу + с. Н айтитангенс острого двугранного угла, образованного этой плоскостью и координатной плоскостью Оху.29.83. Найти косинус того угла между плоскостями :1 ) 3х + у - 2z + 4 = О и х - 7у + 2z = О ;2 ) 8х + 4у + z + 1 = О и 2х - 2у + z + 1 = О,в котором лежит точка ( 1, 1, 1 ) .29.84. Грани тетраэдра заданы уравнениями: 2x - 2y + z + 2 =О, 8x + 4y + z - 16 = О, x + y + z - 5 = О, 4х + 3у = О . Вычислить косинус внутреннего двугранного угла тетраэдра, ребром которогослужит линия пересечения первых двух плоскостей.29 .85. Проверить, что три плоскости l lx + 10у + 2z = О,3х+4у = О, x-y+z- 1 = О образуют призму, и вычислить косинусее внутреннего двугранного угла, образованного первыми двумяплоскостями.29 .86.
Три плоскости Akx + Bky + Ckz + Dk = О, k = 1 , 2 , 3, образуют призму. При каком необходимом и достаточном условиивсе внутренние двугранные углы этой призмы будут острые?29 . 87. Составить уравнения биссекторных плоскостей двугр анных углов меж,цу двумя плоскостями 7х + у - 6 = О , Зх +=5у - 4z + 1 = О.29 . 88.
Составить уравнение биссекторной плоскости тогодвугранного угла меж,цу двумя плоскостями Зх + 5у - 4z + 1 О ,х - z - 5 = О, в котором лежит начало координат.29.89 . Н аписать уравнение биссекторной плоскости острогодву гранного угла, образованного плоскостью 2х - Зу + 6z - 6 = О=266 Глава VII. Прямая на плоскости и плоскость в пространствес плоскостью Oyz.29 .90 . Грани тетраэдра заданы уравнениями 8 x +4y+z - 16 =О , 2х - 2у + z + 5 = О , х + у + z + 5 = О, 4х + Зу = О. Написатьуравнение плоскости, делящей пополам внутренний двугранныйугол тетраэдра между первой и второй плоскостям·и.29 .
9 1 . Составить уравнения плоскостей, параллельных плоскости Ах + Ву + Cz + D = О и отстоящих от нее на расстоянии,равном d.29 . 9 2 . Найти расстояние d между двумя параллельнымиплоскостями Ах + Ву + Cz + D1 = О и Ах + Ву + Cz + D 2 = О.29 .93. Даны вершины тетраэдра А ( О, О, 2 ) , В ( З, О, 5 ) , C(l, 1 , О)и D ( 4 , 1 , 2 ) . Вычислить длину высоты, опущенной из вершины Dна грань АБС.29.94. Внутри треугольника, высекаемого на плоскости Охуплоскостями x+ 4y+ 8z + 8 = О , x - 2y+2z + 2 = О, 3х+ 4у + 12 = О,найти точку, равноудаленную от этих плоскостей.29 .
95 . На оси Oz найти точку, равноудаленную от точки( 2, 3 , 4 ) и от плоскости 2х + Зу + z - 17 = О.29 . 96. На оси Оу найти точки, равноудаленные от двух плоскостей х + у - z + 1 = О , х - у + z - 5 = О .29. 97. Составить уравнение плоскости, параллельной плоскости 2х + у - 4z + 5 = О и отстоящей от точки ( 1 , 2, О) на расстоянии, равном J2I.29 .98. Написать уравнение плоскости, отсекающей на осяхкоординат отрезки, пропорциональные числам 1 , 2, 3, и отстоящей от точки (3, 5 , 7) на расстоянии, равном 4 .29 .99. Найти центр и радиус шара, вписанного в тетраэдр,ограниченный плоскостями координат и плоскостью 1 l x - lOy 2z - 57 = О.29 .
100. Написать уравнение плоскости, проходящей черезточку А ( 5, 2 , О) и удаленной от точки В ( 6 , 1, - 1 ) на расстоянии,равном 1, и от точки С(О, 5, 4 ) на расстоянии, равном 3.29 . 10 1 . Через линию пересечения плоскостей х + 28у - 2z +17 = О , 5 x + 8y - z + l = О провести плоскости, касающиеся сферыс центром в начале координат радиуса 1 .29. 102 .
Составить уравнения общих касательных плоскостейк сферам с центрами ( 1 , 1 , О) , (О, 1, -2 ) и радиусами 1 , 2 соответственно, если известно, что они проходят через начало координат.§30. Метрические задачи в аффинной системе координат 26729 . 103 . Составить уравнения общих касательных плоскостейк трем сферам с центрами (О, О, О) , ( -2 , 3, - 1 ) , (3, -1, 1) и радиусами 1 , 2, 4 соответственно.§3 0 .М етрические задачи в аффинной системекоординатp(Mo,l)П р и м е р 30.
1 . Доказать , что расстояниеот точкидо прямой= О определяется формулойМо(хо,уо)l : Ах + Ву + С_ I Axo + Вуо + C I Jdet G '(30. 1 )р (мо , l) y'g1 1B2 - 2g 1 2 AB + 922 А2где G = ( gij ) - матрица Грама базисных векторов аффинной системы координат.Р е ш е н и е. Пусть Р(х 1 ,у 1 ) - основание перпендикуляра, опущенного��из точки Мо на прямую l. Тогда p(Mo,l) = jPMo l · Найдем вектор РМо .Для этого будем искать вектор Ь = {m, k}, перпендикулярный прямой l .Так как а = {- В , А} - направляющий вектор прямой l, то ( а, Ь) = О, т.е.(9i1- В= ( + А е)2, m + k е2 ) = О, или, с учетом метрических коэффициентовkB+kA=О-mB+mAg2g1g1g11222Следовательно, можно взять( 30 2)�Тогда РМ0 = t b, t JR иIP Mo l = l t \ 1 b l === l t l J((Ag2 2 - Bg1 2 ) +(Bg11 -A g1 2 ) е 2 , ( Аg22 -Вв1 2 ) + ( Bg11 -Ag12 ) е 2 ) === l t l Jв 22 A 2 - 291 2 АВ + g11 B 2 Jg1192 2 - 9 �2 ·Таким образом,·eieiei , ej ,..Е--+·eiei(30.3)�{tm,tk},tm,Ухох11tk.l,t = 922 А2Ахо- 2+91В2 АВуо ++Сg11B2 .Отсюда и из (30.3) следует, что+ Ci v'det G2 .p(Mo,l) = I JJМ;; I J! Аg1ха1B+2 Б-ус2912АВ+ 922АпоэтомуС другой стороны, Р Мо === Уо Подставив эти координаты в уравнение прямой получим (с учетомсоотношений (30.2) )=·•268 Глава VII.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
