Том 1 (1113042), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Через кажцую из них провести прямую, параллельнуюпротиволежащей стороне треугольника.27. 1 2 . Написать уравнение прямой, параллельной прямой2х + 5 у = О и образующей вместе с осями координат треугольник,площадь которого равна 5. Система координат прямоугольнаядекартова.27. 1 3 . Составить уравнение прямой, параллельной и равноудаленной от параллельных прямых х + у - 1 = О, х + у - 1 3 = О.27.
14. Доказать, что условиеАх 1 + Ву 1 + С = Ах 2 + Ву2 + Снеобходимо и достаточно для того, чтобы прямая Ах + В у + С = Обыла коллинеарна прямой, проходящей через точки М1 ( х 1 , У 1 ) иМ2 (х 2 , у2 ) , т.е. была ей параллельна или с ней совпадала.27. 1 5 . Даны уравнения двух сторон параллелограмма х - у 1 = О, х - 2у = О и точка пересечения его диагоналей М(З, - 1 ) .f:Iаписать уравнения двух других сторон параллелограмма.27. 16.
Составить уравнения сторон параллелограммаABCD, зная , что его диагонали пересекаются в точке M( l , 6) ,а стороны АВ, ВС, CD и DA проходят соответственно черезточки Р(З , О) , Q(6, 6) , R(5, 9) , S ( -5, 4) .27. 17. Даны вершины треугольника А ( О , 1 ) , В ( - 2 , 5) , С (4, 9) .Составить уравнения сторон ромба, вписанного в данный треугольник, если одна из его вершин совпадает с точкой А, стороны, выходящие из вершины А , лежат на сторонах АС и АВданного треугольника, а вершина, противолежащая вершине А,расположена на стороне ВС . Система координат прямоугольная.27. 18.
В параллелограмме ABCD даны уравнения сторонАВ : 3х + 4у - 12 = О и AD: 5 х - 12у - 6 = О и точка Е ( - 2 , 163 )середина стороны ВС. Найти уравнения двух других сторонпараллелограмма.27. 1 9 . Определить взаимное расположение трех прямых вкаждом из слецующих случаев :1 ) 2х + у - 3 = О, 3х - 2у + 5 = О, 5х - у + 2 = О;2) х - 2у + 3 О, 2х - 4у + 7 = О, 3х - 6у + 4 О ;3) х + 4у - 5 О, х - 2у + 7 = О,х + 3 О;2х - 2у + 7 О, 4х - 4у + 1 = О;4) х - у + 3 = О,-==========§2 7. Задачи взаимного расположения прямых и плоскостей 245Зх - 4у - 12 = О;5) 2х + Зу + 5 = О, х - у + 1 = О,6 ) Зх + 2у + 6 = О, 9х + 6у - 5 = О, 5х - у + 3 = О.27.20. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку пересечения прямых 2х + у - З = О,7х - 4у + 2 = О.27.
2 1 . Написать уравнение прямой, проходящей через точкупересечения прямых 7х - у + 3 = О, 3х + 5у - 4 = О и через точкуА(2, - 1) .2 7 . 2 2 . Через точку пересечения прямых Зх - 5у + 2 = О , 5х 2у + 4 = О провести прямую, параллельную прямой 2х - у + 4 = О.2 7 . 23 . Через точку пересечения прямых 2х - 6у + З = О,5х + у - 2 = О провести прямые, параллельные осям координат.27.24. Через точку пересечения прямых х + у - 6 = О , 2х + у 1 З = О провести прямую, отсекающую на осях координат ненулевые отрезки равной длины. Система координат прямоугольная.2 7 . 2 5 .
Составить уравнение прямой, проходящей через точкипересечения пар прямых 2х - у = О, х + 4у - 2 = О и х + 2у = О,Зх - 7у + 4 = О .2 7 . 26. Найти условия, необходимые и достаточные для того,чтобы три прямые A k x + Bky + Ck = О, k = 1 , 2, З, образовывалитреугольник.27.27. Стороны треугольника заданы уравнениями A k x +Bky + Ck = О, k = 1 , 2, З. Написать уравнение его медианы , проведенной из точки пересечения первой и второй сторон.27.28 . Даны уравнения двух пересекающихся прямых Akx +Bky + Ck = О, k = 1 , 2, и точка Е(хо , Уа ) , не лежащая ни на одной из этих прямых. Прямая А 1 х + В 1 у + С1 = О принимается зановую ось ординат, прямая А 2 х+ В2 у + С2 = О - за новую ось абсцисс, причем точка Е в новой системе имеет координаты ( 1 , 1 ) .Найти выражения новых координат х', у' произвольной точки Мплоскости через ее старые координаты х, у.П лоскости в п ространстве2 7 .
2 9 . Установить, какие из следующих пар плоскостей пересекаются , параллельны или совпадают:1 ) 2х + Зу + 4z - 12 = О, 3х - 6у + 1 = О;2) Зх - 4у + 6z + 9 = О, 6х - 8у - 1 0z + 1 5 = О;3) Зх - 2у - Зz + 5 = О, 9х - 6у - 9z - 5 = О;2х + 2у - 2.z + 3 = О ;4) х + у + z - 1 = О,10х - 5у - 5z - 15 = О.5) 2х - у - z - З О,=246 Глава VII. Прямая на плоскости и плоскость в пространстве27.
30. Найти условия, необходимые и достаточные для того,чтобы плоскость Ах + Ву + Cz + D = О: 1) была параллельна плоскости Оху ; 2) пересекала плоскость Оху ; 3) совпадала сплоскостью Оху .27. 31 . Найти условия , необходимые и достаточные для того,чтобы плоскость Ах + Ву + Cz + D = О: 1) пересекала ось Oz ;2) была параллельна оси Oz ; 3 ) проходила через ось Oz .27. 3 2 .
Установить, какие из следующих пар плоскостей пересекаются , параллельны или совпадают:1)2)3){{{{{{х = 1 + и + v,у = 2 + и,z = 3 + и - v;х = 1 + и + v,у = 2 + и,z = 3 + и - v;= 1 + и + v,у = 2 + и,= 3 + и - v;хzх = 3 + 2и,у = 2 - 2и + 4v,z = 1 + и + Зv;х = 1 + 4и,у = Зи + v,z = 4 + 2и + 2v;= - 1 + 2и + v,у = и + 2v,z = 1 + 3v .х2 7 . 3 3 . Две плоскости заданы своими параметрическими уравнениями:С помощью рангов матрициа 2 а з а4 х 2 - х 1Ь2 Ьз Ь4 У2 - У 1С2 С3 С4 z2 - z 1]выразить условия , необходимые и достаточные для того, чтобыэти плоскости: 1) пересекались; 2 ) были параллельны; 3) совпадали.27.34 . Составить уравнение плоскости, проходящей черезточку (3, -5, 1 ) и параллельной плоскости х - 2у + 4z = О.27 .
35 . Даны уравнения трех граней параллелепипеда 2х +Зу + 4z - 12 = О, х + Зу - 6 = О, z + 5 = О и одна из его вершин(6, -5, 1 ) . Составить уравнения трех остальных граней параллелепипеда.§27. Зада чи взаимного расположения прямых и плоскостей 24727. 36 . Составить уравнения плоскостей , равноудаленных отточек A( l , 3 , -4) , B(l , 1 , 2) , С(-3, - 1 , 2) и проходящих через начало координат.27. 37. Даны три плоскости: Ak x + Bky + Ckz + D k = О, k =1 , 2, 3.
С помощью матрицивыразить условия , необходимые и достаточные для того, чтобы:1) эти плоскости имели единственную общую точку;2) эти плоскости были попарно различны и имели единственную общую прямую;3) эти плоскости попарно пересекались и линия пересечениякаждых двух плоскостей была параллельна третьей плоскости( т.е. плоскости образовывали призму ) ;4) две плоскости были параллельны, а третья плоскость ихпересекала;5) эти плоскости были попарно параллельны;6) две плоскости совпадали, а третья их пересекала;7) две плоскости совпадали, а третья плоскость была им параллельна;8 ) эти плоскости совпадали.2 7 . 38 .
Определить взаимное расположение трех плоскостейв каждом из сле,цующих случаев:1)2)3)4)5)2х - 4у + 5z - 21 = О, 6х + у + z - 30 = О, х - 3z + 18 = О;2х + 4у - 6z - 1 = О, 3х + 6у - 9z - 5 = О, х + 2у - 3z = О;15х + 8у - z - 2 = О, 7х + 2у + z = О , 3х - у + 2z + 1 = О ;5х - 2у + 4 = О , 3х + z - 5 = О, 8х - 2у + z + 7 = О ;6х + 2у + 12z - 3 = 0, 5у - 7z - 10 = 0, 3х + у + 6z + 12 = 0.27. 39 . Написать уравнение плоскости , проходящей через нач ало координат и через линию пересечения плоскостей 2х + 5у 6z + 4 = О и Зу + 2z + 6 = О.27.40 . Составить уравнение плоскости, проходящей черезточку (-3, 1 , О ) и через прямую п€ресечения плоскостей х + 2y z + 4 = О и Зх - у + 2z - 1 = О.27.41 .
Через линию пересечения плоскостей 6х - у + z = О,5 х + 3z - 10 = О провести плоскость, параллельную оси Ох.248 Глава VII. Прямая на плоскости и плоскость в пространстве27.42 . Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей х + 2у + 3z - 4 = О, Зх + z - 5 = О иотсекающей на осях Оу и Oz ненулевые отрезки равной длины.Система координат прямоугольная .27.43 . В тетраэдр, ограниченный плоскостями координат иплоскостью 2х - Зу + 4z + 18 = О, вписан куб так, что одна изего вершин лежит в начале координат, три ребра, выходящихиз этой вершины, направлены по осям координат, а вершина,противоположная началу координат, лежит в данной плоскости.Определить длину ребра куба.
Система координат прямоугольная.27.44 . Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей 2x - z = О, x + y - z + 5 = О и перпендикулярной к плоскости 7х - у + 4z - З = О. Система координатпрямоугольная .27.45. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат, точку ( 1 , 2, З ) и перпендикулярной к плоскостих - у + 2z - 4 = О. Система координат прямоугольная .27 .46. Составить уравнение плоскости, перпендикулярной кплоскости х + Зу + 5z - 10 = О и проходящей через линию пересечения данной плоскости с плоскостью Оху .
Система координатпрямоугольная.27.47. В пучке, определяемом плоскостями 2x + y - 3z + 2 = Ои 5х + 5у - 4z + 3 = О , найти две перпендикулярные друг к другу плоскости, из которых одна проходит через точку ( 4 , -3, 1) .Система координат прямоугольная.27 .48 . В пучке, определяемом плоскостями Зх + у - 2z - 6 = Ои х - 2у + 5z - 1 = О, найти плоскости, перпендикулярные к этимплоскостям.
Система координат прямоугольная .27.49 . Даны уравнения граней тетраэдра ABCD :(АБС) : x + 2y + z + 2 = 0, ( ABD) : х + у - 1 = 0,(ACD) : х - у - z = О,(BCD) : Зх + z + 1 = О.Написать уравнение плоскости, проходящей через ребро АВ исередину ребра С D .27. 50 . Показать, что три плоскости x + 2y - z - 4 = О, 3х - 2у+Зz - 6 = О, 4y - 3z + 3 = О образуют призму, и написать уравнени еплоскости , проходящей через линию пересечения первых двухграней призмы и параллельной ее третьей грани.27. 5 1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
