Том 1 (1113042), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Даны уравнения граней тетраэдра ABCD :§28. Полуплоскости и полупространства(АБС) : х + 2у - 3z - 6 = О,(ACD) : 3x + z + l = O,249(ABD) : 2у + 5z - 4(BCD) : х + 2у = О .=О,Написать уравнение плоскости, проходящей через ребро АВ ипараллельной противоположному ребру С D.2 7 . 5 2 . Составить уравнение плоскости, проходящей черезточку пересечения плоскостей х - у = О, х + у - 2z + 1 = О ,2х + z - 4 = О и1) содержащей ось Оу;2) параллельной плоскости Oxz;3) проходящей через начало координат и точку ( 2 , 1 , 7) .2 7 .
5 3 . При каком необходимом и достаточном условии четыре плоскости Akx + Bky + Ckz + D k = О, k = 1 , 4, пересекаются водной точке?27.54. При каком необходимом и достаточном условии чеО, k = 1 , 4, образуюттыре плоскости A k x + Bky + Ck z + D kтетраэдр?==§ 28 .Полуп лоскости и полуп ространстваОху задана уравнением(28.1)Ах + Ву + с =Т е о р е м а 28. 1 . То'Чки М1(х1 , у1) и l\t12 (x 2 , y2 ) принадлежат IJаЗН'Ым полуплоскостям относнтелъно пр.ямой l тогда и толъко тогда, когда(28.2)Полуплоскость, для точек М(х, у) которой Ах + Ву + С > О, называетсяположителънойnолуплоскостъюотносительно уравнения (28.1) прямой l иобозначается символом l+ , а полуплоскость, для точек которой Ах+Ву+С <nолуплоскостъю и обозначается l - .О, - отри'ЦателънойТ е о р е м а 28.2.
Вектор нормали = {А, В} к прямой l : Ах +Ву= О, отложеНН'Ы,'Й от любой mо'Чки пр.ямой, напIJавлен в сторону+Сположителънойполуплоскости.Пусть плоскость в аффинной системе координат Oxyz задана уравнением(28 . 3)Ах + Ву + Cz + D = О.Т е о р е м а 28.3. То'Чки М1 (х 1 , У1 , z1) и А12 (х 2 , У2 , z2 ) принадлежатразн'Ым полупрост]Jанствам относителъно плоскости тогда и толъкотогда, когда(Ах1 + Ву1 + Cz1 + D)(Ax + Ву + Cz + D) О.2 2 2 <Полупространство, для точек М(х, у, z) которого Ах + Ву + Cz + D >Онияположителън'Ьlм полупространством относительноуравне, называется( 28.3 ) плоскости и обозначается символома полупространство,Пусть прямая l в аффинной системе координато.n7Г7Г7Г7Г+ ,250 Глава VII.
Прямая на плоскости и плоскость в пространс твеАх+ Ву+ Cz + D О, - отриv,ателън'Ым полупрост])анством7Г Вектор нормали = А, В, С} к плоскости :{ плоскости, нап'J)авлен7Гn то'Чки,отложеннъtйотлюбойАх+Ву+Cz+D=Ов сторону положителъно го полупрост])анства.П р и м е р 28.1. Дан треугольник АБС: А(3, 1), В(-2, 4), C( l , O) и прямая l : х - 7у + 5 = О. Установить, пересекает ли эта прямая стороны треугольника или их продолжения.для точек которогои обозначаетсяТ е о р е м а 28.4.<_ .Р е ш е н и е. Выясним, в каких полуплоскостях относительно уравненияданной прямой находятся вершины треугольника:3 - 7 + 5 > 0 ==> A E l + ; -2 - 28 +5 < 0 ==> B E l - ; 1 - 0 + 5 > 0 ==> C E l+.Так как точки А и В находятся по разные стороны от прямой l, то этапрямая пересекает сторону АВ .
Аналогично приходим к выводу, что прямаяl пересекает сторону ВС. •П р и м е р 28.2. Установить, при каком необходимО l\·1 и достаточномусловии точка Мо (хо, уо, zo) лежит между двумя параллельными плоскостями Ах + Ву + Cz + D1 = О и Ах + Ву + Cz + D2 = О.Р е ш е н и е. Так как нормали к плоскостям совпадают: n 1 = n2 ==В{А, , С}, то точка М0 лежит между этими плоскостями тогда и толькотогда, когда она принадлежит разноименным полупространствам относительно уравнений этих плоскостей, т.е.:(Ахо + Вуо + Czo + Di)(Axo + Вуо + Czo + D2 ) < О. •П р и м е р 28.3. Плоскости 7Г1 : 5x+y+2z- 7 = О, 7Г2 : 7x+y+3z -4 = О,2х + z - 3 = О образуют призму.
Расположена ли точка ft.10(-1, 0, 4 )7Гзвнутри этой призмы?Р е ш е н и е. На каждом ребре призмы укажем по точке, взяв, например,в качестве ее абсциссых = О:5х + у + 2z - 7 = О,7Г1 n 7Г2 : х7х==+оу + 3z - 4 == О,5х2х ++ уz -+ 32z=-О,7 = О ,n7Г1 7Гз : х = О7х2х ++ уz -+ 33z=-О,4 == О,7Г2 7Гз : х = Оn==}=:::::::}=:::::::}ху == 0,13,z === -3 ==> М1 2 (О, 13, -3) ;ху == о1,,z = 3 =:::::::} М1з(О, 1, 3);ухz ==== 3о,-5, =:::::::} М2з(О, -5, 3).Молежит внутри призмы тогда и только тогда, когда она распоТочкаложена в тех же полупространствах относительно уравнений граней призмы, что и точки, лежащие на противоположных ребрах:Е ( 7Гз ) -;-2 + 4 - 3 < О =? Мо Е ( 1Гз ) -;О - 3 - 3 < 4О >=?О!v=?l1 2М1з(1Г2 ) + ; -7 + О + 12 - 4 > О =? Мо Е ( 7Г2 ) + ;О + 1 + 96 -- 7 О =? М з ЕЕ (1Г1) - ; -5 + О + 8 - 7 < О =? Мо Е ( 1Г1 ) - .О-5+ <2Таким образом, точка А1о расположена внутри призмы.
•§28. Полуплоскости и полупространства251ЗАД АЧ ИВ задачах этого параграфа считается , что система координатпроизвольная аффинная.П р я м ая на плоскости28. 1 . Даны две прямые (АС) : 2х + Зу - 5 = О, (BD) :х - у - 1 = О и пять точек Р(З, 1) , Q ( 2, 2) , R(-2, 1) , S(l , - 1) ,Т( 4, О) . Обозначая через L.AM В тот из четырех углов , образованных данными прямыми, в котором лежит точка Р, а черезL.CM D угол, ему вертикальный, установить , в каких углахлежат остальные четыре точки.28 . 2 . В каждом из сле,цующих случаев определить, принадлежат ли две данные точки одному углу, смежным углам иливертикальным углам , образованным прямыми, заданными своими уравнениями:-1)( 3, 5) , ( -2 , 1 ) , 3х - у + 8 = 0, 2х + 5у - 6 = 0;2) ( 6, -2) , (5, 2) , х + у - З = О, 2х + Зу = О;З) (2, -2) , ( З, 6) , х - 2у + 1 = О, 2х + 6у - 9 = О.28.
3 . Две параллельные прямые 2х-5у+6 = О и 2х-5у-7 = Оделят плоскость на три области: полосу, заключенную меж,цуэтими прямыми, и две полуплоскости вне этой полосы. Установить, каким областям принадлежат точки А (2, 1) , В (З , 2 ) , C(l , 1) ,D (2, 8) , Е (7, 1 ) , F(-4, 6) .28.4. Даны две точки А(-З , 1 ) , В (5, 4) и прямая х -2у+ 1 = О.Установить, пересекает ли данная прямая отрезок АВ или егопродолжение за точку А или за точку В .28 . 5 . Доказать, что прямая 5х - у - 5 = О пересекает отрезокпрямой Зх - 2у - 6 = О, заключенный меж,цу осями координат.28.6. Даны четыре точки А ( 5, З) , B(l , 2) , С(З, О) , D ( 2 , 4) .Установить, принадлежит ли точка М пересечения прямых АВи CD отрезкам АВ и CD или их продолжениям .28.7.
В каком отношении прямая 2х - у+ 5 = О делит отрезок,начало которого находится в точке (-5, 4 ) , а конец - в точке(2 , 1 )?28.8. При каких значениях параметра и точки прямой х = 2+5и , у = - 1 + и принадлежат отрезку этой прямой, заключенномумеж,цу двумя прямыми х + 4у - 1 = О, х + у = О ?28 . 9 . При каком необходимом и достаточном условии точка252 Глава VII. Прямая на плоскости и плоскость в простра:нств е(хо , Уа) лежит меж,цу двумя параллельными прямыми Ах + Ву +С1 = О и Ах + Ву + С2 = О ?28 . 10. Даны три прямые Ах + Ву + С1 = О, Ах + Ву + С2 = О,Ах + Ву + D = О.
Найти условие, необходимое и достаточноедля того, чтобы третья прямая лежала в полосе, образованнойпервой и второй прямыми.28. 1 1 . Стороны треугольника АБС заданы уравнениями АВ :2х - у + 2 = О, ВС : х + у - 4 = О, АС : 2х + у = О. Определитьположение точек М (3, 1 ) , N(7 , -6) , Р (3, 2 ) относительно этоготреугольника.28. 1 2 .
Найти условия, необходимые и достаточные для того,чтобы точка (хо, Уа ) лежала внутри треугольника, образованногопрямыми A i x+B 1 y+C1 = 0, А 2 х+В2 у+С2 = 0, А з х+Вз у+Сз = 0 .28 . 13 . Стороны треугольника АБС заданы уравнениями АВ :3х - у + 4 = О , В С : 2х - у + 1 = О , С А : х - 2у = О. Определить положение прямой 2х - у + 3 = О относительно этого треугольника.Плоскость в пространстве28. 14. Определить положение точек А (2, 5, 1 ) , В( 2 , 1 , О) , С(О,1), D(O, 1 , -9) , Е ( - 1 , -3, О) относительно плоскости 2х + 2у +О,z + 2 = о.28.
1 5 . Даны две плоскости 2х + z = О, х + у + 3z - 5 =О и точки А ( 2, 1 , 1) , В ( 1 , О , 3) , С ( О , О, 1) , D ( - 1 , 5 , 1) , Е ( 1 , 4, -3) .Установить, какие из точек В, С, D, Е лежат в одном двугранномугле с точкой А, какие в смежных с ним углах и какие в угле, кнему вертикальном .28. 16. Даны две параллельные плоскости 3х + 4у + 2z - 10 =О, 3х + 4у + 2z + 5 = О и точки A(l, 1 , 1) , В(2, О, О) , С(5, 6, 1) ,D(-4, О, 1). Определить положение этих точек относительноданных плоскостей.28.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
