Том 1 (1113042), страница 43
Текст из файла (страница 43)
33. Составить уравнение плоскости, отсекающей на осяхОх и Оу отрезки 5 и -7 и проходящей через точку ( 1 , 1 , 2) .26. 34. Составить уравнение плоскости, проходящей черезточку ( 3, 5 , -7) и отсекающей на осях координат ненулевые отрезки равной длины. Система координат прямоугольная .26. 35. Написать уравнение плоскости, проходящей через дветочки А (3, 5, 1 ) и В(7, 7 , 8 ) и отсекающей на осях Ох и Оу ненулевые отрезки равной длины.
Система координат прямоугольная.26.36. Составить уравнение плоскости, отсекающей на осяхкоординат отрезки, равные 3, 5 и 7 соответственно.26. 37. Определить отрезки, отсекаемые на осях координатплоскостью х - у + 7z - 4 = О.26. 38. Определить объем тетраэдра, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью 2x+3y+6z - 18 = О. Системакоординат прямоугольная.26. 39 . Составить уравнение плоскости, проходящей через осьОу и точку ( 2 , - 5 , 1).26.40.
Составить уравнение плоскости, проходящей черезточку (3, 7 , 2) и параллельной двум векторам { 4 , 1 , 2 } и {5, 3, 1 } .26 .41 . Составить параметрические уравнения плоскости,проходящей через точку (2, 3, -5) и параллельной векторам { -5 ,-6, 4 } , { 4, -2, О } .26.42 . Составить уравнения плоскостей, проходящих черезоси координат и параллельных вектору {2, 1 , -4 } ,26.43.
Написать уравнения плоскостей, проходящих черезоси координат и через точку (3, - 5, 1) .26.44. Составить уравнение плоскости, проходящей через осьОу и равноудаленной от точек (2, 7, 3) и ( - 1 , 1 , 0) .26.45 . Составить уравнение плоскости, проходящей через дветочки ( 4 , 5 , 2) , ( 6 , 2, 4) и параллельной вектору { 1 , 2, 1 } .26.46.
Составить параметрические уравнения плоскости,§27. Задачи взаимного расположения прямых и пло скостей 239проходящей через две точки ( 1 , 7, 8) , (2, -6, -6) и параллельнойоси Oz.26.47. Даны вершины тетраэдра А ( 5 , 1 , 3) , B(l , 6, 2) ,С ( 5 , О, 4) , D(4, О , 6 ) . Написать уравнение плоскости, проходящейчерез ребро АВ параллельно ребру С D.26.48. В плоскости , проходящей через три точки А ( 2 , 1 , 3) ,координат сВ ( 2 , 4, О) , С ( -3 , О, 4) , выбрана аффинная система��началом в точке А и базисными векторами АВ = е 1 и АС = е 2 .Найт и:1 ) пространственные координаты ( х, у, z ) точки М, имеющейв плоскостной системе координаты и = 5, v = 3 ;2) плоскостные координаты и и v точки пересечения даннойплоскости с осью Oz.26.49 . В плоскости 2х + Зу - 4z + 12 = О выбрана аффиннаясистема координат, начало которой находится в точке С пересечения этой плоскости с осью О z, а концы базисных векторовe i и е 2 соответственно в точках А и В пересечения плоскости сосями Ох и Оу.1) Найти пространственные координаты (х, у, z) точки Еэтой плоскости с плоскостными координатами и = 1 , v = 1 ;2) Н аписать в плоскостной системе координат уравнения прямых АВ, ВС и СА пересечения данной плоскости с координатными плоскостями пространственной системы.3) Написать в плоскостной системе уравнение линии пересечения данной плоскости с плоскостью 5х + 3z - 8 = О.26 .
50 . Написать общее уравнение плоскости по ее параметрическим уравнениям в каждом из следующих случаев:1 ) х = 2 + 3и - 4v, у = 4 - v , z = 2 + 3и;2) х = и + v, у = и - v, z = 5 + 6и - 4v ;3) х = 1 + 2v, у = -2, z = 1 - и;4) х = и - v, у = 1 - 4и, z = 7 + 2и.§27.З адачи взаи м ного расположения прямыхна плоскости и плоскостеи в пространствеuНеобходимые и достаточные условия того, что две прямыеизаданные общими уравнениями в аффинной системе координат, совпадают,пар аллельны или пересекаются, приводятся в следующей таблице (в ней(27.1)240 Глава VII.
Прямая на плоскости и плоскость в пространствеприняты обозначения:), F = (G = ( А1л2РасположениепрямыхСовпадаютУсловиеРавносильноеусловиеВ1 - С1А1 - А 2 - В2 С2rg F = 1{ rgGrg F == 21А 1 - В 1 f:. С1А 2 В2 С2Параллельны_А 1 # В1А 2 В2Пересекаютсяrg G = 2( 27 1). относятся к прямоугольной декартовой системеЕсли уравнениякоординат, то необходимым и достаточным условие1н перпендикулярностипрямых l1 и l2 является условие(27.2)Необходимые и достаточные условия того, что две плоскостиизаданные общими уравнениями в аффинной системе координат, совпадают,параллельны или пересекаются, приводятся в следующей таблице (в нейА 1 В 1 С1 , = А 1 В 1 С1 D 1:приняты обозначения:.
Сл 2 в2 С2 D 2л2 в2 с2)F (=(Расположениеплоскостей))УсловиеРавносильноеусловиеD1В1 - А1 - С1 - А 2 В2 С2 D 2ПараллельныА1 _ В 1 С1 f:. D 1А 2 В2 - С2 D 2rg F 1{ rgrg GF = 21ПересекаютсяСтроки матрицы Ане пропорциональныrg G 2Совпадают_===(2 7 .3)относятся к прямоугольной декартовой системеЕсли уравнениякоординат, то необходимым и достаточным условием перпендикулярностиплоскостей ?Т 1 и ?Т2 является условие(27 . 4)§2 7. Задачи взаимного расположения прямых и плоскостей 2411Г(М0) пу'ч,rком (собственнuм} пр.ямuхМо,Мо.l 1 l21Г(Мо),(27 . 1)Fi (x, у) = Aix + Biy + Ci, = 2.ТеоремПр.яма.я принадлежитко тогда,когда она определ.яетс.яуравнением пу'Чку 1Г(Мо) тогда и толъ(27. 5)aF1 (х, у) + {3 F2 (x, у)Множествовсех прямых плоскости, проходящих через даннуюточкуназываетсяс центром в точкеПусть и - две несовпадающие прямые пучказаданные уравнениямив некоторой аффинной системе координат Оху.
Положимгде i 1 ,а 27. 1./3= ОJR, оifн.овременноне равнъtхнулю.22/3,, определяетгде + {3 -:/= Оединственную пряКаждая пара чиселмую пучка. Уравнение (27. 5 ) называется уравнением nу'Чка nр.ямuх, проходящих через точку пересечения прямых (27. 1 ).Уравнение пучка 7Г(Мо) с центром Мо(хо, уа) может быть записано ввидеА(х - хо) + В(у - Уо) = О ,где А и В принимают все действительные значения, одновременно не равныенулю.:Множество 1Г (l) всех плоскостей пространства, проходящих через прямую l , называется пу-ч,ком плоскостей с осью l . Пусть 7Г1 и 7Г 2 - две пересекающиеся плоскости пучка 1Г(l), заданные уравнениями (27. 3 ) в некоторой аффинной системе координат Oxyz.
Положим Fi(x, у, z) = Aix+Biy+Ciz+ Di,где i 1 , 2.Плоскостъ принадлежиттолъкоТеоремтогда, когда27ана.2. опреде.л.яетсяуравнением nу'Чку 1Г( l) тогда ипри некоторъtха,Еа,а=а(27. 6 )при некоторъ�х {3 JR, одновременно не равнъtх нулю.Уравнение (27. 6 ) называется уравнением пу'Чка плоскостей, проходящиха,Е(27. 3 ).через прямую пересечения плоскостейПримерНайти необходимое и достаточное условие того, чтопрямаяО принадлежит пучку прямых с центром виточке пересечения прямыхСистема координат аффинная.Р е ш е н и е. Факт пересечения прямых иравносилен условиюпринадлежит пучку прямых, опрел2в2 -:/= О .�от факт, что прямаяГТ'деленному прямыми l 1 и l 2 , равносилен условию совпадения прямыхlз :1 А 1 В1 1Азх27.1.+ Взу + Сlз1 =: А1х + В1у + С1 = О l 2 : А2 х + В2 у + С2 = О.lз.при некоторыхаи /3 или условиюЭто означает, что третья строка матрицыl 1 l2иl2 : Азх + Взу + Сз == О[ 1Аз� Вз�� Сgз� ]является линейной комбинацией двух первых ее строк.
Следовательно, искомое условие242 Глава VII. Прямая на плоскости и плоскость в пространствеимеет вид= 0.•(27 .7)27.2. = О, k = 1, 2, 3,Akx+ Bky+CkПримерНайти необходимое и достаточное условие того, что трипрямыепересекаются в одной точке. Системакоординат аффинная.Р е ш е н и е. Тот факт, что три прямые пересекаются в одной точке означает, что каждые две из них пересекаются (т.е. каждый из определителейотличен от нуля) и что треть прямая�принадлежит пучку прямых с центром в точке пересечения двух других т.е.1 � � �� 1, 1 �� �: 1, 1 �� �: 1ААА з21 ВВВз21 СССз21 = О, как в (27.7)).Таким образом, искомое условие имеет видAА i ВВ1 СС1 = О, А 1 А2 # О А 1 Аз # О, А 2 А з # О.Аз2 Вз2 Сз2 1 В1 В2 1 ' 1 В1 Вз 1 1 В2 В з 1(и•р и м е р 27.3. Через точку пересечения nрямых 3х - у = О, х + 4у прямую, перпендикулярную к прямой 2х + 7у = О.
Система2координат== ПО провестипрямоугольная.Р е ш е н и е. Искомая прямая принадлежит пучку прямых , проходящихчерез точку пересечения прямых(эти прямые,действительно, пересекаются, так как l 4 ) , поэтому она определяетсяуравнением{3,3х - у·3 = О и х + 4у - 2 = О# -1а(3х - у) + ,д(х + 4у - 2) = Опри некоторых а , одновременно не равных нулю . Следовательно, общееуравнение искомой прямой имеет вид,д )х +Условие перпендикулярности прямых приводит к уравнению относительно иа<====>+Положивполучим искомое уравнение( За +(4{3 - а)у - 2{3 = О.а {3:2(3а {3) + 7(4{3 - а) = О{3 == 1,91х - 26у - 2 О.== 30{3 .•ЗАД АЧИВ задачах этого параграф а считается , что система координатпроизвольная афф инная . Случай прямоугольной декартовой системы координат оговаривается особо.Прямые на плоскости27. 1 . Установить, какие из следующих пар прямых совпадают, параллельны или пересекаются; в последнем случае найти§2 7.
Задачи взаимного расположения прямых и плоскостей 243точку пересечения:1 ) х + у - З = О,2) х - у + 5 = О,2х + Зу - 8 = О;2х - 2у + З = О;З) х - 2у + 4 = О,-2х + 4у - 8 = О;2х + Зу + 10 = О;4) х + у + 5 = О,5 ) 2х + Зу - 1 = О,4х + 6у - 7 = О;6) 7х + 9у - 62 = 0, 8х + Зу + 2 = 0.27. 2 . Даны две прямые, из которых одна задана своим общим уравнением Ах + Ву + С = О, а другая - параметрически:х = хо + at, у = Уа + bt .
Найти условия , необходимые и достаточные для того, чтобы эти прямые: 1 ) пересекались; 2) былипараллельны ; З) совпадали.2 7 . 3 . Две прямые заданы своими параметрическими уравнениями: х = х 1 + a i t, у = У1 + b 1 t и х = х 2 + a 2 t, у = У2 + b 2 t.Найти условия , необходимые и достаточные для того, чтобы этипрямые: 1 ) пересекались ; 2) были параллельны; З) совпадали.27.4. Установить, какие из следующих пар прямых совпадают, параллельны или пересекаются ; в последнем случае найтиточку пересечения:х = -З + 4t, у = 1 - Зt;1 ) Зх + 4у + 5 = О;2) 2х - 5у - 7 = О; х = 2 + t, у = -9 - t;З) 6х - Зу + 5 = О; х = 5 + t, у = -З + 2t;4) 2х + 5у - З8 = О; х = -2 + 2t, у = -9 + 5t;5) Зх + 9у - 6 = О;х = 2 + Зt, у = -t.2 7 .
5 . Установить, какие из сле,цующих пар прямых совпадают, параллельны или пересекаются ; в последнем случае найтиточку пересечения:х = Зt, у = -2t;1 ) х = 3 + t, у = 2 - t ;2) х = 5 + 4t, у = -2 - 2t; х = - 2t, у = 7 + t;13) х = 4 - 8t, у = 2 + 6t; х = -4 + 4t, у = 8 - Зt.27.6. Через точку (7, 4) провести прямую, параллельную прямой Зх - 2у + 4 = О.27.
7. Составить уравнение прямой , проходящей через точку(-8 , 1) параллельно прямой х + у + 7 = О.2 7 . 8 . Через то ч ку М(2, 5) провести прямую, равноудаленнуюот точек Р ( - 1 , 2) и Q (5 , 4) .2 7 . 9 . Даны середины М1 (2, 3) , М2 ( - 1 , 2) и Мз ( 4 , 5) сторонтр еугольника. Составить уравнения сторон .27. 10. Зная уравнения двух сторон параллелограмма х-3у =244Глава VII. Прямая на плоскости и плоскость в пространствеО, 2х + 5у + 6 = О и одну из его вершин С (4, - 1 ) , составитьуравнения двух других сторон параллелограмма.27. 1 1 . Даны вершины треугольника А ( - 1 , 2) , В ( З , - 1 ) иС (О, 4) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
