Том 1 (1113042), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Десять векторов таковы, что длина суммы любых девяти из них меньше длины суммы всех десяти векторов. Доказать, что существует ось, величина проекции на которую каждого из десяти векторов положительна.24. 71 . Векторы а = { О, 1 , 2 } , Ь = { 1 , О, 1 } , с = { 2, 1 , О } являются ребрами параллелепипеда, выходящими из одной вершины.Найти ортогональную проекцию меньшей внутренней диагоналипараллелепипеда на грань, параллельную векторам Ь и с.С к алярное про из в еден ие в афф и н н ы хкоординатах24 . 72 .
Выразить через метрические коэффициенты 91 1 , 9 1 2 ,922 базиса e i , е2 на плоскости:а) длины базисных векторов ;б) угол w между базисными векторами;в) площадь параллелограмма, построенного на базисных векторах.24. 73. Зная матрицу Грама G = ( 9ij ) базиса e i , е 2 на плоскости, найти:а) скалярное произведение векторов а = {а 1 , а 2 } и Ь = { Ь 1 , Ь2 } ;б) длину вектора а = {а 1 , а 2 } и его направляющие косинусы;в) угол между векторами а = {а 1 , а 2 } и Ь = {Ь 1 , Ь 2 } .24 .
74 . В аффинной системе координат дан вектор а = { 7 , -8} .Найти вектор Ь единичной длины, перпендикулярный векторуа и направленный так, что пара векторов а, Ь имеет положительную ориентацию, при этом 911 = 4, 91 2 = 8, 9 22 = 25.§24.215Скалярное произведение24 . 75 . Зная длины базисных векторов 1 e 1 I = 2, 1 е 2 1 = 3 иугол меж,цу ними w = 1Г /3, найти длину вектора а = { -4, 6 } .24 . 76. Известны длины базисных векторов аффинной системы координат 1 ei 1 = 4, 1 е 2 1 == 2 и угол между ними w == 1Г /3. Относительно этой системы координат заданы вершины треугольника A(l, 3) , В ( 1 , О) , С ( 2, 1) .
Определить длины сторон АВ и АСэтого треугольника и угол А между ними.24. 77. Относительно аффинной системы координат дан треугольник АБС с вершинами A( l , 1) , В ( 5, 3) , С ( 3, 5) , длины сторон которого суть АВ = J52, АС = 4 , ВС = J28. Определитьдлины базисных векторов этой системы координат и угол междуними.24. 78 .
Относительно аффинной системы координат дан прямоугольный треугольник АБС с вершинами в точках A( l , О) ,В(О, 1 ) , С(3, 2) , прямым углом при вершине С и катетами СА =2, С В = 3. Определить длины базисных векторов этой системыкоординат и угол между ними.24 . 79 . Относительно аффинной системы координат дан прямоугольный треугольник АБС с вершинами в точках A( l , О) ,В(О, 1) , С(3, 2) , прямым углом при вершине С и катетами СА =2, СВ = 3. Определить длины сторон A i B 1 и A i C1 треугольникаA i В 1 С1 и угол A i меж,цу ними, если вершины этого треугольника имеют координаты A i ( 1 , 1) , В 1 (2, 2) , С 1 ( 2, 4) .24 .
79 . 1 . Доказать, что скалярный квадрат вектора а =а 1 e i + а2 е 2 + аз ез вычисляется через его координаты в базисеe i , е 2 , ез по правилуа2==ar + а � + а§тогда и только тогда, когда этот базис ортонормированный .24.80 . Б азисы ei , е 2 и f1 , f2 на плоскости называются вз а имны.ми ( биортогоналъными) , если( е 1 , f1 ) = ( е 2 , f2 ) = 1, ( е 1 , f2 ) = ( е 2 , f1 ) = 0.З ная матрицу Грама G = (9ij ) базиса ei , е 2 , найти:а) матрицу Грама взаимного базиса;б) координаты векторов взаимного базисаf1 ,f2 в базисеei ,в) длины векторов взаимного базиса;г) угол между векторами f1 и f2 взаимного базиса.24 .81 . Вектор а = {а1 , а 2 } задан своими координатами в баз исе ei , е 2 , а вектор Ь = {Ь 1 , Ь2 } - своими координатами во216ГлаваVI.Векторная алгебравзаимном базисе f1 , f2 .
Доказать, что их скалярное произведение вычисляется по формуле( а, Ь) = а 1 Ь 1 + а 2 Ь2 .24.82. 1) Найти векторы е� , е� , полученные поворотом наугол 'Р векторов e l и е 2 соответственно , если известны метрические коэффициенты 9 1 1 , 91 2 , 9 22 базиса e l , е 2 .2) Рассмотреть частный случай поворота на угол 'Р = 1Г / 2 .24 .
83. Найти вектор а' , п олученный поворотом вектора а ={ a l , а 2 } на угол (/) , зная метрические коэффициенты 91 1 , 91 2 , 92 2базиса ei , е 2 , в котором заданы координаты вектора а .24. 84. 1) Найти векторы е � , е� , полученные поворотом наугол 'Р векторов e l и е 2 соответственно, если 1 el 1 = 1 е 2 1 = 1, аугол меж,цу векторами e l , е 2 равен w .2) Рассмотреть частный случай поворота на угол 'Р = 1Г / 2 .24 .85. Выразить через метрические коэффициенты 9ij =( ei , ej ) базиса e l , е 2 , е з в пространстве:а) длины базисных векторов ;б ) углы Wij = (е;,е;) между базисными векторами.24.
86. Пусть G = ( 9ij ) матрица Грама базиса e l , е 2 , е зв пространстве, а е , Ье - координатные столбцы векторов а и Ьсоответственно в базисе e l , е 2 , е з . Доказать, что скалярное произведение векторов а и Ь вычисляется по формуле( а, Ь ) = aI GЬe.24. 87. Зная матриц.у Грама G = ( 9ij ) базиса el , е 2 , е з впространстве, найти:а) длину вектора а = { a l , а 2 , аз };в ) угол между векторами а = {а 1 , а 2 , а з } и Ь = {Ь 1 , Ь2 , Ьз } .24.88. Найти направляющие косинусы вектора а = {а 1 , а 2 ,аз }, заданного своими координатами в базисе ei , е 2 , е з , если:а) известны метрические коэффициенты 9ij = ( ei , ej ) этогобазиса;б) известно, что базисные векторы ei , е 2 , ез по длине равны1 , а углы меж,цу ними равны: w1 2 = ( е!,е"2 ) , w 1з = ( е!,ез ) ,W2з = ( е2,"ез ) .24.89 .
Базисы e l , е 2 , ез и f1 , f2 , fз в пространстве называются взаимны.ми ( биортогоналъны.ми) , еслиi = J,( ei , fj ) = О,1 , еслиесли i =!= j.-{217§25 . Векторное и смешанное произведенияНайти матрицу перехода от базиса e i , е 2 , е з к его взаимномубазису f1 , f2 , fз , если известна матрица Грама G базиса e i , е 2 ,ез .24.90. Вектор а = {а 1 , а 2 , а з } задан своими координатами вбазисе e i , е 2 , е з , а вектор Ь = { Ь 1 , Ь 2 , Ьз } - своими координатами во взаимном базисе f1 f2 , fз .
Доказать , что их скалярноепроизведение вычисляется по формуле,( а, Ь ) = a i b 1 + а 2 Ь2 + азЬз .24 . 9 1 . Известна матрица Грама G базиса i , е 2 , е з. Доказать , что матрица Грама базиса, взаимного с базисоме2 , ез ,является матрицей, обратной к матрице G .24. 9 2 . Вектор а = {а 1 , а 2 , аз } задан своими координатами вбазисее 2 , е з с метрическими коэффициентами 9ij . Найтикоординаты вектора а в базисе, взаимном с базисоме2 , ез .24 . 9 3 .
Длины векторов базиса i , е 2 , ез равны единице, ауглы между ними равны rг/3. Н айти длины векторов f1 , f2 , fзбазиса, взаимного се2 , е3 .24. 94. Пусть i , е 2 , е з и f1 , f2 , fз взаимные базисы пространства . Найти углы ()i между векторами ei и fi (i = 1 , 3) ,если векторые 2 , е з по длине равны единице, а углы междуними равны : w 1 2 = ( е},е2 ) , w1з = ( е!,ез ) , w 2 з = ( е2,"ез ) .24. 9 5 .
Доказать, что матрица С является матрицей переходаeei ,ei ,ei ,eei ,e-ei ,от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису тогда и только тогда, когда С - ортогональнаяматрица.§ 25 .Векторное и сме ш анное произведенияВекторное произведение. Пусть в пространстве V3 выбрана ориентация. Базисы, задающие эту ориентацию, назовем правыми (положительными) .Векторн'ым произведением ненулевых векторов а и Ь называется вектор с такой, что:=1)s in( ;,h) ,·с ортогонален каждому из векторов а и Ьи если с -:/= О, то3) с направлен так, что упорядоченная тройка а, Ь, с правая.Если один из векторов а или Ь нулевой, то векторное произведение считается равным О . О б о з н а ч е н и е : [ а , Ь] .Т е о р е м а 25. 1 (критерий коллинеарности) . Векторъt а и Ьколл1теарнъt тогда и толъко тогда, когда [ а, Ь]О.j11cl1abl2)-==Глава218VI.Векторная алгебрапроизведение антикоммутативно:Т еорем а 25.2.
Векторное[а, Ъ] = - [Ь, а], 'Va, Ь.Теорем а 25.3. Векторное произведение линейно п о каждому изсомножителей.Смешаннъш произведением векторов а,произведение.Смешанноепроизведению векторного проскалярномуравноеи с называется число,Ьизведенияи Ь на вектор с. О б о з н а ч е н и е : (а, Ь, с). Итак, ( а, Ь , с) =ас).
а 25.4 (критерий компланарности). Векторы а, Ь, с( [ а, Ь],ТеоремкомпланарН'Ьl, тогда и толъко тогда, когда ( а, Ъ, с) О.Т е орем а 25. 5. Смешанное произведение некомпланарнъtх векторов а, Ь и с равно по абсолютной вели'Чине обr,ему V паралл елепипеда,построенного на приведеннъtх к общему на'Чалу векторах а, Ь, с. При'Чема, Ъ, с - правая трой:_ка;( а' Ь ' с ) = { -V,V, ее.лиее.ли а, Ъ, с - левая троика.любъtх векторов а, Ъ , с въtполнено равенствоТеорем а 25.6.
Дл.я).с][Ъ,а,(,==Ъс)([а,]С л е д с т в и е 1 . Дл.я любъtх векторов а, Ь, с имеют место равенства( а, Ъ, с)== ( Ъ, с, а)== ( с, а, Ъ)== - ( Ъ, а, с) == -( а, с, Ъ) == -( с, Ь, а).С л е д с т в и е 2. Смешанное произведенне линейно по каждому из сомножителей.произведения в прямоугольных коори смешанноеВекторноеез- ортонормированный базис пространства иПустьдинатах.е2,езпустье2,- правая тройка.Если векторы а == {а 1 , а2, аз } и Ь = {Ь 1 , Ь2,Ьз } заданы своими коор1.е2, ез, тодинатами в базисе·=ei ,ei ,ei ,или, в условной записи в виде мнемонического определителя,,[а Ь) = Ь1 ае2Ь22 аеЬззз( имеется в виду разложение этого определителя по первой строке ) .2. Если векторы а = { а 1, а 2 , а з }, Ь = {Ь 1 , Ь2 , Ьз }, с = { с1 , с2 , сз} заданысвои м и координатам и в базисе е1, е 2 , е з , тоааз2( а, Ъ, с) == Ь 1 Ь2С2 сЬззотрицательно ориентие2,езЗ а м е 'Ч а н и е .
Если исходный базисрован, то[ а, Ь] = - ( 1 ь� аЬзз 1 е 1 - 1 Ь1 аЬзз 1 е2 + 1 Ь1 аЬ22 1 ез ) ,азаее22е1з[ а, Ъ] = - аЬ11 аЬ22 аЬзз ( а, Ь, с) Ь1 Ь2 сЬззeiaiaiС1ei ,aiai==-aiCJС2219§25 . Векторное и смешанное произведенияПримерРебро куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 равно точка К - центрграни АВВ 1 А 1 . Найти расстояние p ( C1 , DK ) от точки С1 до прямой DK.Р е ш е н и е. Из определения векторного произведения следует, что25.1.2,--+-----+Найдем координаты векторов DK и DC1 в ортонормированном базисе1 ---?1 -----?1 ----t2 ВС .2 ВА, Ь----2-+ ВВ 1 ,--+--+---+Имеем: DK( см.
примерDC1 DC + DD 1 ==+�ОтсюдаЬ, так что DC1а=2=с== {-1, 1, -2}= {-2, 2, О}.24 . 2 ),-----+ -----+=-2а-1-2а Ь21 -2о = { 4 , -4 ,0},-----+ �DC1 ] I = 4 v12 ,[DK,l ----+I DK I = v16.Следовательно, p ( C1 , DK) = 4 J3 / З.П р и м е р 25. 2 . Ребро куба ABCDA 1 B 1 C1 D 1 равно 2, точка К - центрграни АВВ 1 А1 . Найти расстояние между прямыми DK и СС1 .с[DK, DC1 ] =•Р е ш е н и е. Заметим, что DK и СС1 - скрещивающиеся прямые и расстояние между ними равно расстояниюмежду параллельными плоскостями,h параллелепипеда, построенного на векв которыхонилежат,т.е.высоте----+ ---+ --+ --+�торах DK , DC и DD 1 ( DD 1 СС1 ) . Из свойств смешанного и векторногопроизведений следует, что=h=-----+---+---+l ( DK, DC , DD 1 ) I.-----+ ---+l [ DK, DC] I--+---+---?а = � БА,Ь = � ВВ 1 , с = � ВС векторы= {-1 , 1, -2}, = {-2, О, О}, --+DD 1 = { О , 2 , О },-1-2 о1 -2о = 8,(DK, DC, DD 1 )о 2оась-----+ ---+[DK, DC] = -1 1 -2 = {О, - 4, 2},-2 о оl [DK, DC] I = 2у'5.Следовательно, h = 4 v'5/5.П р и м е р 25.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
