Том 1 (1113042), страница 37
Текст из файла (страница 37)
2 2 . Доказать, что в тетраэдре все грани являются равными треугольниками тогда и только тогда, когда отрезки, соединя ющие середины противоположных ребер, перпендикулярны.24. 2 3 . Доказать, что сумма квадратов длин ребер тетраэдрав четыре раза больше, чем сум ма квадратов расстояний между210Глава VI. Векторная алгебрасерединами его скрещивающихся ребер.24. 24 . Доказать , что в параллелепипеде все внутренние диагонали одинаковы тогда и только тогда, когда этот параллелепипед прямоугольный.24 . 2 5 . Дан куб ABCDA 1 B 1 C1 D 1 с ребром а . Найти длинунаименьшего отрезка, концы которого расположены на прямыхАВ 1 и ВС1 и который образует угол 60° с плоскостью граниABCD.24 .26. В треугольнике АБС точка D делит сторону АВ вотношении Л.
Выразить длину отрезка CD через длины а = ВС ,Ь = АС , с = АВ трех сторон треугольника и число Л.24. 27. В прямоугольном треугольнике АБС опущен перпен�дикуляр СН на гипотенузу АВ . Выразить вектор СН через век-+------+торы а = СВ и Ь = СА.24. 28 . В треугольнике АБС проведена высота АН. Выразить-+��вектор АН через векторы Ь = АВ и с = АС.24 . 29 . Зная векторы а и Ь , на которых построен параллелограмм , выразить через них вектор , совпадающий с высотойпараллелограмма, перпендикулярной к стороне а.24. 30.
В тетраэдре ОАВС из вершины О опущена высота ОН�на противоположную грань . Выразить вектор ОН через векторы���а = ОА , Ь = ОБ и с = ОС.24. 3 1 . Дан прямоугольник ABCD и точка М (которая можетлежать как в плоскости прямоугольника, так и вне ее) . Показать,что :а) скалярное произведение векторов , идущих от точки М кдвум несмежным вершинам прямоугольника, равно скалярномупроизведению векторов , идущих от той же точки к двум другимвершинам :� �� �(МА , МС ) = (MB, MD);б) сумма квадратов длин векторов одной пары равна сумме���квадратов длин векторов другой пары : I MA l 2 + IMCl 2 = /MB l 2 +---t1 мп 1 2 .24 . 32 .
Дан параллелограмм ABCD. Доказать , что величинаА Х 2 + СХ 2 - ВХ 2 - DX 2 не зависит от выбора точки Х.24 . 33 . Пусть О - центр окружности, описанной около тре�угольника АБС , а точка Н обладает тем свойством , что ОН =§24 .-----+211Скалярное произведение��О А + О В + ОС. Доказать,треугольника АБС.что Н - точка пересечения высот24. 34. Доказать , что сумма квадратов расстояний от точки Хдо вершин заданного треугольника минимальна тогда и толькотогда, когда точка Х совпадает с точкой пересечения медиан втреугольнике.24. 34. 1 .
Доказать, что сумма квадратов расстояний от точкиХ до вершин заданного тетраэдра минимальна тогда и толькотогда, когда точка Х совпадает с точкой пересечения серединего противоположных ребер.24. 34 . 2 . Пусть A i , . . . , Ап произвольное множество точекпространства. Доказать, что существует и притом только однатакая точка Х, для которой выражение IXA 1 1 2 + . .
. + I XA n l 2достигает своего минимального значения .24 . 35 . В выпуклом четырехугольнике сумма квадратов двухпротивоположных сторон равна сумме квадратов двух другихпротивоположных сторон. Найти угол меж,цу диагоналями четырехугольника.24. 36 . Доказать, что в произвольном четырехугольникеАБС D выполнено равенствоАВ 2 + ВС2 + CD 2 + AD 2 = АС2 + BD 2 + 4M N2 ,где М и N - середины диагоналей АС и BD соответственно( теорема Эйлера) .24.37.
Точки А, В , С и D таковы , что для любой точки М� �� �-----+числа ( МА , МВ) и ( M C , MD) различны . Доказать, что АС =�-DB.24. 38 . Пусть R - радиус окружности, описанной около правильного n-угольника. Найти:а) сумму квадратов длин всех сторон и всех диагоналей этогомногоугольника, выходящих из одной его вершины ;6) сумму квадратов длин всех сторон и всех диагоналей этогомногоугольника.24 . 39 .
Правильный многоугольник А 1 . . . Ап вписан в окружн ость радиуса R с центром О; Х - произвольная точка. Доказать,что A i X 2 + . . . + А п Х 2 n(R2 + ОХ 2 ) .24 .40 . Точки А 1 , . . . , Ап лежат на окружности с центром О ,_____,�пр ичем ОА1 + . . . + ОА п = О. Доказать, что для любой точки Хсп раведливо неравенство Х А 1 + . . . + Х Ап > nR, где R - радиус=212ГлаваVI.Векторная алгебраокружности.24.41 . Доказать, что сумма расстояний от произвольной точки Х до вершин правильного п-угольника будет минимальнойтогда и только тогда, когда Х - центр п-угольника.24 .42 . Вычислить скалярное произведение векторов а и Ь,заданных своими координатами, в каждом из нижеследующихслучаев:а) а = { З , 5, 7 } , Ь = { -2, 6, 1 } ; б) а = { 3, 0, -6 } , Ь = { 2, -4, О } ;в) а == { 2 , 5 , 1 } , Ь = { 3, -2 , 4 } ; г) а = { 9 , 8, 5 } , Ь == { -9, 8, 3 } .24.43.
Определить угол а между векторами а и Ь, заданными своими координатами, в каждом из нижесле,цующих случаев:а) а = { 8 , 4 , 1 } , Ь = { 2 , -2, 1 } ; б) а = { 1 , 1 , 1 } , Ь = { 3, 3 , -3 } ;в) а = { 2, 5, 4 } , Ь = { 6 , 0, -3 } ; г) а = { 1 , 0, 1 } , Ь = {2, -2, 0 } .24 .44. Даны векторы: а = { 2, -2, 1 }, Ь == { 1 , 1 , - 1 } , с ={ - 1 , 1 , 2 } . Вычислить:а) 2 а2 + 6 ( а , Ь ) - 2 с 2 ; б) 2 а2 - 3 Ь 2 + 3 с 2 ;в) 4( а , Ь) - 3 ( Ь , с ) - 5( а , с ) ; г ) а2 ( Ь , с ) + Ь 2 ( с, а ) + с 2 ( а , Ь) .24.45.
Даны векторы: а == { 3 , 1 , 2 } , Ь = { 2, 1 , -2 } , с =={2, 1 , 2}. Найти координаты векторов:а) ( а , Ь) с - а ( Ь , с) ; б) а2 Ь + Ь 2 с + с 2 а ;в) ( а - Ь ) 2 с + ( Ь - с ) 2 а + ( а - с ) 2 Ь.-----+24 .46 . Найти направляющие косинусы вектора АБ, еслиА ( -2, 1 , 3) и Б (О, - 1 , 2) .24.4 7. Луч образует с двумя осями координат углы в 60° .Под каким углом он наклонен к третьей оси?�24 .48. Найти углы, образуемые вектором ОБ == { 6, 2 , 9 } сплоскостями координат Oyz, Oz x , Оху.24.49 . Найти угол между биссектрисами координатных углов x Oz и yOz.24 . 50.
Найти угол между лучом , лежащим в плоскости Оху иобразующим с осью Ох угол 30° , и лучом , лежащим в плоскостиO x z и образующим с осью Ох угол 60° .24 . 5 1 . Треугольник АБС задан своими вершинами А(З, 2,-3) , Б(5 , 1 , -1), C(l, -2, 1) . Определить его внешний угол привершине А.24 .
5 2 . Найти внутренние углы треугольника АБС, есл иА(9, 2, 4) , В(2, 3, - 1) , С(5, - 1 , -6) .24. 5 3 . Вычислить длину d диагонали OD параллелепипеда,зная длины а == ОА, Ь = ОБ, с = ОС трех его ребер, выходящи х21 3Скалярное произведение§24.---------------из одной вершины О, и углы а = БОС, (3 = СОА, т = АОВмеж,цу ними. Найти также косинусы углов, образуемых диагональю OD с ребрами ОА, ОБ, ОС.24. 54. Одна из вершин параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C1 D 1находится в точке A(l, 2 , 3) , а концы выходящих из нее ребер - вточках В ( 9, 6, 4) , D ( 3 , О , 4) , А 1 ( 5 , 2 , 6) . Н айти длину d диагоналиАС1 этого параллелепипеда и угол, образуемый этой диагональюс ребром АВ .24 .
55 . Вычислить углы <р1 , <р 2 , <р з , образованные противоположными ребрами тетраэдра, вершины которого находятся вточках А ( 3 , - 1 , О) , В(О, - 7 , 3) , С ( -2 , 1 , - 1) , D(З , 2 , 6) .24. 56. Найти вектор х , коллинеарный вектору а = { 12 , - 16,- 15 } , если известно, что 1 x l = 50 и вектор х образует с осью Ozострый угол.24 . 57. Найти вектор х, перпендикулярный векторам а ={ 2 , 3, - 1 } и Ь = { 1 , -2, 3}, зная , что он образует с осью Оу тупойугол и что 1 x l = 3 v'З.24. 58. Даны два вектора а = { 8 , 4, 1 } и Ь = { 2 , -2 , 1 } .
Найтивектор с , компланарный векторам а и Ь, перпендикулярныйвектору а, равный ему по длине и образующий с вектором Ьтупой угол.24 . 59 . Даны два вектора а и Ь. Представить вектор Ь в видесуммы двух векторов х и у так, чтобы вектор х был коллинеарен вектору а, а вектор у ортогонален вектору а.24.60 . Даны два неколлинеарных вектора а и Ь. Найти вектор х, компланарный векторам а и Ь и удовлетворяющий сис теме уравнений ( а, х ) = 1 , ( Ь , х ) = О.24 . 6 1 . Даны три некомпланарных вектора а, Ь, с .
Найтивектор х, удовлетворяющий системе уравнений ( а, х) = 1 ,( Ь , ) = О, ( х) = О .24 . 62 . Даны векторы а и n . Найти ортогональную проек циюве ктора а на плоскость, перпендикулярную вектору n .24 . 63 . Найти ортогональную проекцию вектора { - 14 , 2, 5} нао сь , определяемую вектором { 2, -2, 1 } .24 .64 . Найти величину ортогональной проекции вектора{ 5 , 2, 5 } на ось , определенную вектором { 2, - 1 , 2 } .24 .65. Найти величину ортогональной проекции вектора а ={ 4 , -3, 2} на ось, составляющую с координатными осями равныеост р ые углы.хс,214ГлаваVI.Векторная алгебра24.66. Найти ортогональную проекцию вектора { 8 , 4, 1 } наплоскость, перпендикулярную вектору { 2, -2, 1 }.24 .
67. Даны векторы а = { 8, 4, 1 } , Ь = { 2, -2, 1 } , с ={ 1 , 1 , 9 } . Найти ортогональную проекцию вектора с на плоскость,параллельную векторам а и Ь.24 .68 . Найти сумму векторов, являющихся ортогональнымипроекциями вектора · а на стороны равностороннего треугольника АБС.24 .69 . Известны величины ортогональных проекций векторов а, Ь, с и d на ось , определенную вектором е: (pr е а ) = 5 ,(pr е Ь) = -3, (pr е с ) = -8, (pr е d ) = 6. Образуют ли векторыа, Ь , с, d замкнутую ломаную?24. 70 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
