Том 1 (1113042), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Объяснить эти факты в терминах линейной зависимости и линейной независимости столбцов матрицы системы .2 2 . 29 . Указать все группы неизвестных, которые м огут быть1 86Глав аV.Системы линейных алгебраических уравненийобъявлены свободными неизвестными системы7х 1 - 4х 2 + 9 хз + 2х4 + 2х5 = О,5х 1 + 8 х 2 + 7х з - 4х 4 + 2 х 5 = О,З х 1 - 8 х 2 + 5х з + 4х 4 + 2х 5 = О ,7х 1 - 2х 2 + 2 х з + Х4 - 5х 5 = О .2 2 . 30 . Построить однородные системы уравнений, дл?! которых следующие системы векторов являются фундаментальнымисистемами решений:а) У1 = ( -2 , 1 , 1 , 1 ) т , б) у1 = ( -2, 1 , 1 , 1 ) т , в ) у 1 = ( -2 , 1 , 1 , 1 ) т .У2 = ( о ' 1 , 2 ' о ) т 'уз = ( 1 , - 1 , О, 1 ) т ;У2 = ( о ' 1 , 2 ' о ) т ;22 .
3 1 . Построить однородную систему линейных уравнений,состоящую: а) из двух уравнений; б) из трех уравнений; в) изчетырех уравнений, - для которой система векторовУ 1 ( 1 , 4, -2, 2 , - 1 ) т ,У2 = ( 3 ' 1 3' - 1 , 2 ' 1) т 'Уз = ( 2 , 7, - 8, 4, -5 ) т==является фундаментальной системой решений.2 2 . 32 . Построить неоднородные системы линейных уравнений, которые описывают линейные многообразия минимальнойразмерности, содержащие векторы:а) У1 = ( 1 , 1 , 2 , 1 , 1 ) т ;б) У 1 = ( 3 , О, О, 2, 1 ) т ,в) У 1 = ( 1 , - 1 , 2 , О, 3) т ,У2 = ( 5, -3 , О, -2 , l ) т ,Уз = ( - 1 , О, 3 , 1 , 4 ) т ;У2 = (о' 1 , 1 , о ' о) т ;г) У1 = ( 2 , 1 , 3, О) т ,У2 = ( 3' 1 , 3 ' о ) т 'Уз = ( 2 , 2, 3 , О) т ,У4 = (2, 1 , 4, о ) т 'У5 = ( 2 ' 1 , 3' 1 ) т .Выяснить, можно ли найти однородную систему уравнений,для которой указанные системы векторов являются двумя еефундаментальны�1и системами решений.z 1 = ( 1 , 0, 0, О ) т ,2 2 .
33 . У1 = ( 1 , 0, 0, О) т ,У2 ( 1 , 1 , О, О) т , и z 2 = ( 1 , 1 , 1 , О) т ,==Уз = ( 1 , 1 , 1 , О) тz з = (2 , 1 , 1 , О) т .1 87§22 . Геометрические свойства решений системы22 . 34.2 2 . 35 .2 2 . 36.У1 = ( 1 , о , о, о )т ,У2 = ( 1 , 1 , о ' о ) т ' иУз = ( 1 , 1 , 1 , О) тУ1 = ( 1 , 0 , 0 , О)т,У2 = (о ' 1, о ' о) т ' иУз = (О , О, 1 , О ) тУ1 = ( 2 ' 3 ' 1 , 2) т 'у2 = ( 1 , 1 , -2, -2) т ,Уз = ( 3 , 4, 2 , 1 ) тz 1 = (О , О, О, l )т ,z 2 = (О , О, 1 , 1 ) т ,zз = (О , 1 , 1 , l )т .z 1 = (О , О, 1 , О ) т ,z2 = (О , 1 , 1 , О) т ,zз = ( 1 , 1 , 1 , о) т .z 1 = ( 1 , О, 2 , - 5) т ,и z 2 = (0, 1 , 8 , 7)т ,= (4, 5,2 О) Т .ZЗ-,2 2 . 37.
Пусть строки матрицы А Е JRP X n (р < п) образуютфундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений ранга r с п неизвестными ( n = r + р) . Доказать,что строки м атрицы В Е JRP X n образуют фундаментальную систему решений той же системы уравнений тогда и только тогда,когда существует невырожденная матрица С порядка р такая,что В = СА.22 . 38. Доказать, что если ранг матрицы однородной системылинейных уравнений на единицу меньше числа неизвестных, толюбые два решения этой системы пропорциональны, т.е. отличаются лишь числовым множителем .2 2 . 39 .
Пользуясь предыдущей задачей, доказать , что еслиопределитель квадратной матрицы А порядка п > 1 равен нулю,то алгебраические дополнения соответствующих элементов двухлюбых строк (столбцов) пропорциональны.22 .40 . Пусть ранг квадратной матрицы А п-го порядка(п > 1 ) равен п - 1 . Пользуясь предыдущейзадачей, доказать,......что ранг ее присоединенной матрицы А равен 1 .22 .41 .
Доказать, что если в однородной системе линейныхуравнений число уравнений на единицу меньше числа неизвестных, то в качестве решения этой системы можно взять наборминоров , полученных из основной матрицы поочередным вычеркиванием 1-го, 2-го и т.д. столбцов , причем эти миноры берутся счередующимися знаками . Далее показать, что если это решениене нулевое, то любое решение системы ему пропорционально.Пользуясь результатом предыдущей задачи, найти частное иобщее решения систем уравнений.188Глава22 .42 .V.Системы линейных алгебраических уравнений{ 65х1х1 ++ 3х5х22 ++ 46хзхз == ОО.,{2 2 .43.{ 46х1х1 -- 96х2х2 ++ 105ххз3 == О.0,{2 х 1 + 3х 2 + 5 хз + 6 х4 = 0,4х1 - 5 х2 - 6хз + З х4 = 0,22.44.
З х1 + 4 х2 + 6 хз + 7 х4 = 0, 22 .45 . 2 х1 - х 2 - 3 хз + 2 х4 = 0,6 х1 - 7 х2 - 9 хз + 5 х4 = 0.Зх 1 + х 2 + х з + 4х4 = 0 .22 .46 . При каких условиях в общем решении системы уравненийх2 + а х з + Ьх4 = О,- Х1 + СХ3 + dx4 = 0,а х1 + сх 2 - е х4 = 0,Ьх1 + dx 2 + ех з = Оза свободные неизвестные можно принять х з и х4 ?2 2 .4 7. Известно, что для системы А х = Ь с матрицей А размера т х п любой вектор х Е IR. n является решением . Что можносказать о матрице А и векторе Ь в этом случае?22 .48 . Пусть АВ = О , А Е IR. m x n , В Е lRnx k . Доказать , чтоrg A + rg B < п .2 2 .49 . Найти условия, необходимые и достаточные для того,чтобы в любом решении совместной системы линейных уравнений k-e неизвестное было равно нулю.22 .
50 . Пусть А Е IR. m xn .1 . Доказать , что множество решений матричного уравненияАХ = О ,где Х Е IR. n x k , образует линейное подпространство пространстваматриц IR. n x k .2 . Найти размерность подпространства решений этого уравнения .2 2 . 5 1 . Пусть А Е IR. m x n , В Е JR. k x l .1 . Доказать, что множество решений матричного уравненияАХВ = О ,где Х Е IR. n x k , образует линейное подпространство пространстваматриц IR.
n x k .2. Пользуясь результатом задачи 20. 1 5 , найти размерностьподпространства решений этого уравнения.Гл ава VI . Векторная алге б раВ этой главе рассматриваются пространства V1 , V2 , Vз векторов на прямой, на плоскости и в пространстве. Предполагаются известными следующие факты( гл.IV ) :- di m V1 = 1 и любой ненулевой вектор e i является базисоl\1 V1 ,- di m V2 = и любая пара неколлинеарных векторов e i , е2 являетсябазисомV2 ,di- m Vз = 3 и любая тройка некомпланарных векторов e i , е2 , ез является базисом Vз ,- координаты вектора вычисляются согласно формулам ( 17.3) , ( 1 7.4) ,( 17 . 5) .2§ 23 .А ффинная система координат. К оординатыточкиПусть в пространстве Vз (на плоскости V2 или на прямой V1 ) зафиксирована некоторая точка О , называемая полюсом.
Для любой точки А векторr А = О А называется радиус-вектором то'Чки А относителъно полюса О .Задание точки ее радиус-вектором определяет, очевидно, биективное отображение. Тот факт, что точка А имеет радиус-вектор r, обозначают символом А( r ) .Если в пространстве Vз зафиксированы точка О и базис e i , е2 , ез , то говорят, что в пространстве задана аффинная систе.м,а координат (или обща.ядекартова систе.м,а координат) {О; e i , е2 , е з } . Точка О называется на'Чалом координат; оси , проходящие через начало координат и определенныевекторами e i , е2 , ез , называются ос.ями коордu'Нат и обозначаются Ох (осьабсцисс) , Оу (ось ординат) , Oz (ось аппликат) соответственно. Плоскость,определяемая осями координат Ох и Оу (Ох и Oz, О у и Oz) , называетсякоордннатной nлоскостъю Оху (Oxz , Oyz соответственно) .
В этой терминологии аффинная система координат обозначается также символом Oxyz.Координатами то'Чки А в аффинной системе координат {О; е1 , е2 , ез }называются координаты радиус-вектора rА этой точки в б азисе е 1 , е2 ,ез . Тот факт, что точка А имеет координаты х , у, z , обозначают символомА( х , у , z) . Итак,----+Г А = Х е1 + у е2 + z ез <===> A(x, y, z) .Таким образом, любая точка пространства в заданной системе координат имеет координаты, причем:1 ) точки A1 (x1 , y1 , z 1 ) и A 2 (x 2 , y2 , z2 ) совпадают тогда и только тогда,когда х 1 = х 2 , У1 == У2 , z 1 = z2 ;2 ) если A(x1 , y 1 , z 1 ) и B(x 2 , y2 , z2 ) - точки пространства, заданные сво�и:м и координатами в системе координат {О; e i , е2 , ез } , то вектор а = АВв базисе e i , е2 , ез имеет координаты а = {х 2 - х 1 , У2 - у1 , z2 - z 1 } ;190ГлаваVI.Векторная алгебра== У1l ++Лу2 , Z3 ==Базисгде п = 1, 2, 3, называется ортонормированнЪtм, есливекторы базисаимеют единичную длину1)и, в случае п > 1,.2) попарно перпендикулярны.Х3 == х 11 ++ЛхЛ 2УЗe i , .
. . , en ,ААффинная система координат {О; e i , е2 , ез } , соответствующая ортонормированному базису е1 , е2 , е3 , называется пр.ямоуголъной декартовойили просто пр.ямоуголъной системой координат.Пусть на плоскости Р даныдве непараллельные прямые l и L . Проек�цией направленного отрезка АВ на прямую l паралл елъно пр.ямой L называется направленный отрезок А 1 В 1 , где А 1 , В 1 проекции точек А и В напрямую l параллельно прямой L. О б о з н а ч е н и е : prf АВ.Т е о р е м а 23. 1 .
Проекцttи '{ХLвнъtх направленн'Ьlх отрезков равн'Ьt.Проекцией вектора аАВ на прямую l nараллелъно прямой L назы�вается вектор, порожденный prf АВ . О б о з н а ч е н и е : prf а .Т е о р е м а 23.2. Проекция вектора на прямую l параллелъно пр.я--�== �мой L обладает свойством линейности:1} prf ( а + Ь) prf а + prf Ь , 'V а , Ь ,==2) prf (o: a) == а · prf а , 'V a , 'Vo: Е IR .Пусть в пространстве заданы плоскость7Г и непараллельная ей пря�мая l . Проекцией направленного отрезка АВ на прямую l ( на плоскостъ1Г ) паралл елъно плоскости 7Г (соответственно пр.ямой l ) называется направленный отрезок А 1 В1 (А 2 В2 ) , где А 1 и В 1 (А 2 и В2 ) проекции точекА и В на прямую l (плоскость 1Г ) параллельно плоскости 7Г ( прямой l ) .��О б о з н а ч е н и е : prf АВ, p r1t'l AB.Для обеих проекций справедливо утверждение теоремыпроекции-23.1:равнъtх направленнъ�х отрезков равнъt.�Проекцией вектора а = АВ на прямую l ( плоскостъ 1Г ) паралл елъно��плоскости 7Г ( пр.ямой l ) называется вектор, порожденный prf АВ (pr� АВ) .О б о з н а ч е н и е : prf а , pr� а Обе проекции вектора в пространстве обладают свойством линейности.Во всех трех случаях , если l .l L или l .l7Г, проекции вектора называютсяортогоналън'Ьtми проекци.ямtt.Форl\lулы ( 1 7 .
5) для координат вектора а Е Vз в базисе e i , е 2 , е з могут.быть записаны в терминах проекций вектора на ось в видеzх=-== ( pr1 езz 1 ) 'агде pr а , prУ а , pr z а проекции вектора а на оси, определенные базисными векторами e i , е2 , е з (т.е. на оси координат Ох, Оу, Oz) , параллельнокоординатным плоскостям Oyz, Oxz, Оху соответственно.х191§23. Аффинная система координат. Координаты то чкиТ е о р е м а 23.3. На плоскости (в прост]ХJ,нстве) вели'Чина проекции векто]Jа на осъ паралл елъно пр.ямой (соответственно пр.ямой или плоскости) обладает свойством линейности.{О;{О' ;Еслие 1 , е 2 , ез } ие � , е � , е � } - две аффинные системы координат в пространстве ("старая" и "новая") , ( а , {3, "У) - координаты нового начав старой системе координат, С = ( Cij) - матрица перехода от базисалае 1 , е 2 , е3 к базису е � , е� , е � ( § 1 7) , (х, у , z) и (х' , у ' , z') - координаты точкив старой и новой системах координат, тоО'111х = а + с 1 1 х + с12У + с1з z ,У = {3 + С21 Х + С22У + C23 Z ,Z = "'/ + С31 Х + Сз2У + C33 Z11'111•Эти соотношения называются формулами преоб]ХJ,зовани.я координат.Эти формулы выражают старые координаты точки через новые.Ориентация в вещественном линейном пространстве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
