Том 1 (1113042), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Итак, хо + L = { хо + x l x Е L} .Из определения вытекают следующие факты.1 ° . Вектор сдвига х 0 принадлежит линейному многооб]Юзию .2° . Разностъ двух векторов линейного многообразия принадлежит на-п]Ювл.яющему подпрост]ХJ,нству.Т е о р е м а 18.2. Два линейнъ�х многообразия Н1 = х 1 + L i и Н2 =х2 + L 2 совпадают тогда и толъко тогда, когда Li = L 2 = L и х1 х 2 Е L .С л е д с т в и е 1 . Вектором сдвига может бЪtтъ любой вектор линейного многообразия.С л е д с т в и е 2. Линейное многообраз'l.tе может бЪtтъ полу'Чено сдвигом единственного направляющего подпространства.Размерностъю линейного многооб]Юзи.я называется размерность его на-правляющего подпространства.
Линейное :многообразие размерности единица называется пр.ямой в линейном прост]Юнстве, размерности ( п 1 ) , гдеп = di m V , гиперплоскостъю, а размерности k, 1 < k < п 1 , k-мерной----плоскостъю.ЗАДАЧИ18. 1 . Образуют ли линейное подпространство ариф метического пространства IR.
n все векторы х = (х 1 , х 2 , . . . , х п ) Е IR. n ,компоненты которых:а ) являются целыми числами;б ) являются четными числами;в ) являются нечетными числами;г ) удовлетворяют условию х1 + х2 + . . . + Хп = О;д) удовлетворяют условию х 1 + Х 2 + .
. . + Хп = 1 ?18. 2 . Образуют ли линейное подпространство пространстваV2 все векторы плоскости,а ) каждый из которых лежит на одной из осей координат О хи Оу ;б ) концы которых лежат на данной прямой ( начало любоговектора, если не оговорено противное, предполагается совпадающим с началом координат ) ;в ) начала и концы которых лежат на данной прямой;г ) концы которых лежат в первой четверти системы координат;д) концы которых лежат в первой или третьей четверти системы координат?1 8 . 3 . Указать все линейные подпространства геометрического пространства Vз .158Глава IV. Введение в теорию линейных пространств18.4.
Образуют ли линейное подпространство пространстваматриц IR.n xn :а) матрицы А , у которых tr А = О;б) все симметрические матрицы порядка п ;в) все кососимметрические матрицы порядка п ;г) все невырожденные матрицы порядка п;д) все треугольные матрицы одинакового вида;е) все верхние ступенчатые матрицы;ж) все матрицы с нулевой главной диагональю?18.
5 . Образуют ли линейное подпространство пространствамногочленов Мп все многочлены p(t) Е Мп , для которыха) p ( l ) = О;б) p( -t) = p(t) Vt Е IR; в) p( -t) = -p(t) Vt Е IR;г) p ( l ) = 1 ;д) 2р (О) = Зр ( l ) ;е) p ( a t) = ap(t) для любого t Е IR, где а Е IR - некотороефиксированное число;ж) p ( t ) > О при t Е [О; 1] ;з) t = 1 является простым корнем?18.6. Образуют ли линейное подпространство пространства Vа) все линейные комбинации заданных векторов а1 , . . . , a k Е V;б) все те линейные комбинации заданных векторов a l , .
. . , a k ЕV , коэффициенты а 1 , . . . , й k Е IR которых удовлетворяют условию а1 + . . . + a k = О ?18. 7. Что представляет собой линейное многообразие размерности нуль? размерности п в n-мерном линейном пространстве?18. 7 . 1 . Доказать , что множество Н векторов линейного пространства образует линейное многообразие тогда и только тогда,когда оно вместе с каждой парой векторов х1 , х 2 содержит всевекторы вида а 1 х 1 + а 2 х2 , где 0: 1 , 0: 2 Е IR , а 1 + а 2 = 1 .18.
7. 2 . Образуют ли линейное многообразие пространства Vвсе те линейные комбинации заданных векторов a l , . . . , ak Е V,коэффициенты 0: 1 , . . . , a k Е IR которых удовлетворяют условию:а) а1 + . . . + a k = 1 ;б) 0: 1 + . . . + a k = 2 ;в) 0: 1 + 20:2 + . .
. + ka k = 1 ?18. 7 . 3. Образуют ли линейное многообразие арифметическоnго пространства IR.n все векторы х = ( х1 , х 2 , . . . , Хп ) Е IR. , компоненты которыха) являются целыми числами;§ 1 8. Линейное подпространство и линейное многообразие 1 5 9б) являются неотрицательными вещественными числами;в) удовлетворяют условию х 1 + х 2 + . . .
+ Хп = 1 ;г) удовлетворяют условию х 1 х 2 . . . Хп = О;д) удовлетворяют условию х 1 х 2 . . . Хп > О;е) удовлетворяют условию х 1 = х 2 = . . . = Хп ;ж) удовлетворяют условию х 1 + 1 = х 2 + 2 = . . . = Хп + п ?Если образуют, то является ли это многообразие линейным подпространством?18. 7 .4. Образуют ли линейное многообразие пространства Vзвсе векторы:а) концы которых лежат на данной плоскости, при условии,что векторы отложены от начала координат;б) концы которых лежат на данной пдоскости, при условии,что векторы отложены от некоторой фиксированной точки пространства;в) концы которых лежат на прямой l 1 , при условии, что векторы отложены от точек прямой l 2 , параллельной l 1 ;г) концы которых лежат на прямой l 1 , при условии, что векторы отложены от точек прямой l 2 , пересекающей l 1 ;д) концы которых лежат на прямой l 1 , при условии, что векторы отложены от точек прямой l 2 , скрещивающейся с l 1 ;е) концы которых лежат на прямой l при условии, что векторы отложены от точек плоскости 7r , п араллельной l ;ж) концы которых лежат на прямой l при условии, что векторы отложены от точек плоскости 7r , пересекающей l ?Если образуют, то какова размерность этого многообразия?18.
7 . 5 . Образуют ли линейное многообразие пространстваматриц JR.n x n все матрицы А Е IR n xn :а) у которых след равен единице;б) для которых А + А т = I;в) для которых Б А = О , где В Е IRn x n - заданная матрица;г) для которых БА = 2 Б , где Б Е IR n xn - заданная матрица ;д) для которых А т = БА , где Б Е IR n x n - заданная м атрица;е) у которых ранг равен единице;ж) которые обратимы;з) для которых А 2 = А ;и) у которых ранг не превосходит двух?1 8 . 7 .
6 . Образуют ли линейное многообразие в пространствем н о гочленов Мп все многочлены p (t) Е Mn :16 0Глава IV. Введение в теорию линейных пространства) для которых p( l ) = 1 ;б) для которых р' (О) = р(О) + 1 ;в) для которых p(O)p( l ) = О;г) у которых степень равна п ;д) для которых число t = 1 является корнем ;е ) для которых число t = 1 является кратным корнем ;ж) остаток делеция которых на t - 1 равен 1 ;з) остаток от деления которых на t 2 - 1 равен t ?18.8.
Доказать, что линейное многообразие Р = хо + L тогдаи только тогда является подпространством, когда хо Е L .18. 9 . Доказать, что для того, чтобы линейное многообразиеР = хо + L было подпространством, достаточно, чтобы суммакаких-либо двух векторов х1 и х 2 из Р принадлежала L.18. 10. Доказать, что в линейном многообразии размерности k , не являющимся подпространством , можно найти линейнонезависимую систему, состоя:r.цую из k + 1 векторов.1 8 . 1 1 . Доказать, что в линейном многообразии размерностиk всякая система, состоящая из k + 2 векторов, линейно зависима.18. 1 2 . Доказать, что для любых k + 1 линейно независимыхвекторов существует и притом единственное линейное многообразие размерности k, содержащее эти векторы.18.
1 3 . Доказать, что линейное многообразие размерности k,содержащее линейно независимые векторы хо , х1 , . . . , X k , можетбыть описано как множество всех линейных комбинаций а охо +а1 х1 + . . . +ak x k , коэффициенты которой удовлетворяют условиюа о + а 1 + . .
. + ak=1.Глава V. Сис темы линейных алге б раиче скихuуравненииСистемойm{линейнuх алгебраи-ч,еских у'[Jавнений сназывается совокупность соотношенийа 1 1 х 1 + а 12Х2 + . . + a 1 n X n = Ь 1 ,а 21 Х1 + а 22Х 2 + . . . + a 2nX n = Ь2 ,........пнеизвестнЪLМи............a m 1 X1 + a m 2X2 + . .
+ a m n X n = Ьm ,где a ij , bi ( i = 1 , m , j = 1 , п) - заданные вещественные числа , а х1 , . . . , X n неизвестные величины. Числа aij называются коэффи'Циентами системu, аbi - свобоiht'ыми 'Ч.Ленам�t.Упорядоченная совокупность чисел с1 , . . . , Сп Е IR называется решениемсистем'Ьl, если при подстановке этих чисел в систему вместо неизвестныхх 1 , . . .
, Хп соответственно каждое уравнение обращается в тождество.Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение , и несовместной, если не имеет ни одного решения. Системауравнений называется определенной, если она имеет единственное решение,и неопределенной, если имеет более одного решения.Исследовать и решить систему - это значит:• установить, совместна она или несовместна;• если она совместна , установить, является она определенной или неопределенной , при этом:- в случае определенной системы найти единственное ее решение ;- в случае неопределенной системы описать :множество всех ее решений.Коэффициенты системы образуют матрицу А = ( ai j ) Е IR m х п , называемую основной матр1щей системъt, свободные члены образуют столбецЬ = { Ь 1 , .
. . , Ьm ) т Е IR m , называемый столбцом свободнъtх 'Ч.Ленов или столбцом правой 'Чдсти, а неизвестные - столбец х = (х 1 , . . , Х п ) т , называемыйстолб'ЦОМ неизвестнъtх. В этих обозначениях система может быть записанав видеАх = ЬилиХ1 а 1 + · · · + X n an = Ь,где ai.
(i = 1 , п) - столбцы матрицы А .Две системы линейных алгебраических уравнений с одинаковым числомнеизвестных называются эквивалентнъ�ми, если множества всех решенийэтих систем совпадают.Т е о р е м а. Умножение обеих 'Чдстей с1tстемъt Ах = Ь слева на..невЪtрожденную матри'Цу приводит ее к экв'l.Lваленrпной систе.ме.6-427 1V.Системы линейных алгебраических уравнений162Глава§ 19.Системы с квадратной н евырожденнойматрицеиuТ е о р е м а 19. 1 . Система линейн'ых алгебраи'Ческих У'/Ювнений сква дратной невЪtрожденной матр1щей совместна и имеет единственноерешение.Это решение имеет видили, в покомпонентной записи,Xi == I Ai l / I A I ' i 1 , п,где Ai получается из матрицы А заменой ее i-го столбца столбцом Ь свободных членов.
Эти формулы называют n'JIOвtLлoм Краме'JЮ.==ЗАДАЧИ{{{{Пользуясь правилом Крамера, решить системы уравнений.19. 1 .19.3.2х - у + З z = 9 ,x + y + 2z = - l ,Зх - 5у + z = -4, 19 . 2 . 2х - у + 2 z = 3 ,4х + у + 4 z = - 3 .4х - 7у + z = 5.3 х + 2 у + z = 5,x + 2y + 4 z = З l ,2 х + Зу + z = 1 ,1 9 .4. 5х + у + 2 z = 29 ,2х + y + З z = l l .Зх - у + z = l O .Для каждого значения параметра Л исследовать и решитьсистемы уравнений.19.5.{ Лх + ( Лх-+22у) у == Л-2Л,+ 5.19 · 6 ·{ ЛхЗх ++ ЛуЗу == Лl . - 2,19 . 7. Выяснить , является ли вектор Ь = ( 1 , 2 , . .
. , п ) Е IR. nлинейной комбинацией векторов a i , а 2 , . . . , ап Е IR. n вида:б) а 1 = ( 1, 1 , . . . , 1 ) ,а) a i = ( 1 , 1, 1, . . . , 1 ) ,п1а 2 = ( О, 1 , . . , 1) ,а2 = ( 1 , 2 , 4 , . . . , 2 - ) ,.ап = ( 1, n , п2 , . . . , пn - l ) ;ап = (О , О, . .., 1).19.8. Доказать, что любой многочлен степени п однозначноопределяется своими значениями при п + 1 различных значениях переменной, т.е. показать, что для произвольных различных между собой чисел t o , t 1 , . . . , tn Е IR и произвольных чиселао , a i , . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
