Том 1 (1113042), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Координатъ� вектора х в базисах е и f св.язан'Ь/,на.с- 1между собой соотношением,где С - матри'Ца перехода от базиса е к базису f.Х е = Сх 1 ,1 47§ 1 7. Б азис и координатыРассмотрим примеры наиболее часто встречающихся в задачнике линейных пространств.П р и м е р 1 7 . 1 .
Г е о 1\1 е т р и ч е с к и е п р о с т р а н с т в а V1 , V2 , Vз .Н а п р я м о й V1 существует ненулевой вектор, а любые два вектораколлинеарны , т.е. на прямой V1 существует линейно независимая система изодного вектора ( теорема 1 5 . 1 ) , а любые два ( значит, и более ) векторов линейно зависимы ( теоремы 15 . 7 и 15.3) .
Таким образоы, любой ненулевой векторпрямой V1 образует максимальную линейно независимую систему векторовв V1 и поэтому (теорема 1 7 . 1) .являете.я базисом V1 , так что diш V1 = 1 .Если e i базис V1 и а Е V1 , то а = х e i , где, как следует из определенияумножения вектора на число,-ei ,Если на прямой V1 введено направление , совпадающее с направлениемто( а)х=( 17.3)тeii 'Н а п л о с к о с т и V2 существует пара неколлинеарных векторов, а любые три вектора компланарны. Из теорем 15.7 , 1 5.8, 1 5.3 и 17.
1 следует, чтолюба.я пара неколлинеарн'ЫХ векторов плоскости V2 образует базис V2 , такчто dim V2 = 2. Если e i , е2 базис V2 и а Е V2 , то а = х e i + у е 2 . Координаты х, у вектора а в базисе e i , е 2 вычисляются сле�'ющим образом.-ААРис. 1Отложим векторы e i , е2 , а от одной точки О плоскости ( рис. 1 ) . Пустьe i = ОБ, е 2 = ОС, а = ОА, точки А 1 и А 2проекции точки А напрямые ОБ и ОС параллельно прямым ОС и ОВ соответственно.
Тогдаа = ОА 1 + ОА 2 = х е 1 + у е 2 . Если на прямых ОБ и ОС ввести направления,совпадающие с направлением e i и е 2 соответственно, то согласно ( 1 7 . 3)----+----+---+-��( 17.4)А налогично ( рис. 2) в п р о с т р а н с т в е Vз люба.я тройка некомпла'Ндр Н'ЫХ векторов образует базис Vз ( теоремы 1 5.8, 1 5.9, 15.3, 17. 1) , так чтоГлава IV.
Введение в теорию линейных пространств148V3 = 3. Если е2, ез - базис Vз и а Е Vз , то а = х е 1 + у е2 + х ез и(О А з )=( 17.5)/ езl 'где А 1 , А 2, А3 - проекции точки А на прямые О В, ОС и О D параллельноплоскостям OCD, OBD и ОВС соответственно.el ,di m�z11П р и м е р 1 7.2. IRАnр � ф м е т и ч е с к о е п р о с т р а н с т в о IR •единичные векторыВ пространствеel = ( 1 , 0, 0, . . .
, О) ,е2 = (О, 1 , 0, . . . , 0 ) ,еп = (0, О, 0, . . . , 1 )линейно независимы (§ 15, пример 15 . 1 ) , и если а = ( al , а 2 , . . . , а п )Е IRn , то( 17.6)Таким образом, векторы. . . , e n образую базис ]R иIRdin m IR n = п.Этот базис называется естественнъtм базисом пространства . Из ( 17.6)следует, что координатами вектора в естественном базисе служат ко l\1поненты а а 2 , .
. . , a n этого вектора.П р и м е р 17 . 3. П2 р о с т nр а н с т в о м н о г о ч л е н о в Мп .Многочлены 1 , t , t , . . • , t образуютбазис Мп , таккак они линейнонезаnМttt)++p(n= ао a + . . . aвисимы ( § 1 5, пример 15.2) и еслип , то,очевидно, p(t) является линейной комбинацией этих многочленовЭтотба.Мзис называется естественн'Ьtм базисом пространства н . Координата:l\1 иkмногочлена p (t) =ak t служат его коэффициенты а о , а 1 , .
. . , а п . Итак,di m Mn = n + 1 .П р и м е р 17.4 . П р о с т р а н с т в о Моо многочленов всех степеней бесконечномерно, так как2 для любогоможно указать линейно незавиktttсимых векторов: 1 , , , . . • , - .mxnП р и м е р 1 7.5. П р о с т р а н с т в о мEа т р и ц IR.n. . .
, Emn ( вТVIатричные единицы... , 1 ,:матрице Eij все элементы нулевые, кромеодного элемента в позиции ( i, j) ,mхпIRравного единице ) образуют базис, так как они линейно независимыmxnIR)(ai j Eij · Этот, тоaij( § 15, пример 15.4 ) и еслиIR m x n .
Координабазис называется естественнъ�мбазисомпрост]Jанства( ai j ) IR rп. x n в естественном базисе служат ее элементытами матрицы"nl. X n = mn ..LN.1 ,-п. Итак, d 1m П])1, m, J. = aij , i = П р и м е р 1 7.6. Пусть S - линейное пространство всех бесконечных последовательностей действительных чисел а =. . . , ан , .
. . ) (см. задачу14.6) . Найти размерность S .Р е ш е н и е. Покажем, что векторыal = ( 1 , О, О, . . . , О, О, . . . )а 2 = (О, 1 , О, . . . , О, О, . . . )ei,e2,n1,1L �=Ok1 kЕNЕ2 1 , Е22, . . . , Е2п,Е11 , Е1 2,А == ЕА == 2:::: 1 2::7= 1А=Е·(а 1 , а2,,,а н == (0, 0, 0 , . . . ' 1 , 0, . . . )Е§ 1 7. Б азис и координаты149линейно независимы. ПустьCt. k ak = О , тогда(0.1 , et. 2 , . .
. , й п , О, . . . ) = (О, О, . . . , О, О, . . . ) ,т.е. Ct.k = О, k = 1 , п. Это означает, что только тривиальная линейная комбинация этих векторов равна нулевому вектору. Следовательно, векторыai , а 2 , . . . , а п линейно независимы.Таким образом, для любого п Е :можно указать п линейно независимых векторов пространства S; следовательно, S - бесконечномерное пространство. •П р и м е р 17.
7 . Пусть F - линейное пространство всех бесконечных действительных последовательностейвида ( а, f3, а , f3, . . . ) . Операции над послеFдовательностями в введены так же, как и в пространстве S предыдущегопримера. Найти размерность и какой-нибудь базис пространства F .Р е ш е н и е. Покажем, что векторыei = ( 1 , О, 1 , 0 , 1 , 0, . . .
) ,е 2 = (0, 1 , 0, 1 , О, 1 , " .)образуют базис пространства F .В самом деле, эти векторы линейно независимы, так как равенство о.е 1 +{3 е 2 = () означает, что( а , {3 , а , {3, . . . ) = (0, 0, 0, О, . . . ) ,т.е. что о. = О, f3 О.С другой стороны, любой вектор а = (о., {3, о., {3 , . . . ) F является линейной комбинацией векторов е 1 , е 2 : а о.е 1 + {3е 2 .Таким образом, di m F = 2 и векторы е 1 , е 2 образуют базис. •П р и м е р 1 7.8. Доказать, что векторыa i = ( 1 , 2, - 1 , -2) ,а 2 = (2, 3, О, - 1 ) ,аз = ( 1 , 2 , 1 , 4) ,а 4 = ( 1 , 3, - 1 , О)4образуют базис пространства R .Р е ш е н и е. Так как в п-мерном пространствелюбые п линейно неза4Rdi= 4 , то достаточно доказатьвисимых векторов образуют базис, а m42л инейную независимость векторов a i , а , аз , а или, что то же самое, доказать, что ранг матрицы, составленной из этих векторов как из строк, равенколичеству строк (теорема 16.3) .
ИмеемL�= lN=Е=А��[1[2 - 1 -2о -132143 -1о12 - 1 -2о -1232оо65о2о]----t[i] [-72 -12 -12о6о2�112 - 1 -22о -13о2о6ооо -1]----t]'т.е. rg A = 4. •П р и м е р 1 7 . 9. Найти координаты 1\·rногочлена р(t) = l + t + t 2 + t 3в базисе 1 , t 1 , ( t - 1 ) 2 , ( t - 1 ) 3-•Е МзГлава IV. Введение в теорию линейных пространств1 50Р е ш е н и е. Очевидно, матрица перехода от базиса езису f ( 1 , t 1 , (t - 1) 2 , (t - 1 ) 3 ) имеет вид=[с=-1 -11 -1о1 -231 -3оо1ооо]= ( 1 , t , t2 , t3 ) к ба.Хе ==х= с- 1 хе .= Сх 1( 1 , 1 , 1 , l ) т .
Согласно теореме 17.6p(t) . ·Очевидно,ПоложимПоследнее произведение может быть найденоили X fХеметодом Гаусса- Жордана (§9) :[i----+[iооо11-11 -21ооо1 -11 -231 -3оо1о! ] -----> [ i-� ] [ 6-1-1 о о1 о оо 1 оо о 141----+о1о оо оТаким образоы, многочлен p(t) в базисе fимеет координаты X f (4, 6, 4, l )т . •=оо1о-ооо1�]----+�].= ( 1 , t - 1, (t - 1 ) 2 , (t - 1 ) 3 )ЗАД АЧИПоказать, что следующие системы векторов являются базисами пространства JR n .17.
2 . Х 1 = ( 1 , 1 , . . . , 1 , 1 , 1 ) ,17. 1 . Х 1 = ( 1 , 2 , 3 , . . . , n ) ,Х 2 = ( 1 , 1 , . . , 1 , 1 , 0) ,Х 2 (0 , 2 , 3 , . . , n ) ,Х 3 = ( 1 , 1 , . . . , 1 , 0, 0) ,Х 3 = (О, о, 3 , . . . ' п ) '=..Хп = (0, 0, 0, . . , n ) .Х1 = (1, l , 1, l, .
. , l) ,Х 2 = ( 0 , 1 , 0 , 0 , . . . , 0) ,(о , 1 , 1 , 0, . . . , о) ,хзХ4 = (О , 1 , 1 , 1 , . . , О ) ,.17. 3.=.Хп = ( 1 , 0, . . . , 0 , 0 , 0) ..Хп = (О , 1 , 1 , 1 , . . . , 1 ) .Для каждого из следующих линейных пространств определить, является ли это пространство конечномерным ; в случаеположительного ответа найти размерность пространства.17.4.
Линейное пространство IR+ из задачи 14.3.151§ 1 7. Базис и координаты1 7. 5 . Линейное пространство последовательностей действительных чисел ( а 1 , а 2 , . . . ) , элементы которых удовлетворяют соотношениям a k = a k - 1 + a k - 2 , k = 3 , 4, . . . .1 7 . 6. Линейное пространство IR из задачи 14.2, п."в".17. 7. Линейное пространство последовательностей действительных чисел ( а 1 , а 2 , .
. . ) , все элементы которых, начиная снекоторого номера, равны нулю.1 7 .8. Доказать , что при любом п Е N данное множество образует конечномерное линейное пространство; найти его размерность и указать какой-либо базис этого пространства.1 . Множество четных многочленов степени не выше п .2 .
Множество нечетных многочленов степени не выше п .1 7 . 9 . Доказать , что данное множество образует бесконечномерное линейное пространство .1 . Множество функций, принимающих конечное число значений на [ а, Ь] .2 . Множество всех функций, непрерывных на [а, Ь] .Выяснить, какие из следующих систем векторов являютсябазисами подходящего пространства lRn .1 7 . 10. Х1 = (1, 1 , 1 , 1 ) , 1 7.
1 1 . Х 1 = ( 1 , 2 , -1, -2) ,Х 2 = (2, 3 , 0 , 1 ) ,Х 2 = (2 , 3 , 0, - 1 ) ,Х 3 = ( 1 , 2 , 1 , 3) ,Х 3 = ( 1 , 2 , 1, 4) ,Х4 = (1, 3 , -1, О) .Х4 = ( 1 , 3, -1, О) .17. 1 2 . Х 1 = (1 , 2, - 1) , 1 7 . 13. X l = ( 1 , 2 , - 1, 1 ) ,Х2 = (2 , 3 , О) ,Х 2 = (2 , 3 , о , 1 ) ,Х 3 = (1, 3 , - 1) .Х 3 = ( 1 , 3 , 1, О) .1 7 . 14 . Доказать, что в пространстве Мп многочленов степени не выше п базисом является всякая система ненулевых многочленов, содержащих по одному многочлену каждой степени k:k = о , 1, 2 , . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
