Том 1 (1113042), страница 24
Текст из файла (страница 24)
20. 1 . Верны ли утверждения преды,цущей задачи, если вусловии диагонального преобладания хотя бы одно неравенствосделать нестрогим?16. 2 1 . Доказать , что приписывание к матрице одной строки( или одного столбца) либо не изменяет ее ранга, либо увеличивает его на единицу.16 . 2 2 . Доказать, что вычеркивание одной строки (или одногостолбца) матрицы не изменяет ее ранга тогда и только тогда,когда вычеркнутая строка (столбец) линейно выражается черезостальные строки (соответственно столбцы) матрицы.141§ 1 6. Ранг матрицы1 6 .
2 3 . Доказать, что если ранг матрицы А не изменяетсяот приписывания к ней каждого столбца матрицы В с тем жеч ислом строк, то он не меняется и от приписывания к м атрицеА всех столбцов матрицы В.1 6 . 24. Как может измениться ранг матрицы, если изменитьзначение одного ее элемента?1 6 . 2 5 . Как может измениться ранг матрицы, если ко всемэлементам одной строки прибавить одно и то же число?1 6 . 26. Как может измениться ранг матрицы при измененииэлементов: а ) одной строки; б ) k строк?1 6 . 27.
К ак может измениться ранг матрицы, если ко всем ееэлементам прибавить одно и то же число?1 6 . 28. Существует ли матрица, ранг которой не изменяется:а) при приписывании к ней любого столбца; б ) при вычеркиваниилюбой ее строки?16. 29. Известно, что в первых k столбцах матрицы размерат х п главный минор порядка k ненулевой, а все прочие минорыпорядка k равны нулю. Доказать, что эта матрица имеет видa i k a i ,k+lal lа �п...............a kka k,k + la knо a k+ l ,k+ lоa k+ l , n.оam ,k+ lоam n16.30 . Доказать, что в невырожденной квадратной матрицеп-го порядка ранг любой квадратной подматрицы порядка п - 1не меньше, чем п - 2.16. 3 1 .
Известно, что квадратная матрица А порядка п соде ржит нулевую квадратную подматрицу k-го порядка. Указать ,какие значения может принимать ранг ��атрицы А.16. 32 . И звестно, что квадратная матрица А порядка п содержит квадратную подматрицу (n 1 ) -го порядка, ранг которойр авен 1 .
Указать , какие значения может принимать ранг матриak 1..-цыА.16. 3 3 . Известно, что ранг квадратной матрицы А порядка прав ен п - 1 . Доказать, что существует матрица В ранга 1 такая ,что матрица А + В невырождена.142Глава IV. Введение в теорию линейных пространствА = [ АО11ОА 22]А 12А 22].16. 34 . Доказать, что ранг блочной матрицы видаравен сумме рангов диагональных клеток А 11 и А 22 .1 6 . 3 5 . Матрица А имеет следующую блочную структуру:Доказать, что._А-[ АО11rg A > rg A 11 + rg А 22 -Построить пример квазитреугольной матрицы А , для которой вэтом соотношении выполняется строгое неравенство.1 6 .
36. Доказать, что для любых матриц А и В одинаковогоразмера1 rg A - rg B I< rg ( A + В ) � rg A + rg B .Для каждого значения r = l r 1 - r 2 I , r 1 + r 2 построить примерматриц А и В, для которых rg A = r 1 , rg В = r 2 и rg ( A + В ) = r .16 . 37. Доказать, что любую матрицу ранга r можно представить в виде суммы r матриц ранга единица, но нельзя представить в виде суммы менее чем r таких матриц.16. 38. Доказать, что если ранг матрицы А равен r , то минор,стоящий на пересечении любых r линейно независимых строк и rлинейно независимых столбцов этой матрицы, отличен от нуля.Верно ли это утверждение, если rg А > r ?16.
39 . Доказать, что ранг симметрической матрицы равеннаивысшему порядку отличных от нуля главных миноров этойматрицы .16.40 . Доказать, что ранг кососимметрической матрицы равен наивысшему порядку отличных от нуля главных миноровэтой матрицы .16.41 . Доказать, что ранг кососимметрической матрицы число четное.16 .42 . Ранг матрицы А Е IR.m x n равен единице. Доказать, чтонай,цутся столбец х и строка у т такие, что выполнено равенствоА = хут .16.42 .
1 . Ранг матрицы В Е IR.n x n равен единице. Доказать ,что для любой матрицы А Е IR. n x n справедливо соотношение2 det А = det (A + В ) + det (A - В ) .16.43. Доказать, что если rg А = 1 , то существует число а143§ 1 6. Ранг матрицытакое, что А 2 = а А .16 .44 . Доказать , что если rg А = rg А 2 = 1 , то равенствоrg А k = 1 выполнено для всех k Е N.16.44. 1 .
Пусть матрицы А Е JRm x n и Б Е JRn x m таковы, чтооба произведения АБ и БА являются единичными матрицами.Доказать , что m = п и Б = л- 1 .16.45. Доказать, что любую матрицу А Е JRm x n ранга r можно представить в виде произведения : А = БС , где В Е JRm x rматрица полного ранга по числу столбцов , а С Е JRr x n матрицаполного ранга по числу строк.
Такое представление матрицы Аназывается ее скелетным разложением.16.46. Известно, что х и у столбцы одной высоты п. Доказать, что :а) rg ( J + ух т ) = п , если х т у =!= - 1 ;б) rg ( J + ух т ) = п - 1 , если х т у = - 1 .16.47. Доказать, что если ранг квадратной матрицы А равен1 , то одна из матриц I + А или I - А невырождена.16.48 .
Доказать, что если ранг квадратной матрицы А равен1 , тоdet(I + А ) = 1 + tr А .16.48 . 1 . Для матриц А и Б определены оба произведения АБи БА. Верно ли, что ранги АБ и БА совпадают?16 .49 . Пусть А Е ж: m x n и Б Е JRn x l . Доказать, что выполненонеравенство Силъвестраrg АБ > rg А + rg Б п .16.50 . Пусть А Е JRm x n . Доказать , что А т А невырожденатогда и только тогда, когда А матрица полного ранга по числустолбцов.16 . 5 1 . Доказать , что для любой матрицы А выполнено соотн ошение-----rg ( A т А ) = rg А.1 6 . 5 2 . Пусть А Е JRm x n и Б Е JRn x l . Доказать, что еслиА В = О , тоrg A + rg Б < п .1 6 . 52 .
1 . Пусть матрица А Е JRn x n такова, что для любойв ы рожденной квадратной матрицы Б порядка п выполнено соотно шени еrg(A Б )=rg Б .144Глава IV. Введение в теорию линейных пространствДоказать, что А - невырожденная матрица.1 6 . 5 2 . 2 . Пусть ненулевая матрица А Е JR n x n такова, что длялюбой квадратной матрицы В порядка п выполнено соотношениеrg(AB) = rg(BA) .Доказать, что А - невырожденная матрица.16 . 53. Пусть А ·и В - квадратные матрицы одинаковогонечетного порядка. Доказать, что если АВ = О , то хотя бы однаиз матриц А + А Т или В + в т вырождена.16.54.
Доказать, что если квадратная матрица А порядка пудовлетворяет равенству А 2 = I , тоrg(I + А ) + rg(I - А ) = п .-16.55. Пусть А - квадратная матрица порядка п > 1 и А матрица,присоединенная к А. К ак связаны ранги матриц А и-А?1 6 . 56. 1 Найти все нильпотентные матрицы третьего порядкас индексом нильпотентности, равным двум .16.57. 2 Найти все периодические матрицы А третьего порядка, удовлетворяющие соотношению А 2 = I.1 6 . 58. Пусть А Е IR. m x n и В Е JR k x l , причем одна из м атриц Аили В неквадратная.
Доказать, если кронекерово произведениеА ® В - квадратная матрица, то она вырождена.1 6 . 59 . Доказать, что:а) для невырожденной матрицы А порядка п и произвольнойматрицы В выполнено соотношениеrg(A 0 В ) = п rg В ;б) для произвольных матриц А и В выполнено соотношениеrg( А 0 В ) = rg А rg В .16.60 . Пусть А и В - матрицы одного размера. Доказать,что:= rg A + rg B ;а) rg[ 2� _5� ][ АЗА+-2ВВ ЗАА + 42 ВВ ]б) rg-12 С:м. также задачи 2.35, 8 . 1 .См. также задачи 2.41 , 9.6 1 .=rg А + rg В ·1 45§ 1 7. Базис и координаты16. 6 1 . ПустьДоказать, что:АиВ-квадратные матрицы одного порядка.[ � В +� ] rg А + rg В ;в) rg [ ; i ] r g A + rg ( J А ).А=а) rg=б ) rg[ А1 �� ]=rg А ;-16.62 .
Пусть А невырожденная матрица n-го порядка. Доказать, что ранг блочной матрицы-[� �]тогда и только тогда, когда Dравен п16.63. Пусть А Е JRm x n ирангов блочных м атриц:В= сл- 1В.Е !Rn x k . Доказать равенство[ � � ] rg [ At z ] .Вывести из этого соотношения неравенство Сильвестра задачи=rg1 6. 49.16.64. Пусть для матриц А , В и С определено произведениеВАС. Доказать равенство рангов блочных матриц:rg[ АСОА ]БА=rg[ ОА]ВАС .ОВывести из этого соотношения неравенство Фробениу саrg BA + rg AC < rg A + rg B AC.16.65 . Квадратные матрицы А и В порядка п таковы, чтоrg А + rg В < п.
Доказать , что существует невырожденная матрица С такая , что АСВ = О.§17.Б азис и координатыБазисом линейного пространства V называется упорядоченная линейнонезависимая система векторов из V, через которую линейно выражаетсял юбой вектор пространства.Т е о р е м а 1 7 .
1 . Система векторов е 1 , , еп л1тейного пространства являете.я его базисом тогда u толъко тогда, когда она образуетмаксималъную линейно независимую систему векторов этого пространства....Из этой теоремы следует, что все базисы одного линейного пространствасостоят из одинакового числа векторов, равного максимальному числул инейно независимых векторов в V .
Число векторов базиса называется размер ностъю линейного пространства. Размерность нулевого пространства поVГлава IV. Введение в теорию линейных пространств146определению считается равной нулю. О б о з н а ч е н и е : dim V.Линейное пространство размерности п, где п - целое неотрицательноечисло, называется п-мерн'ым пространством. Любое п-мерное пространствоотносится к коне'Чномерн'Ым л1тейн'Ым пространствам. Линейное пространство называется бесконе'Чномернъ�м, если для любого kв нем найдется линейно независимая система из k векторов.Из определения размерности и теоремы 17.
1 следует, что:1 ) в п -мерном пространстве любъ�е п линейно независимъ�х векторовЕNобразуют базис;.2) в п -мерном пространстве люба.я систе.м,а из s векторов, гдеs > п,линейно зависима.Т е о р е м а 17.2. Разложение вектора по базису единственно.Коэффициенты разложения вектора по базису называются координатами вектора в этом базисе.О б о з н а ч е н и е . Еслиei ,.
. . , еп - базис пространства и(17. 1 )то будем обозначать через Х е вектор-столбец из координат вектора х в этомбазисе:Хе = ( Х 1 Х 2 " . Х п ) Т .Столбец Х е называют координатнъш столб'ЦОМ вектора х в базисе e i , . . . ,е п . Положиме == ( е 1 , е 2 , . . . , е п ) ·Под символом е будем понимать как обозначение базиса e i , . .
. , e n , так иматрипу-строку ( е 1 , е 2 , . . . , еп ) . В этих обозначениях разложение ( 1 7. 1 ) может быть записано как произведение строки е на столбец Х е :х == е х е .Т е о р е м а 17.3. При сложении векторов их координатъ� в одномбазисе склад'Ь/,ваютс.я, а при умножении вектора на 'Число его координат'Ь/,умножаются на это 'Чuсло.Пусть е = ( е 1 , е 2 , . . . , е п ) и f = ( fi , f2 , . . .
, fп ) - два базиса п-мерногопространства V . Векторы второго базиса, как векторы пространства V , разлагаются по базису е ; пустьС2 1 е 2 + . . . + Cn1 e ,fi = С 1 1 е 1 +n/2 = с 1 2 е 1 + с22 е 2 + . . . + Cn 2 e n ,( 17.2)Коэффициенты Cij этих разложений образуют матрипу С == ( Ci j )которая называется матри'Цей перехода от базиса е к базису f .О б о з н а ч е н и е : С или Ce-+ f ·Соотношения ( 1 7.2) могут быть записаны компактно в видеf = е С.4МТ е о р е м а 1 7 . . атри'Ца перехода к другому базису не въ�рожде-Е]Rn х n ,Т е о р е м а 17.5. Если С - матри'Ца перехода от базиса е к базнсу- матри'Ца перехода от базиса f к базису е .f' тоТ е о р е м а 17.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
