Том 1 (1113042), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Итак, вектор а == cl ( АВ) состоит---+из �всех направленных отрезков, равныхАВ . Обычно вместо символа а ==---4cl (АВ) используется символ а == АВ который в зависимости от контекста�читается как "вектор а, порожденный направленным отрезком АВ " или"вектор а , отложенный от точки А ".Длиной векто'{Хl а ( вел'l.t'Чиной вектора а на оси) называется длина (соответственно величина) порождающего его направленного отрезка; векторыai , а2 , . . . , ak называются коллинеарн'ыми ( компланарнъtми) , если коллинеарны (соответственно компланарны) порождающие их направленные отрезки; векторы а и Ь называются одинаково направленн'Ьtми ( противоположнонаправленнъ�ми) , если одинаково (соответственно противоположно) направлены порождающие их направленные отрезки.
Очевидно, что эти определения корректны несмотря на произвол в выборе направленных отрезков.Вектор единичной длины называется едини'Чнъ�м вектором.Сложение векторов. Сумма векторов а и Ь определяется следующимточки А откладывается вектор а, пусть В конецобразоl\·1 . От произвольной�этого---4вектора, т.е. а = АВ. Затем от точки В откладывается вектор Ъ , пустьЬ == ВС. Суммой а + Ь векторов а и Ь называется вектор, порожденныйнаправленным отрезком АС .Это правило сложения векторов называется правилом треуголъника.Очевидно, что этот же вектор а + Ь для неколлинеарных векторов а иЬ может быть получен как диагональ параллелограмма, построенного навекторах а и Ь, т.е.
если в параллелограммеа == АВ, Ь AD, то,----+ABCD :==1 19§ 1 3 . Геометри ческие векторы---tа + Ь = АС.лелограмма.Это правило сложения векторов называется п]Jавилом па]Jал-Т е о р е м а 13.4. Опершци.я сложения векторов обладает следую-щими свойствами:1) а + Ь == Ь + а, V a , Ь (свойство коммутативности);2) ( а + Ъ) + с == а + ( Ъ + с ) , V a , Ь, с (свойство ассо'Циативности) ;3) существует вектор О, назъtваемЪtй нулевъtм, такой, 'Что а + О =О + а = а, V a (свойство существования нейтралъного элемента) ;4) дл.я любого вектора а существует вектор - а, назЪtваемый противоположнъtм к вектору а , такой, 'Что а + ( - а) == О (свойство существования симметри'Чного элемента) .Очевидно, нулевым вектором О является класс эквивалентностинуле--+вых направленных ---+отрезков, а противоположным к вектору а = АВ является вектор - а = ВА.Свойство ассоциативности позволяет обобщить правило треугольникадля сложения любого числа векторов: суl\1 мой векторов а 1 , а2 , .
. . , an будет вектор, соединяющий начало и конец ломаной линии, последовательными звеньями которой служат слагаемые векторы ai , а2 , . . . , an . Отсюда, вчастности, следует, что ai + а2 + . . . + an = О тогда и только тогда, когдаэта ломаная замыкается.Разностъю векторов Ь и а называется вектор х такой, что а + х = Ь .О б о з н а ч е н и е : Ь - а.Т е о р е м а 13. 5 . Дл.я любЪtх векторов а и Ь существует, и притом единственна.я, IJаЗНостъ Ь - а.Очевидно, Ъ- а = Ъ + ( - а) . Правило параллелограмма сложения неколлинеарных векторов а и Ь позволяет построить и разность Ъ - а как другуюдиагональпараллелограмма,т.е.
если в параллелограмме АБС D: а = АВ,�---+Ь == АD, то Ъ - a == BD.Умножение вектора на число. Произведением вектора а на вещественное 'Число а называется вектор Ь, удовлетворяющий следующим условиям:11 ) 1 b l ==и, в случае Ь -=/; О ,2) Ь Т Т а , если а > О, и Ъ Т l а , если а < О .О б о з н а ч е н и е : Ь == а а. Очевидно, что О а = а О = О , V a , V Е IR .Т е о р е м а 1 3.6. Опе]Jа'Ци.я умножения векто]Jа на 'Число обладаетследующими свойствами: дл.я любъtх векторов а, Ь и 'Чисел а, {3 Е IR1) 1 · а = а;2) ( а{З) а == а ({З а) ;3) (а + {3) а == а а + {3 а (свойство дистрибутивности умножения на�l a l al·a'Число относителъно слоа1еени.я 'Чисел);4) а( а + Ь) = а а + а Ь (свойство дистрибутивности умножения на'Число относителъно сложени.я векторов).Радиус-вектор точки. Пусть в пространстве (на плоскости или напрямой) зафиксирована точка О.
Тогда между точками пространства (плоскости или прямой) и векторами можно установить взаимно однозначное co---tответствие, поставив в соответствие каждой точке А вектор А == ОА. Вектор А называется радиус- вектором точки А относительно полюса О. Тотфакт, что точка А имеет радиус-вектор г , обозначается символомrrA(r) .Глава IV. Введение в теорию линейных пространств12 0Говорят, что точка М # В делит ненулевой отрезок [ АВ] в отношении Л, если АМ = ЛМВ.
О б о з н а ч е н и е : (АВМ) = Л.Заметим, что если точка М делит отрезок [АВ] в отношении Л, то оналежит на прямой АВ и Л # - 1 .Т е о р е м а 13. 7. Пустъ А ( r 1 ) , В ( r 2 ) , М ( r3 ) - то'Чки простIJаНСтва и (АВМ) = Л . Тогда( 13. 1)rз =--+---+П р и м е р 13. 1 . В треугольнике АБС точка D делит отрезок. СВ в отношении 2, медиана СМ пересекается с прямой AD в точке О. В какомотношении точка О делит отрезок СМ ?-----+----+Р е ш е н и е. ОбозначимСМ=ВМ=а,BD=Ь.ТогдаAD=-2а+Ъ,----+-----+----+-3Ь + а. ПустьАО = aAD и ОМ = {ЗСМ. Из треугольника АМО имеем:�----+ОМ + а + АО = О, т.е. /З( а - 3 Ъ) + а + а(-2 а + Ъ ) = О или (/3 + 1 2а) а + (а - 3/3) Ь = О .
Отсюда и из линейной независимости векторов а и Ьследует, что 2а - {3 = 1 , а - 3 /3 = О. Следовательно, а = 3/5, f3 = 1 /5. Так как----+----+---+----+--+----+ОМ = {ЗСМ, то СО = ( 1 - /3)С М. Это означает, что СО = ( ( 1 - f3)//3)0NI .Таким образом, (СМО) = ( 1 - /3) //3 = 4 . •--+---+----+ЗАД АЧИа и Ь, если:4) l a + bl = l a l + l bl;5) \ а - b l = l a l + l bl ;а_ Ь6)1 3 . 1 . Что можно сказать о векторахbl = l a - bl ;bl = 1 al - 1 Ь I;а + Ь = Л( а - Ь ) ;1) l a +2) 1 а +3)т;� - тьr ·?а, Ь а + Ьа Ь,1 3 . 2 .
Неколлинеарные векторыиотложены отодной точки. Что можно сказать о векторах иесли векторделит угол меж,цу ними пополам?1 3 . 3 . В треугольнике АБС проведена медиана АМ. Выра���зить вектор АМ через векторы АБ и АС.���1 3 .4. Доказать, что векторы АМ, БN, СК , совпадающие смедианами треугольника АБС , могут служить сторонами треугольника.1 3 . 5 .
Точки Mi , i1 , 6 , являются серединами последовательных сторон выпуклого шестиугольника А 1 А 2 АзА4А 5 Ав . Доказать, что векторы М1 М2 , Мз М4 , М5 Мв могут служить сторонами треугольника.1 3 . 6 . Пусть Е и F середины сторон АБ и CD четырехугольника ABCD , не являющегося параллелограммом ; К , L , Ма+ Ь=-121§ 1 3.
Геометрические векторыи N - середины отрезков AF, СЕ , В F и D Е соответственно.Доказать , что К LM N - параллелограмм .1 3 . 6 . 1 . Точки Е , F, G, Н являются серединами последовательных сторон четырехугольника АБС D . Доказать, что точкапересечения отрезков EG и F Н делит эти отрезки пополам .��1 3 . 7 . Векторы АС = а и BD = Ь служат диагоналями па����раллелограмм а ABCD . Выразить векторы АВ , ВС , CD и DAчерез векторы а и Ь.1 3 .
8 . В трапеции ABCD отношение основания AD к основа��нию ВС равно Л . Полагая АС = а, BD = Ь , выразить через а����и Ь векторы АВ , ВС , CD и DA .1 3 . 9 . Точки Е и F служат серединами сторон АВ и CD четы���BC + AD. Вывестирехугольника ABCD . Доказать, что EF =2отсюда теорему о средней линии трапеции.1 3 . 10. Точки Е и F служат серединами диагоналей АС и BDчетырехугольника ABCD . Доказать, чтоЕР =��лв + сD2�=�АD + св2_1 3 . 1 1 . Точки К и L служат серединами сторон ВС и CD��параллелограмма ABCD .
Выразить векторы ВС и CD через��векторы АК и AL .1 3 . 1 2 . Доказать, что медианы произвольного треугольникапересекаются в одной точке, которая делит каждую из них вотношении 2 : 1 , считая от вершины.1 3 . 1 2 . 1 . В треугольнике АБС точка D делит отрезок СВ вотношении 2, медиана СМ пересекается с прямой AD в точке О .В каком отношении точка О делит отрезок AD ?1 3. 1 2 .
2 . Н а сторонах А В , ВС и АС треугольника АБС взяты соответственно точки С1 , A i и В 1 такие, что (АВС1 ) =(ВСА 1 ) = ( САВ 1 ) = 2. Отрезок АА 1 пересекается с отрезкамиВВ 1 и СС1 соответственно в точках М и N. Найти отношениеА М : MN : NA 1 .��1 3 . 1 3 . Векторы А В = р и AF = q служат двумя смежн ыми сторонами правильного шестиугольника ABCDEF. Вы����рази ть через р и q векторы ВС , CD , DE, EF.Глава IV.
Введение в теорию линейных пространств1221 3. 14. Доказать, что сумм а векторов, идущих из центра правильного многоугольника к его вершинам , равна О.1 3 . 1 5 . Доказать, что вектор, идущий из произвольной точки плоскости в центр правильного многоугольника, есть среднееарифметическое векторов , идущих из этой точки к вершинаммногоугольника.1 3 . 16. В треугольнике найти точку, для которой сумма векторов, идущих из этой точки к вершинам треугольника, равнаО.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
