Том 1 (1113042), страница 18
Текст из файла (страница 18)
9 . На множестве упорядоченных пар вещественных чисел2IR. задано бинарное отношение R по правилу : ( х1 , x2 ) R( y 1 , У2 ) ,если существует биективное отображение f : IR � IR такое, что{ У2 == ff (x(х2i )) ,.YIДоказать, что бинарное отношение R являетсяотношением эквивалентности. Найти фактор-множество IR. 2 / R .1 2 . 10 . На множестве квадратных матриц IR.
n x n порядка пз адано бинарное отношение R по одному из следующих правил:ARB , еслиа) матрицы А и В подобны;б) матрица А перестановочна с матрицей В .1 14Глава III. Множества и отображенияДля каждого из этих правил выяснить, является ли бинарноеотношение R рефлексивным, симметричным , транзитивным?1 2 . 1 1 . На множестве матриц JR m x n задано бинарное отношение R по одному из следующих правил: A R B , еслиа) существует невырожденная матрица S Е JR m x m такая , чтоВ = SA ;б) существует невырожденная матрица Т Е JR n x n такая, чтоВ = АТ ;в) существуют невырожденные матрицы S Е JR m x m и Т Е]Rn x n такие, что В = SAT .Доказать, что каждое из этих правил задает отношение эквивалентности.
Найти фактор-множество JRm x n /R.1 2 . 1 2 . Пусть f - отображение множества Х во множествоУ. Доказать, что отношение R , определенное правилом: x 1 Rx 2 ,если f(x 1 ) = f(x 2 ) , является отношением эквивалентности намножестве Х . Найти фактор- множество X/R.1 2 .
1 3 . Пусть на плоскости з адана прямая l и пусть R - бинарное отношение, связывающее две точки М1 и М2 по одномуиз следующих правил : М1 RM2 , еслиа) либо точки М1 и М2 совпадают, либо прямая М1 М2 параллельна или совпадает с прямой l ;б) отрезок [М1 М2] либо не пересекает прямую l , либо лежитна ней.Доказать, что в каждом случае R - отношение эквивалентности.Что представляют собой фактор-множества по этим отношениямэквивалентности?1 2 .
14 . Пусть р Е N, р > 1 . Два целых числа m и п называютсясравнимыми по модулю р ( m = п( mod р) ) , если при делении нар они дают одинаковые остатки. Пусть на множестве Z целыхчисел введено бинарное отношение по правилу Е : m En, если mn (n1od p) . Доказать , что Е - отношение эквивалентности. Найтифактор-множество Z/E .1 2 . 1 5 . Н а декартовом произведении множеств Z х N введенобинарное отношение по правилу: (р, n)R(q, т) , если рт = qn.Доказать, что оно является отношением эквивалентности. Найтифактор-множество ( Z х N) /R.1 2 .
1 6 . На множестве дифференцируемых на прямой JR функций V задано бинарное отношение R по правилу: f ( х ) Rg( х ) , еслиf' (x) = g' (x) , Vx Е JR . Доказать , что бинарное отношение R яв_§ 1 2 . Эквивалентность и алгебраи ческие законы115ляется отношением эквивалентности. Найти фактор-множествоD/R.1 2 . 17. На множестве всех непустых подмножеств непустогомножества Х задано бинарное отношение R по одному из сле,цующих правил: ERF, еслиа) Е n F =/= 0 ; б) Е с F.Для каждого из этих правил выяснить , является ли бинарноеотношение R рефлексивным , симметричным , транзитивным?1 2 .
1 8 . На множестве всех подмножеств непустого конечногомножества Х задано бинарное отношение R по правилу: ERF,если существует биективное отображение f : Е � F. Доказать,что отношение R является отношением эквивалентности и найтисоответствующее фактор-множество.1 2 . 1 9 . Для каждого из следующих множеств проверить, являются ли указанные операции алгебраическими. Если да, товыяснить , обладают ли они свойствами (К) коммутативности,(А) ассоциативности, (N) наличия нейтрального элемента, (S) существования симметричного элемента для каждого элемента множества:1) сложение, вычитание, умножение и деление чисел на множестве IR вещественных чисел;2) сложение, вычитание, умножение и деление чисел на множестве IR \ {О} ненулевых вещественных чисел ;3) сложение и умножение м атриц на множестве всех невырожденных матриц n-го порядка;4) сложение и умножение матриц на множестве невырожденных треугольных матриц (одинакового вида) n-го порядка;[ 2� � ] , гдеЬ Е IR;а Ь]6) умножение матриц на множестве матриц вида [2Ь а 'где а , Ь Е Q, а 2 + Ь2 =/= О ;7) умножение матриц н а множестве матриц вида [ � � ] где5) сложение матриц на множестве матриц видаа,,а, Ь Е IR;8) умножение матриц на множестве матриц видагде а, Ь Е IR , а 2 + Ь2 =/= О;1 16Глава III.
Множества и отображения9) умножение матриц на множестве матриц видагде а , Ь Е IR , а 2 + Ь2 =/= О;[ -� � ] ,10) коммутатор матриц [А , В] = АВ - ВА на множестве квадратных матриц n-го порядка;11) произведение Й ордана матриц А * В = � (АВ + БА) намножестве квадратных матриц n-го порядка;12) групповой коммутатор матриц {А, В } = АВА - � в - 1 намножестве невырожденных квадратных матриц n-го порядка;13) произведение отображений на множестве всех отображений множества Х в Х ;14) симметрическая разность А 6 В = ( А U В) \ (А n В) намножестве всех подмножеств некоторого непустого множестваХ.1 2 . 20. Привести пример алгебраической операции, котораякоммутативна, но не ассоциативна.12 .
2 1 . Привести пример алгебраической операции, котораяне ассоциативна, обладает нейтральным элементом , но симметричный элемент не единствен.1 2 . 2 2 . На множестве всех подмножеств множества Х рассматриваются операции объединения и пересечения множеств.Доказать, что обе операции коммутативны, ассоциативны и каждая из них дистрибутивна относительно другой. Обладают лиэти операции нейтральным элементом и, если да, то для каждого ли подмножества существует симметричный элемент?1 2 . 2 3 . Доказать, что ассоциативная алгебраическая операция на множестве Х обладает обратной операцией тогда и только тогда, когда эта операция имеет нейтральный элемент и длякаждого элемента множества Х существует симметричный.Глава IV .
В в едение в т еорию линейн ы хпространствВ этой главе рассматриваются задачи, относящиеся к первоначальномуопыту изучения линейных пространств. Понятие линейного пространстваподготавливается геометрическими примерами - множествами векторов напрямой, на плоскости и в пространстве. Каждое из обсуждаемых здесь понятий - вещественное линейное пространство, линейная зависимость и рангматрицы, базис и размерность линейного пространства, линейное подпространство и линейное многообразие - :мотивируется как п-мерное обобщениесоответствующих геометрических понятий.Дальнейшее развитие теории линейных пространств будет дано в главехп .§ 13.Геометрические векторыНаправленные отрезки.
Упорядоченная пара точек (А, В) наэывается направленн'ым отрезком с началом в точке А и концом в точке В .О б о�з н а ч е н и е : АВ . Если точки А и В совпадают, то направленный отрезок АВ называется нулев'Ы,М и обозначается символом ()А ·Направленный отрезок АВ называется парал.лелънъtм пр.ямой l ( плоскостиесли либо он нулевой, либо прямая АВ совпадает с прямой l ( соответственно лежит в плоскостилибо прямая АВ параллельна прямой l---t( соответственно плоскости Р) . О б о з н а ч е н и е : А В l l l , АВ 1 1 Р.Направленные отрезки А 1 В1 , А2 В2 , .называются коллинеарнъ�ми ( компланарнЪtми) , если существует прямая ( соответственно плоскость ) ,которой параллелен каждый из этих отрезков.Длиной направленного отрезка АВ называется длина отрезка [АВ] .
Какследует из определения, длина нулевого и только нулевого направленногоотрезка равна нулю. О б о з н а ч е н и е :�Ненулевые направленные отрезки АВ и С D называются одинаково направленнъ�ми ( сонаправленнъ�ми) , если лучи [АВ ) и [CD) имеют одинаковоен аправление, и противоположно направленнъ�ми, если лучи �[АВ ) и [С D)�и�меют �противоположные направления. О б о з н а ч е н и е : АВ T i С D иАВ Т l CD соответственно.Прямая l с заданным на ней направлением называется осъю. Вели'Чинойнаправленного отрезка А В на оси l называется число--t--tР),Р) ,--t�. ., A k Bk---t�I ABj.-�--t( iiВ )={ -1А11AI B,I ,--tАВ Т Т l ,АВ Т l l .--tГлава IV. Введение в теорию линейных пространств118Из определения вытекают следующие факты.1 ° .
Нулевые направленные отрезки, и только они, имеют нулевую величину. �---+2 ° . (А В)=- (ВА) .Л е м м а Ш а л я. При любом расположении то'Чек А, В и С на пр.ямой имеет место равенство---+�(АВ) == (АС) + (СВ ) .Равенство направленных отрезков. Направленные отрезки АВ иназываются равнЪtми, если середины отрезковисовпадают.�Т е о р е м а 1 3. 1 . Направленнъtе отрезки АВ и С равнъt тогда итолъко тогда, когда они имеют:�1) одинаковую длину:---4и, в слу'Чае-:/= О ,�---+2) одинаковое направление: АВ j j�Т е о р е м а 1 3 . 2 . Дл.я любого направленного отрезка АВ и любой---4то'ЧК'l.t С существует, и притом ед'l.t нственна.я, то'Чка така.я, 'Что АВ ==---4---4---+-[A D] [BCJDCD.---+---+I AB II ABI I C D I==CD .D�CD .Т е о р е м а 1 3 .
3 . Отношение равенства направлеНН'Ьl,Х отрезков .являете.я отношен'l.tем эквивалентности на множестве всех направленн'Ьlхотрезков.Свободный вектор. Класс эквивалентности направленных отрезковназывается свободнЪtм вектором или просто вектором. Векторы---4обозначаютстрочными латинскими буквами а , Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
