Том 1 (1113042), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Нулевой вектор обозначают также символом о .Линейной комбиншцией векторов ai , а2 , . . . , a k линейного пространствас коэффициентами а 1 , а 2 , . . . , й k Е IR называется векторхЕа 1 а 1 + а 2 а 2 + . . . + й k ak .Разностъю векторов Ь и а линейного пространства V называется векторV такой, что а + х = Ь. О б о з н а ч е н и е : Ь а.-Большинство задач этой книги сформулировано для следующих классических примеров линейных пространств.П р и м е р 14. 1 .
Г е о м е т р и ч е с к и е п р о с т р а н с т в а V1 , V2 , Vз . :tvlножества V1 , V2 , Vз всех векторов на прямой, на плоскости и в пространствесоответственно образуют вещественные линейные пространства относительно стандартных операций сложения векторов и умножения вектора на действительное число. Это следует из теорем 13.4 и 13.6, и из того, что каждоеиз этих множеств замкнуто относительно обеих операций, содержит нулевойвектор О и противоположный вектор - а к любому своему вектору а.Линейные пространства V1 , V2 , Vз будем называть геометри'Ческ1шипространствамu.Для изображения геометрических пространств условимся все векторыоткладывать от одной фиксированной точки О на прямой (на плоскости ив пространстве соответственно) .
При таком соглашении каждый свободныйвектор будет однозначно определен своим концом. В этом смысле мы будеl\I,говоря о свободном векторе, указывать только его конец.П р и м е р 14.2. П р о с т р а н с т в о в е щ е с т в е н н ы х :м а т р и ц IRm x n .Как следует из теорем 1 . 1 и 1 .2, множество IRm x n всех вещественных матрицразмера m х п является вещественным линейныl\,1 пространством.П р и м е р 14.3.
А р и ф м е т и ч е с к о е (к о о р д и н а т н о е) п р о с т р а нс т в о IR n . Пусть IR n множество всевозможных упорядоченных наборовп действительных чисел, называемых арифмети-ч,ескимu векто]Jамu (илип-мер?-1'Ьtми векто]Jами) . Если арифметические векторы записывать в видеа ( a i ' . .
' ап ) ' тоIR n == { а == ( a 1 , . . . , a n ) a Е IR , i = 1 , п } .Два арифметических вектора а = ( а1 , . . . , a n ) и Ь = (Ь 1 , . . . , Ьп ) называются равнъ�ми, если ai = i = 1 , п.Операции над арифметическими векторами вводятся следующим образоl\1:а + Ь (а 1 + Ь 1 , . . .
, ап + Ьп ) , аа = ( аа 1 , . . . , aa n ) , а Е IR.-=.libi ,=§ 1 4 . Вещественное линейное пространство1 27Нетрудно проверить, что R n - вещественное линейное пространство относительно введенных операций.П р и м е р 1 4 .4. П р о с т р а н с т в а м н о г о ч л е н о в. Мн,ого-член,ом п-йстепен,и от одной переменной t с вещественными коэффициентами называется выражение вида J ( t ) R== ао + a i t + a2 t 2 + · · · + an tn , где ai Е R , i = О, п,причем a n -=/; О. Число О Е по определению считается многочленом с нулевыми коэффициентами и называется н,улевъtм мн,ого'ЧЛе'Ном. Степень нулевого многочлена не определена.Два многочлена f( t ) == L�= O ak t k и g ( t) = 2:;;1= 0 bk t k называются ]Jав'Н'Ьtми, если п = m и a k b k , k == О , п.Суммой многочленов J ( t ) = L� = O ak t k и g ( t ) == 2:;;1= 0 b k t k н азываетсямногочлен h ( t ) == L k >o ( ak + b k ) t k , в котором недостающие коэффициенты( ak или b k ) заменяются нулями.
о б о з н а ч е н и е : f ( t ) + g ( t ) .Произведен,ием многочлена J(t) = L�= O ak t k н,а -число а Е R называетсямногочлен o. f( t ) = L:� =o a:ak t k .Нетрудно проверить, что множества Мп всех многочленов степени невыше п и ыножество М00 многочленов всех степеней, пополненные нулевыммногочленом, образуют вещественные линейные пространства.Следующие свойства линейных пространств являются элементарнымиследствиями из аксиом.=В1 ° . лин,ейн,ом nростран,стве существует един,стве'Н'Н'Ьlй н,улевой вектор.2° .
Для любого вектора лин,ейн,ого пространства существует единственнъtй противоположнъtй вектор.3° . линейн,ом пространстве справедлнвъt IJавенства: Оа = () , \/а Е V иОа = () , \/а Е R .4° .линейном прост]Jанстве из равенства аа = () следует, -что либоа = О , либо а == () .5° . Для любого вектора а линейного пространства противоположнъtйему вектор может бЪtтъ полу-чен как произ ведею.�е: - а = ( - 1 ) а .6° . Д11-я любой паръ� векторов а и Ь линейного прост]Jанства существует, и притом един,ственная, разн,остъ а - Ь, при-чем а - Ь = а + ( -Ь) .ВВЗАД АЧИ14. 1 . Для каждого из следующих множеств векторов на плоскости определить, является ли оно линейным пространством относительно стандартных операций сложения векторов и умножения вектора на число ( если не оговорено противное, то предполагается , что все векторы отложены от фиксированной точки Оплоскости, являющейся началом прямоугольной системы координат ) .1 .
Все векторы , концы которых лежат на данной прямой.2 . Все векторы , начала и концы которых лежат на даннойпрямой .3 . Все векторы , концы которых не лежат на данной прямой.1 28Глава IV. Введение в теорию линейных пространств4. Все векторы , концы которых лежат:а) в первой четверти системы координат;б) в первой или третьей четверти .5 . Все векторы, которые образуют с данным ненулевым вектором а заданный угол ер , О < ер < 1Г .14 . 2 .
Определить, является ли вещественным линейным пространством множествоа) Z целых чисел,б) Q рациональных чисел,в) IR действительных чиселотносительно стандартных операций сложения и умножения чисел.14. 3. На множестве IR + положительных действительных чисел определены сле,цующие операции:а) ' 'сложение" х Е9 у = х у (т.е. обычное умножение чисел х иу) ;б) "умножение на действительное число" а 0 х = х 0 (т. е. возведение числа х в степень а) .Показать, что множество IR+ относительно указанных операций образует вещественное линейное пространство.14.4.
Пусть i 2 множество всех упорядоченных пар действительных чисел х = ( а 1 , а 2 ) с операциями:а) если х = (а 1 , а 2 ) , у = ((31 , /32 ) , то х + у = ( а 1 + /31 , а 2 + f32 ) ;б) если Л Е IR , то Л х = (Л а 1 , а 2 ) .Является ли i 2 вещественным линейным пространством?14. 5 . Для каждого из сле,цующих множеств векторов арифметического пространства IR.n определить, является ли оно линейным пространством относительно стандартных операций сложения и умножения на число в IR.
n .1 . Все векторы из IR. n , компоненты которых удовлетворяютусловию:а) х1 + Х2 + . . . + Хп = О;б) Х1 + х2 + . . . + Х п = 1 .2 . Все векторы из IR.n , у которых:а) первая и последняя компоненты равны между собой;б) все компоненты с четными номерами равны нулю.3. Все векторы из IR. n , которые являются линейными комбинациями данной системы векторов a l , а 2 , . . . , a k из IR.n .14. 6 .
Пусть S множество всех бесконечных последовательностей действительных чисел х = (а 1 , а 2 , . . . , йп , . . . ) , в котором--§ 1 4 . Вещественное линейное пространств о1 29введены следующие операции:а) если х = ( а 1 , а 2 , . . . , й п , . . . ) ,у = ( (31 , (32 , . . . , fЗп , .
. . ) , то х +у = (а 1 + f31 , а2 + f32 , . · · , йп + fЗп , . . ) ;·6) если Л Е IR, то Лх = (Ла 1 , Ла 2 , . . . , Лап , · · · ) ·Для каждого из сле,цующих подмножеств множества S определить, является ли оно вещественным линейным пространством относительно указанных операций.1 . Все множество S.2 . Все последовательности из S, элементы которых удовлетворяют соотношению a k = a k - 1 + йk - 2 , k = 3 , 4, . . . .3.
Все последовательности из S , все элементы которых, начиная с некоторого номера, равны нулю.4. Все последовательности из S , которые содержат бесконечно много совпадающих элементов.1 4 . 7. Для каждого из следующих множеств квадратных матриц n-го порядка определить, является ли оно линейным пространством относительно стандартных операций сложения матриц и умножения матрицы на число.1 . Множество всех матриц А, для которых:в) Ат = А ;а) tr А = О ;6) tr А = 1;г) Ат = - А .2 . Множество всех невырожденных матриц из JR.n x n , пополненное нулевой матрицей.3. Множество всех верхних ступенчатых матриц из IR.n x n .4.
Множество всех верхних треугольных матриц из IR.nx n .14.8. Для каждого из следующих множеств многочлено в отодной переменной с вещественными коэффициентами определить, является ли оно линейным пространством относительностандартных операций сложения многочленов и умножения многочлена на число.1 . Множество всех многочленов данной степени.2 . Множество всех многочленов f (t) , удовлетворяющих условиям :д ) f' ( O ) = О ;а) / ( 1 ) = О ;е) f ' ( 1 ) = f ( 1 ) ;6) f ( 1 ) = 1;в) f (O) + 2/( 1) = О ;ж) f' ( O ) - f (O) = J ' ( l ) - / ( 1 ) .г) f ( O ) + 2/ ( 1 ) = 1 ;3. Множество всех многочленов f ( t) , для которых t = 1 простой корень.5-42 7 1Глава IV.
Введение в теорию линейных пространств13014. 9 . Для каждого из следующих множеств функций, определенных на заданном конечном отрезке [а, Ь] , выяснить, являетсяли оно линейным пространством относительно обычных операций сложения функций и умножения функции на число.1 .
Множество всех функций, непрерывных на [ а, Ь] .2. Множество всех функций, дифференцируемых на (а, Ь) .3. Множество всех функций, интегрируемых по Риману на[ а, Ь] .4. Множество всех функций, ограниченных на [а, Ь] .5 . Множество функций таких, что su p l f(x) I < 1.а� х �Ь6. Множество всех функций, неотрицательных на [ а, Ь] .Множество функций таких, что f (а) == f (Ь) .8. Множество функций таких, что f ' ( (a + Ь) / 2) = 1.9 . Множество функций таких, что lin1 f ( х ) = оо .х �а + О1 0. Множество функций , монотонно возрастающих на [а, Ь] .1 1 .
Множество функций, монотонных на [а, Ь] .12. Множество функций, принимающих конечное число значений на [ а, Ь] .13 . Множество функций, обращающихся в тождественныйнуль в некоторых окрестностях точек а и Ь.14. 10. Найти ошибку в сле,цующем "доказательстве" того, чтоаксиома 1 а == а \:/а Е V вытекает из других аксиом линейногопространства: "Пусть а = а Ь, тогда 1 · а = 1 (аЬ) = (1 · а) Ь == а Ь ==7.·а" .14. 1 1 .
Привести пример множества М , для которого выполнены все аксиомы линейного пространства, кроме аксиомы: 1 · а =а \:/а Е М. В чем состоит значение этой аксиомы в определениилинейного пространства?14. 1 2 . Доказать , что коммутативность сложения вектороввытекает из остальных аксиом линейного пространства.§15.Линейная зависи м остьЛинейная комбинация векторов называется тривиалъной, если все еекоэффициенты равны нулю, и нетривиалъной, если среди коэффициентовэтой комбинации хотя бы один отличен от нуля.Система векторов a i , а 2 , . . .
, ak называется линейно зав�tсимой, еслисуществует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору, т.е. если существуют числа а1 , а2 , . . . , O. k , одновременно не131§ 1 5 . Линейная зависимостьравные нулю, такие, что( 15 . 1 )и л1тейно независимой, если нулевому вектору равна только тривиальнаялинейная комбинация этих векторов, т.е. если из равенства ( 15.
1) следует,что а 1 = а 2 = . . . = й k = О.Т е о р е м а 15.1. Система из одного векто]Jа линейно зависима тогда и толъко тогда, когда этот вектор нулевой.Т е о р е м а 15.2. Система векторов а 1 , а2 , . . . , a k , где k > 1 , линейно зависима тогда и толъко тогда, когда хот.я бЪt один из векторов этойсистемЪt линейно вЪt'[ЮЖаетс.я 'Через другие.Т е о р е м а 15.3. Если подсисте.ма систем'Ы векторов линейно зaв'l.tc'l.tмa, то и вс.я система линейно зависима.Т е о р е м а 1 5.4. Любая подсисте.ма линейно независимой системъtвекторов линейно независима.Т е о р е м а 15.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
