Том 1 (1113042), страница 23
Текст из файла (страница 23)
35 . Доказать, что в пространстве функций одной перемен ной векторы f1 (x) , . . . , fп (х) линейно независимы тогда итоль ко тогда, когда существуют числа a l , . . , а п Е IR такие, что...•.•-.det ( fi ( aj ) ) =!= О .1 5 . 36. Доказать, что в пространстве п - 1 раз дифференцир уемых функций одной переменной векторы f1 (x) , . . . , fп (х)л ин ейно независимы, если существует такое число а Е IR, чтоих вр онскиан det ( fi(j - l ) ( а ) ) отличен от нуля. Верно ли обратноеу тверждени е?1 36§ 16 .Глава IV. Введение в теорию линейных пространствРанг матри цыРангом ненулевой матрицы называется максимальный порядок ненулевых миноров этой матрицы.
Ранг нулевой матрицы по определению считается равным нулю. О б о з н а чmе xнпи е : rg A.Очевидно, что если А Е R, то rg А < min ( m , п ) .Матрица, ранг которой равен числу строк (столбцов) , называется матрu'Цей полного ранга по �ислу строк (столб'Цов) .Пусть rg А = r > О. Любой ненулевой минор r-го порядка этой матрицыназывается базиснъtм минором, а строки и столбцы, в которых расположенбазисный минор, базиснъtми строками и столб'Цами.Т е о р е м а 16. 1 ( о базисном миноре ) . Базисние строки (столб'ЦЪL) линейно независимъt. Люба.я строка (столбе'Ц) матри'ЦЪL является линейной комбина'Цией ее базиснъtх строк (столб'Цов) .С л е д с т в и е 1 ( необходимое и достаточное у словие равенстванулю определителя ) .
Определителъ матри'Ц'Ьt '{ХLвен нулю тогда и толъко тогда, когда кака.я-либо ее строка (столбе'Ц) .являете.я линейной комб1tна'Цией других ее строк (столб'Цов) .Т е о р е м а 16.2. Ecл'l.t в лtтейном простIJанстве б6лъша.я система векторов линейно в'ЬlIJаЖаетс.я 'Через менъшую, rno болъша.я с'l.t стемалинейно зависима.Т е о р е м а 16.3. Ранг матри'Ц'Ьt равен максималъному -ч,ис.лу ее линейно независи.м,Ъtх строк (столб'Цов) .Сл е д с т в и е 2. rg A = rg Aт .Т е о р е м а 16.4. Если все строки (столб'Цы) матри'Ц'Ьt А линейновъtра;жаютс.я 'Через строки (столб'Ци) матри'ЦЪL В, то rg А < rg В.Т е о р е м а 16.5 . Ранг произведени.я матри'Ц н е превосходит JХLНговсомножителей.Т е о р е м а 16.6.
Ранг матри'Ц'Ьt не изменяется при умножении еена невъtрожденную матрtt'Цу.Т е о р е м а 16. 7. Элементарнъtе преоб]Jазовшн.ия матри'Ц'Ьt не изменяют ее ранга.Т е о р е м а 16.8. Ранг матри'Ц'ЬL не измените.я, если из систем'Ьlее строк (столбцов) въt'Черкнутъ или к ней приписатъ строку (соответственно столбе'Ц) , которая .являете.я линейной комбина'Цией других строк(соответственно столб'Цов) .-Метод Гаусса вычисления ранга. Теоретическую основу этого метода для вычисления ранга матрицы (см . §7) составляют следующие факты:- ранг верхней (нижней) трапециевидной матрицы равен количеству еененулевых строк (соответственно столбцов) ;- элементарные преобразования матрицы не изменяют ее ранга;- любая :матрица элементарными преобразованиями строк и столбцовприводится к трапециевидной форме .:метод Гаусса вычисления ранга матрицы состоит в приведении этойматрицы элементарными преобразованиями к верхней (нижней) трапециевидной форме и подсчете ее ненулевых строк (столбцов) .Как следует из теоремы 3 .
1 , элементарными преобразованиями только строк (столбцов) матрицы ее можно привести к верхней (соответственнонижней) ступенчатой форме. Так как ранг верхней (нижней) ступенчатойматрицы также равен количеству ее ненулевых строк (соответственно столfrцов) , то часто в методе Гаусса вычисления ранга матр1·-цу приводят лишь к1 37§ 1 6. Ранг матрицыступенчатой форме. m x nМатрицы А, В Е Rназываются эквивалентнъ�ми, если существуютневырожденные матрицы Р и Q такие, что выполнено равенство А = PBQ.О б о з н а ч е н и е : А В.Т е о р е м а 16.9. Эквивалентностъ матри'Цявляется отношениемmхnrvэквивалентности на множестве матри'Ц R.Т е о р е м а 16. 10.
Любаяненулевая матри'Ца АmxnRквивалентнаматри'ЦеIrвидаЕэ1 ооо 1оо1оЕRm x npm1 r• 1rооо(здесъ все эле.м,ентъt, кроме nервъtх r диагоналън'Ьlх эле.м,ентов, IJaвHъtx едини'Це, '{ХJ,вНъt нулю) .mxnТ е о р е м а 16. 1 1 . Две матрU'Ц'Ьt А, В Е Rэквивалентнъt тогдаи толъко тогда, когда их ранг1t совпадают.[7П р и м е р 1 6. 1 . Найти ранг матрицы13 2А = 21 43 35 о11 9 4 3Р е ш е н и е.
Для вычисления rg А воспользуемся методом Гаусса:1 4 3 1 2вычтем из 4-й строки 1-юпереставим23 5О3строку, из 3-й -" утроенА -+ 1-ю и 3-ю32Оную 1-ю, а из 2-и - удвостроки1 9433енную 2-ю строкук ь-� - �;;-� -� - �в�е��;� 2� ; ��т;:_-+О - 10 -2 -2 -6О О О 2 -4 ·ку, а к 4-й строке приО О О О ОО 5 1 2 1бавим 2-ю строкуВ последней верхней ступенчатой матрице - три ненулевые строки, иследовательно, rg А = 3.
•П р и м е р 16.2. Найти ранг матрицы А в зависимости от значения параметра ..\:[} -+{] {71} -+-i ]---+-[ 6 � -� ] {} [6----+-[t } l]·}} [ Л Л ---+- {-+ {Л ]Л} ---+- [ 6 �[ 6 � Л Л2 ] ---+- {\Л) Л) ]A=Р е ш е н и е. Воспользуемся методомпереставим1 1А1-ю и 3-ю1 1строки1 1---+-,\,\1 1О 1- 1-,\�;рибавим к 3и строке 2-юГаусса:вычтем из 2-й строки 1-юстроку, а из 3-й - 1-ю строку, умноженную наО,\О1(2 +1(1 --+= Ai .Глава IV. Введение в теорию линейных пространств1 38Если Л = 1 , тои rg А == rg А1 == 1 .Если Л -:/= 1 , то вторую и третью строки матрицы А 1 можно разделитьна Л - 1 , так что[6 �]!1О О -Л - 2Ранг последней матрицы равен 2, если Л == -2, и равен 3, если Л i= -2.Таким образом, rg А 1 при Л == 1, rg А == 2 при Л == -2 и rg А == 3 привсех остальных значениях= Л. •П р и м е р 16.3. Установить, является ли следующая система векторовлинейно зависимой:ai == ( 1 , 0, 2, 1 , 3, 7) ,а 2 == (2, 1 , 0, 3, 1 , 1 ) ,аз = ( 1 , 2 , 3, О , 2, 4) ,а4 == (5 , 6, 4, 5, 3 , 3) .Р е ш е н и е.
Составим матрицу, строками которой являются данные векторы:2 1 33 11А232=6 4 5 3В силу теоремы о базисном миноре строки матрицы А , а следовательно,и заданные векторы, будут линейно зависимы тогда и только тогда, когдаранг матрицы А меньше числа ее строк, т.е. rg А < 4.Для вычисления ранга А воспользуемся методом Гаусса:А1--+оо[! оА -+{вычтем из 2-й строкиудвоенную 1-ю строку, из3-й строки - 1-ю строку, аиз 4-й строки - 1-ю строку, умноженную на 5[ 6оо � J оt} [-+-�]]-1�2 1 - 1 - 1 -36 -6- 12 -32-+1 О 2 1 37вычтем из 3-й строкиО 1 -4 1 -5 - 13удвоенную 2-ю строку, аО О 9 - 3 9 23из 4-й - 2-ю строку, умноО О 18 -6 18 46женную на 6Ранг последней матрицы, очевидно, равен трем.
Таким образом, векторы ai , а 2 , аз , а4 линейно зависимы. •-+-+ЗАД АЧИ16. 1 . И звестно , что в матрице А существует ненулевой минор r-го порядка, а все миноры ( r + 1 )-го порядка равны нулю.Доказать, что rg А = r .1 39§ 1 6. Ранг матрицы16. 2 . Известно, что в матрице А Е IR.m x n все миноры порядкаr < 1nin ( m , п ) , кроме одного, равны нулю. Доказать, что rg А = r .16. 3 . Известно, что в м атрице А Е IR. m xn не более, чем r ,миноров порядка r < min ( m , п ) отличны от нуля. Доказать, чтоrg A = r .[[]Вычислить ранг сле,цующих матриц.2 -1 4 31 -3 2 о 116. 5 .16.4.1 4 6 -1 -13 - 2 о 4 -9-32 о 1 4388 1 661 187 40 15 2 3 5-11 53 -998557 - 23 . 16.7.16.6.6 - 12 3 -7 -873 1 233 - 1303 47-37 9 4 153 о о -2 2о-47 3 3 -1 643 о о -2 о16.8.о -5 о 3 -6 о2 1 о3 оо92133 - 14 - 2 1148- 12 - 6 - 1 2 - 1216.
9 .7666 -3 -9618 -4 -3518 1 537 259 48 1 40719 133 247 20925 1 75 325 2755.]Вычислить ранг следующих матриц в зависимости от значения параметра Л.3 1 1 4л 4. 16. 11.16 . 10 .171 10 - 6 12 2 4 3111 л 11-Л 1-1 -1 - л -1-4 2 л-116. 1 2 .. 16. 1 3 .22-л2л -1 -22-2-2 - 2 - л-24 6 1л 1 -1 -11 - Л 1 - 2Л1 л -1 -116 . 14.. 16. 15.++1 1 -Л - 11 л 1 3Л1 1 -1 -Л[�i� �[]-� -l ;].140Глава IV. Введение в теорию линейных пространств16. 16. Доказать, что матрица1А=a i ау1 а2 а �2аkв которой k < п , является матрицей полного ранга тогда_ и только тогда, когда числа ai , а2 , . .
. , a k различны.16. 1 7 . Доказать, что в любых k линейно независимых строках (столбцах) матрицы найдется ненулевой минор порядка k.16. 1 8 . В матрице ранга r взяты r линейно независимых строк.Являются ли они базисными строками?1 6 . 1 9 . Минор Mk + l (k + 1 )-го порядка называется ока й.мл.я ющ и.м минор Mk k-го порядка, если Mk получается из Mk + lвычеркиванием одной строки и одного столбца. Доказать, чтоесли в матрице А существует ненулевой минор Mr r-го порядка,а все окаймляющие его миноры равны нулю, то rg А = r ( .методока й.мления .миноров ) .16.20. Матрица А = (aij ) Е Rm x n называется .матрице й сдиагоналъны.м преобладанием, еслиla11 I >1пL laij l ,i =li :f.:jj = 1 , m.Доказать, что:а) матрица с диагональным преобладанием является матрицей полного ранга;б) определитель квадратной матрицы с диагональным преоб ладанием отличен от нуля.1 6 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
