Том 1 (1113042), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Система векторов а 1 , а2 , . . . , ak линейно независима тогда и толъко тогда, когда любой вектор, .явл.яющийс.я линейнойкомбина'Цией этих векторов, имеет единственное разложение по этимвекто]Jам.Т е о р е м а 15.6. Если система векторов ai , а 2 , , ak линейно независима, а систе.ма ai , а2 , . . . , a k , Ь линейно зависима, то вектор Ь линейновЪtражается -ч,ерез векrпоръt ai , а 2 , . . . , a k .П р и м е р 1 5. 1 .
А р Rи nф м е т и ч е с к о е п р о с т р а н с т в о Rn . В арифме•тическом пространстве..единичные векторыei = ( 1 , 0, О, . . . , О) ,е 2 == (О, 1 , О , . . . , О) ,еп==( 1 5.2)(О, О, О, . . . , 1 )линейно независимы. Это следует из того, что линейная комбинация этихвекторов с коэффициентами а 1 , а 2 , . .
. , й п представляет собой вектор ( а 1 , а 2 ,. . . , й п ) , который равен нулевому вектору () = (О, . . . , О) тогда и только тогда,когда йi = О, i = 1 , п.xП р и м еrп.рx n1 5.2. П р о с т р а н с т в о м а т р и ц R m n . Матричные едини(i == 1 , т , j == 1 , п) (см. задачу 1 . 14) линейно независимы.цы Eij Е RЭто следует из того, что линейная комбинация этих матриц с коэффициенrп. хтами aij ( i = 1 , т , j = 1 , п) представляет собой матрицу А = ( aij ) Е R п ,которая равна нулевой матрице тогда и только тогда, когда a ij = О ( i == 1 , т ,j 1 , п) .П р и м е р 1 5.3.
П р о с т р а н с т в о м н о г о ч л е н о в. ТVIногочлены 1 , t ,2t , . . . , t n линейно независимы. Это следует из того, что линейная комбинация этих многочленов с коэффициентами ао , а 1 , . . . , йп представляет собоймного членйk t k , который равен нулевому многочлену тогда и толькотогда, когда йk == О , k = О, п.П р и м е р 15.4. Г е о м е т р и ч е с к и е п р о с т р а н с т в а. СледующиеакФ ты дают геометрическую иллюстрацию понятия линейной зависимости.Т е о р е м а 1 5.
7. Два векто]Jа линейно зависимъ� тогда и толъко==L �=Oт огда, когда они колл'l.tнеарнЪt.1 32Глава IV. Введение в теорию линейных пространствС л е д с т в и е 1 . ЛюбЪtе два (зна'Чит, и более) вектора пр.ямой линейнозависим'Ы.Т е о р е м а 15.8. Три вектора линейно зависим'Ы тогда и толъкотогда, когда они компланарн'ы.С л е д с т в и е 2 . Любъtе три (зна'Чит, и более) вектора плоскости линейно зависимъt.Т е о р е м а 1 5.9.
Люб'Ые 'Чет'Ыре вектора линейно зависим'Ы.По аналогии с геометрическими векторами два векто]Jа линейного пространства называются к9ллинеарнЪtми, если они отличаются лишь числовыммножителем.ЗАД АЧИ1 5 . 1 . Доказать, что система векторов, содержащая нулевойвектор, линейно зависима.1 5 . 2 . Доказать, что система векторов, два вектора которойразличаются скалярным множителем, линейно зависима.1 5 . 3 . Доказать, что если три вектора a i , а 2 , а з линейно зависимы и вектор а з не выражается линейно через векторы ai иа 2 , то векторы ai и а 2 различаются между собой лишь числовыммножителем .1 5 .4. Доказать, что упорядоченная система векторов a i , а 2 ,. .
. , a k , отличных от нуля , линейно независима тогда и толькотогда, когда ни один из этих векторов не выражается линейночерез предыдущие.1 5 . 5 . Доказать, что если к упорядоченной линейно независимой системе векторов a i , а 2 , . . . , a k приписать впереди еще одинвектор Ь, то не более чем один вектор полученной системы будетлинейно выражаться через предыдущие.1 5 . 6 . 1 ) Доказать , что ненулевые строки верхней трапециевидной матрицы, т.е. строки= (а 1 1 , а 12 ,, a 1 r , a 1,r+1 ,а 2 = (О , а 22 , . .
. , a 2r , a 2 , r +1 ,aiar = (О , О,······, a rr , ar, r + 1 ,·········, а 1п ) ,а 2п ) ,,, ar n ) ,где a kk =!= О, k = 1 , r , линейно независимы как векторы пространства IR. n .2) Доказать то же утверждение для ненулевых строк верхнейступенчатой матрицы.1 5 . 7. Элементарны.ми преобразования.ми систе.мъt векторовназываются преобразования следующих типов : а) перестановка§ 1 5 . Линейная зависимость1 33двух векторов системы ; б) умножение вектора системы на ненулевое число; в) прибавление к одному вектору системы другоговектора, умноженного на произвольное число Доказать, что линейная зависимость и линейная независимость системы векторовне нарушаются при ее элементарных преобразованиях.1 5 .
8 . Доказать, что произвольную систему векторов арифметического пространства элементарными преобразованиями можно привести к системе векторов , образующих строки некоторойверхней ступенчатой матрицы. Как определить, была ли исходная система линейно зависима?1 5 . 9 . Доказать, что для любых трех векторов а, Ь, с и любыхтрех чисел а , /3 , т векторы а а - (З Ь, г Ь - ас, (З с - 1а линейнозависимы.1 5 . 1 0 .
Доказать, что векторы а, Ь, с, d линейно зависимы тогда и только тогда, когда линейно зависимы векторы а + Ь + с,а + Ь + d, Ь + с + d, а + с + d.1 5 . 1 1 . Пусть х, у, z - линейно независимая система векторов .Бу,цут ли линейно независимы сле,цующие системы векторов:а) х, х + у, x + y + z ;б) х + у, у + z , z + х;в) х - у , y - z , z - x ?1 5 . 1 2 .
Найти все значения Л , при которых:а) из линейной независимости системы векторов ai , а 2 следует линейная независимость системы Ла 1 + а 2 , a i + Ла 2 ;б) из линейной независимости системы векторов ai , а 2 , . . . , а пс ледует линейная независимость системы ai + а 2 , а 2 + а з , .
. . ,ап - 1 + ап , ап + Ла 1 .Выяснить , являются ли следу1ощие системы векторов арифметических пространств линейно зависимыми.1 5 . 1 3 . Х1 = ( - 3 , 1 , 5) ,1 5 . 14. Х1 = (4, - 12 , 28) ,Х2 = (-7, 2 1 , -49) .Х2 = (6, _- 2, 1 5) .1 5 . 1 5 . Х1 = ( 1 , 2, 3, О) ,1 5 . 16. Х 1 = ( 1 , 3 , 4, 2, 7, 8 ) ,Х21 5 . 1 7 .
Х1Х2Х31 5 . 19 . х 1Х2Х3=======(2, 4, 6, 1 ) .( 1 , 2 , 3) ,1 5 . 18.(2, 5 , 7) ,( 3 , 7, 1 0 ) .( 1 , 2 , 3) , 1 5 . 20 .(4, 5, 6) ,(7, 8, 9) .Х2 = (2, 6 , 8, 6 , 21 , 24) .Х1 = ( 1 , 2 , 3 ) ,Х2 = (2, 5, 7) ,Х 3 = (3, 7, 10 + с:) .Х 1 = (3, 4, 1, 2, о , О) ,Х 2 = (6, 8 , 2, 4, 1 , 3) ,Х 3 = (О, о, 4, 8 , 2 , 6) .Глава IV. Введение в теорию линейных пространств1 3415.21. х1Х2Х3Х4=(1 , 1, 1, 1) ,(1, - 1, - 1 , 1 ) ,= (1, -1, 1, -1) ,= ( 1 , 1 , - 1 , - 1 ).1 5 . 2 2 . Х1Х2Х3Х4=====( 1 , 1 , о, о, О) ,(1, 2 , о, о, О) ,( 9, 8 , 7, 2, 1 ) ,(5 , 9, 7, 1 , 1 ) .1 5 . 2 3 . Пусть дана система векторов арифметического пространства·х 1 = (а 1 1 , а 1 2 , , а 1 п ) ,< п. Доказать,где sХ2=(а 21 , а 22 ,Xs=( a sl , a s 2 ,········что если laJ j l >·,а 2п ) ,,аsп ) ,sL laiJ I , j =i= li #j1 , s , то даннаясистема векторов линейно независима.1 5 . 24 .
Если из каждого вектора ai , а 2 , . . , a k пространстваnIR. исключить компоненты с номерами i i , i 2 , . . . , i m ( 1 < i l <i 2 < . . < i m < п ) , получится новая система векторов Ь 1 , Ь2 , . . . ,bk пространства JR.n - m , которую будем называть у короченно й дляисходной системы. В свою очередь, исходную систему будем называть удлиненно й для системы Ь 1 , Ь2 , . . . , bk . Доказать, что любая укороченная система для линейно Зависимой системы векторов сама линейно зависима, а любая удлиненная система длялинейной независимой системы векторов сама линейно независима.15 . 25 .
Доказать, что в пространстве многочленов всякая конечная система, состоящая из многочленов разных степеней и несодержащая нуля , линейно независима.1 5 . 26 . Дана система многочленов !1 (t) = 1 - t 2 , f2 ( t) = 1 + t3 ,fз (t) = t - t3 , f4 ( t ) = 1 + t + t 2 + t 3 . Найти линейные комбинациимногочленов этой системы :б ) !1 + 9 f2 - 4 f4 .а ) 5/1 + !2 - 4 fз ;Что можно сказать об исходной системе многочленов?1 5 .
27. Для многочлена, полученного в предыдущей задаче,найти другие разложения по системе f 1 (t) , f2 (t) , fз ( t) , f4 ( t) .1 5 . 28 . Пусть а, Ь, с различные действительные числа. Выяснить, будет ли линейно зависима следующая система многочленов:..-(t - a) ( t - Ь) , ( t - a ) (t - с) , (t - b) ( t - с) .§ 1 5 . Линейная зависимость1 351 5 . 29 . Доказать , что матрицы А 1 , .
. . , A k пространства JR n x mлинейно зависимы тогда и только тогда, когда линейно зависимыматрицы A f , . . . , AI.1 5 . 30. Доказать , что матрицы А 1 , . . . , A k пространства IR. n x mлинейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы для однойневырожденной матрицы В Е IR. n x n линейно зависимы м атрицыВА 1 , . . . , BA k .1 5 . 3 1 . Пусть Aj Е IR. m x n , j = 1 , k , и В Е JR s x l . Доказать, чтоматрицы В 0 А 1 , В 0 А 2 , .
. . , В 0 A k линейно независимы тогдаи только тогда, когда линейно независимы матрицы А 1 , А 2 , . . ,Ak и матрица В ненулевая .1 5 . 32 . Известно, что невырожденная матрица А такова, чтодля некоторого k Е N матрицы I, А , . . . , A k линейно зависимы.Доказать , что матрица л - 1 есть многочлен от А степени не выше.k - 1.1 5 . 33. Доказать линейную независимость сле,цующих системфункций:а) sin х , cos х ;б ) 1 , sin х , cos х ;в) sin х , sin 2х , . . . , sin пх ( п Е N) ;г) 1 , cos х , cos 2х , .
, cos пх ( п Е N) ;д) 1 , cos х , sin х , cos 2х , sin 2х , . . , cos пх , sin пх ( п Е N) ;е) 1 , sin х , sin 2 х , . . . , sinп х ( п Е N) ;ж) 1 , cos х , cos 2 х , . . . , cosn х ( п Е N) .1 5 . 34. Доказать линейную независимость систем функций:а) еа1 х , е а 2 х , . . . , е а п х ( п Е N) ,6) х 0 1 , х 02 , , х 0п ( п Е N) ,где а 1 , . . . , ап попарно различные действительные числа.1 5 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
