Том 1 (1113042), страница 26
Текст из файла (страница 26)
. ' п .1 7 . 1 5 . Доказать, что:а) любой ненулевой вектор пространства можно включить внекоторый базис этого пространства;б) любую линейно независимую систему векторов можно дополнить до базиса пространства.1 7 . 16. Пусть в пространстве V выбран некоторый базисe i , . . . , е п . Тем самым , каждому вектору х Е V поставлена в соответствие строка его координат в этом базисе:Х � Х е = ( а1 , . . . , а п ) .-Глава IV. Введение в теорию линейных пространств1 52Доказать, что:а) линейная зависимость (линейная независимость) системывекторов х, у, . .
. , z равносильна линейной зависимости ( соответственно линейной независимости) системы строк Х е , Уе , . . . , Zeрассматриваемых как элементы соответствующего арифметического пространства lRn ;б) если вектор а . линейно выражается через систему х , у , . ,z , т.е. а = Лх + µ у + . . . + v z , то это же верно и для строк ае , Х е ,Уе , .
, Ze , причем ае = Л хе + µуе + . . . + V Ze .1 7 . 1 7. В пространстве JR 4 найти два различных базиса, имеющих общие векторы e i = ( 1 , 1 , 0, 0) и е 2 = (0, 0, 1 , 1) .1 7. 18. Систему многочленов t5 + t 4 , t 5 - Зt 3 , t 5 + 2t 2 , t 5 - tдополнить до базиса пространства М5 .1 7 . 1 9 . Дополнить систему матриц....до базиса пространства JR 2 X 3 .[� I п [; 6 i] [� � ;]•1 7 . 20 . Доказать, что система матрицЕ1 =[ � i ] , Е2 = [ ; i ] , Ез = [ i ; ] , Е4 = [ i i ]образует базис пространства IR 2 x 2 . Построить другой базис этогопространства так, чтобы ни одна из его матриц не была линейнойкомбинацией каких- либо двух матриц Е 1 , Е2 , Ез , Е4 .1 7.
2 1 . Даны три вектора а = { 1, 2 } , Ь = { - 5 , - 1 } , с ={ - 1 , 3} . Найти координаты векторов 2 а+ 3 Ь - с и 16 а + 5 Ь - 9 с.1 7 . 2 2 . Показать , что векторы а = { - 5 , - 1 } , Ь = { - 1 , 3 }образуют базис пространства V2 . Найти координаты векторовс = { - 6 , 2 } и d = { 2 , -6} в этом базисе.1 7 . 2 3 . Даны четыре вектора а = {3, О, - 2 } , Ь = { 1 , 2 , - 5 } ,с = { - 1 , 1, 1 } , d = {8, 4, 1 } . Найти координаты векторов - 5 а +Ь - 6 с + d и 3 а - Ь - с - d.1 7 . 24 .
Показать , что векторы а = {4, 1 , - 1 } , Ь = { 1 , 2 , - 5 } ,с = { - 1 , 1, 1 } образуют базис пространства Vз . Найти координаты векторов х = {4, 4, - 5 } , у{2 , 4, - 10} и z = {0 , 3 , -4} вэтом базисе.1 7 . 2 5 . При каких а , (3, т Е 1R вектор ы а = { 1 , а , а 2 } , Ь ={ 1, (3 , (32 } , с = { 1 , / , 1 2 } образуют б Юи с пространства Vз ?1 7 . 26 . Известно, что векторы а , Ь , с некомпланарны.
Выяснить, ком п ланарны ли векторы х, у , z , и если да, то указатьлинейное соотношение их связывающее:1 53§ 1 7. Б азис и координатыа) х = 2 а - Ь - с у = 2 Ь - с - а ' с = 2 с - а - Ь·'б) х = а + Ь + с , у = Ь + с , z = - а + с ;в) х = с , у = а - Ь - с, z = а - Ь + с .1 7 . 2 7 . В параллелограмме АБСD точка К - середина отрезка БС и точка О - точка пеR есечения диагоналей.
Принимая за---t�базисные векторы АБ и AD, найти координаты векторов B D ,��СО , KD в этом базисе.1 7 . 28. В треугольнике АБС точка М - середина отрезка АБи точка О - точка пересечения медиан . Принимая за базисные����_____,векторы АБ и АС , найти координаты векторов АМ , АО , МО вэтом базисе.1 7 . 29 . В трапеции АБСD длины оснований AD и БС отно��сятся как 3 : 2 . Принимая за базисные векторы АС и БD , найти��� �координаты векторов АБ , БС , CD, DA в этом базисе.1 7 .
30. В тетраэдре ОАБС точки К, L , М , N , Р, Q - середины ребер ОА , ОБ , ОС , АБ , АС, БС соответственно, S - точкапересечения медиан треугольника АБС. Принимая за базисные���векторы ОА , ОБ и ОС, найти в этом базисе координаты :���а) векторов АБ , БС , АС;�� � � _____,б) векторов KL, PQ , CN , М Р, KQ ;��в) векторов O S , K S .1 7. 3 1 . Даны три точки О , А , Б , не лежащие на одной прямой.��Принимая за базисные векторы ОА и ОБ , найти:�а) координаты вектора ОМ , если точка М лежит на отрезкеАВ и АМ : Б М = m : п�б) координаты вектора ON , если точка N лежит на прямойАБ вне отрезка АБ и AN : БN = m : п.1 7 . 32 .
В трапеции АБСD отношение длин оснований AD и��Б С равно 4. Принимая за базисные векторы AD и АБ , найти����координаты векторов АС , АМ , A S , S M , где М - точка пересечения диагоналей трапеции, а S - точка пересечения ее боковыхсторон.1 7. 3 3 . Доказать , что матрицы''·Е1 = [ iо бр азуют= i ] , Е2 = [ i � ] , Ез2 =2 [ � i ] , Е4 = [ � � ]базиспространства IR x ,и найтикоординатыГлава IV. Введение в теорию линейных пространств1 54матрицы А =[ � i � ] в этом базисе.1 7 . 34.
Доказать, что матрицыЕ1 =Е4 ==[ �1 о� о� ] [� i _;1 ] [ � � � ] ,[ -� � � ] , [ ; -i -� ] , [ �1 -i .- i ],Е2 =,2 -2Е5 =Ез =345Еб =1 2 1-1 2 2- 1 -2образуют базис пространства симметрических матриц порядка3, и найти координаты м атрицыА = [��-�]в этом базисе.1 -3 -317. 35 . Доказать, что многочлены 1, t - a , ( t - a) 2 , . . . , (t - a) nобразуют базис пространства Мп , и найти координаты произвольного многочлена р( t) Е Мп в этом базисе.17 . 36.
Доказать, что многочлены 2t +t 5 , t 3 - t 5 , t+t3 образуютбазис с пространстве нечетных многочленов степени не выше 5 ,и найти координаты многочлена 5t - t 3 + 2t 5 в этом базисе.1 7 . 37. Доказать, что каждая из двух систем матриц[ � g ] ' [ � i ] [ � -�] ' [ � � ] ' [ � i ] ' [ � � ][� -i ] ' [ : � ] ' [ �1 �]о ' [�1 - � ] ' [ -� о�] ' [ �о -� ]-и'1 24-2о 2оявляется базисом пространства IR 3 x 2 , и найти матрицу перехода от первого базиса ко второму.
Найти координаты матрицыразмера 3 х 2 в первом базисе, если известны ее координаты( � 1 , �2 . . . , �6 ) во втором базисе .1 7 . 38. Доказать, что каждая из двух систем матриц,и�[- � о� ] , [ � � � ] , [ � -6 - ;]i[-� 6 -о ] , [-� � � ] , [-�о � Jо ]2 -3-111 -42 -3оо-222о1 55§ 1 7. Базис и координатыявляется базисом в пространстве кососимметрических матрицпорядка 3, и найти матрицу перехода от первого базиса ко второму.
Найти координаты кососимметрической матрицы порядка3 в первом базисе, если известны ее координаты ( �1 , �2 , �з ) вовтором базисе.1 7 . 39 . Доказать, что каждая из двух систем функцийиt - t 2 , t3 ,1 + 5t + t3 , (1 + t) 3( l + t) 3 , ( 1 - t ) 3 , t - t 2 + t3 , l + t + t 2 + t 3является базисом пространства Мз .
Найти координаты многочлена степени не выше 3 в первом базисе, если известны его координаты ( �1 , �2 , �з , �4 ) во втором базис е .1 7.40 . Доказать, что каждая из двух систем функций' (1 + t 2 ) 2 , ( 1 - t 2 ) 2 , 1и1 + t 2 + t4 ' 1 - t 2 + t4 ' t 4является базисом в пространстве четных многочленов степенине выше 4, и найти матрицу перехода от первого базиса ко второму.
Н айти координаты четного многочлена степени не выше 4в первом базисе, если известны координаты ( �1 , �2 , �з ) во второмбазисе.17.41 . Как изменится матрица перехода от одного базиса кдругому, если:а) поменять местами i-й и j -й векторы первого базиса;б) поменять местами i-й и j-й векторы второго базиса;в) записать векторы обоих базисов в обратном порядке?1 7 .42 . Матрица S является матрицей перехода от первого базиса e i , . . .
, е п ко второму базису f1 , . . . , fп n-мерного пространства V , а матрица Q - матрицей перехода от третьего базиса9 1 , . . . , 9п ко второму базису f1 , . . . , fп . Найти матрицу перехода:а) от второго базиса к первому;б) от первого базиса к третьему.1 7 .43. Как связаны между собой базисы f1 , . . .
, fп и e i , . , е ппр остранства V , если матрица перехода от базиса е к f :в) верхняя треугольная ;а) диагональная;б ) скалярная;г) нижняя треугольная?1 7.44. Доказать, что система векторов является базисом линей ного пространства тогда и только тогда, когда она образует..Глава IV. Введение в теорию линейных пространств1 56минимальную систему, порождающую все пространство.1 7.45 . В n-мерном линейном пространстве даны векторые 1 , , em , причем т > п + 2 . Доказать , что существуют такие числа а 1 , .
. . , а т , не все равные нулю, что L i 1 a iei = е и•..Li 1 ai = о1 7.46. Пусть e i , . . . , еп и /1 , . . , fп - два базиса линейногопространства V и 1 < k < п . Доказать, что из векторов второго базиса можно выбрать такие k векторов, что после обменаих с векторами ei , . . . , e k из первого базиса получатся снова двабазиса пространства V.1 7.47. Векторы х1 , . . . , X k Е V линейно независимы, а базисe i , . .
. , еп пространства V таков , что он остается базисом послезамены вектора ei на вектор X i при любом i = 1 , k. Верно ли, чтовекторы х 1 , . . . , X k , e k +1 , . . . , еп тоже образуют б аз ис пространства V?17.48. Известно, что матрицы А 1 , А 2 , . . . , A m n образую т базис пространства JRm x п , а матрицы В 1 , В2 , . . . , Bs l - базис пространства ]R s x l . Доказать , что их всевозможные кронекеровыпроизведения A i ® Bj , i = 1 , mn, j = 1 , sl , образуют базис пространства 1R mn x s l .1 7.49 . Матрицы А 1 , А 2 , . . . , Атп образуют базис пространства JR m x п . Доказать , что матрицы ВА 1 , ВА 2 , .
. . , ВА mп такжеобразуют базис этого пространства тогда и только тогда, когдаквадратная матрица В порядка т невырождена...§18.Линейное подпространство и лине йно емногообразиеНепустое подмножество L пространства V называется линейн'ым подпространством пространства V , если оно само является линейным пространством относительно законов композиции , действующих в V .Т е о р е м а 18. 1 . Непустое подмножество L пространства V являете.я линейнъш подпространством этого пространства тогда и толъкотогда, когда имеют место импликации:а, Ь Lа+Ь L;=>а L , й 1R => йа L .Пусть V - линейное пространство, L - некоторое его подпространство,- некоторый вектор пространства V .
Множество Н всевозможных вектоL , называется линейньш многообразием ( или лиров видагденейнъш аффиНН'Ьl,.М, многообразием, ) пространства V , полу'Чею-tuм сдвигомподпространства L 'Нд векторВектор н азывается вектором сдвига,ЕЕ ЕхоЕЕхо + х, х Ехо.х0§ 1 8. Линейное подпространство и линейное многообразие 1 57а подпространство L ндп]Ювляющим подпрост]Юнством линейного многообразия Н.О б о з н а че н и е : Н = хо + L.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
