Том 1 (1113042), страница 30
Текст из файла (страница 30)
14.х1 + х 2 - 3х4 - Х5 = О ,Х1 - Х2 + 2х з - Х4 = о ,4х1 - 2 х 2 + 6 хз + 3х4 - 4х5 = О,2 х1 + 4х2 - 2 хз + 4х4 - 7х5 = О.21.15.Х1 + Х 2 + Х 3 + Х4 + Х5 = 7,3х1 + 2 х 2 + хз + Х4 - 3х5 = -2,х2 + 2 хз + 2 х4 + 6х4 = 2 3,5 х1 + 4х 2 + 3хз + З х4 - х5 = 1 2.2 1 . 16.Х1 - 2 Х 2 + Х 3 + Х4 - Х5 = 0,2 Х1 + Х 2 - Х 3 - Х4 + Х5 = 0,х1 + 7х 2 - 5 хз - 5 х4 + 5 х5 = О,3х1 - х 2 - 2 х з + х4 - Х5 = О.2 1 . 17.2 х1 + Х2 - Х 3 - Х4 + Х5 = 1 ,Х 1 - Х 2 + Х 3 + Х4 - 2 Х5 = 0,3х1 + 3х 2 - 3х з - 3х 4 + 4х5 = 2,4х1 + 5 х2 - 5 хз - 5 х4 + 7х5 = 3 .2 1 . 18.х1х1Х1Х1Х121. 19.х 1 + 2 х2 + 3х з - Х4 = 1 ,3 х 1 + 2 х 2 + хз - Х4 = 1,2 х1 + 3х 2 + хз + Х4 = 1 ,2х1 + 2 х 2 + 2 хз - х4 = 1 ,5 х1 + 5 х 2 + 2 х з = 2 .+ З х 2 + 5 х з - 4 х4 = 1 ,+ З х2 + 2 хз - 2 х4 + х5 = - 1 ,- 2 х2 + Х 3 - Х4 - Х5 = 3 ,- 4х 2 + Х 3 + Х4 - Х5 = 3,+ 2 х 2 + Х 3 - Х4 + Х5 = -1.Исследовать систему уравнений на совместность и найти ееобщее решение в зависимости от значений параметра Л.2 1 .
20.{3х1 + 2 х2 + хз = - 1 ,7х1 + 6 х2 + 5 х з = Л, 2 1 . 2 1 .5 х1 + 4х2 + 3х з = 2 .5 х 1 - 3х 2 + 2 хз + 4 х4 = 3 ,4 х1 - 2 х2 + 3х з + 7x 4 = l ,8 х1 - 6 х 2 - хз - 5 х4 = 9,7х1 - З х 2 + 7хз + 17х4 = Л.1 75§21 . Метод Гаусса исследования и решения систем2 1 . 22 .{2 1 . 24.2 1 . 25 .2 1 . 27 .2 1 .
29 .2 1 . 30.21.31.2 1 . 32 .{{{Л х1 + х 2 + хз = О ,5х 1 + х 2 - 2 хз = 2, 2 1 . 23.2 х1 + 2 х2 - хз = З .3 х 1 + 2 х 2 +5х з + 4х4 = З ,2 х1 + 3х 2 + 6 хз + 8 х4 = 5,х 1 - 6 x 2 - 9x з - 20 x4 = - l l ,4х1 + х2 + 4хз + Л х4 = 2.2 х1 - х2 + Зхз + 4 х4 = 5 ,4 х1 - 2 х 2 + 5 хз + 6 х4 = 7,6 х 1 - Зх 2 + 7хз + 8 х4 = 9,Л х1 - 4х 2 + 9 хз + 1 0х4 = 1 1 .2 х1 + Зх 2 + хз + 2 х4 = З ,Х1 + Х2 + л, Х 3 = 2 ,4х1 + 6 х2 + 3хз + 4х4 = 5, 2 1 . 26 .х1 + л, х 2 + хз - 1 ,6х1 + 9х 2 + 5 хз + 6 х4 = 7 ,Л x i + х2 + хз = - 18х1 + 1 2 х2 + 7хз + Л х4 = 9.Л х 1 + х2 + хз + X4 = l ,Х 1 + Х 2 + л' Х 3 = 3 ,х1 + Л х2 + хз + X4 = l , 2 1 .
28 ., + Х3 - 0 ,Х1 + лХ2, + Х4 = l ,х1 + х2 + лхзЛХ 1 + Х 2 + Х 3 = о .Х 1 + х 2 + хз + Л х4 = l .( Л + l ) x 1 + Х2 + Х 3 = 1 ,х1 + ( Л + l ) x 2 + х з = Л,Х1 + Х2 + ( Л + l ) х з = Л 2 .( Л + l ) x 1 + Х 2 + Х 3 = Л 2 + З Л,Х1 + ( Л + l ) x 2 + Х 3 = Л 3 + 3Л 2 ,Х1 + х2 + ( Л + 1 ) хз = Л4 + 3Л3 .( 2Л + l ) x 1 - Л х 2 + ( Л + l ) х з = - Л - 1 ,( Л - 2 ) х 1 + ( Л - l ) x 2 + ( Л - 2 ) х з = Л,( 2Л - l ) x 1 + ( Л - l ) x 2 + ( 2Л - l ) хз = Л.Л х 1 + ( 2Л - l ) x 2 + ( Л + 2 ) хз = 1 ,( Л - l ) x 2 + ( Л - З ) х з = 1 + Л,Л х1 + ( ЗЛ - 2 ) х2 + ( ЗЛ + 1 ) х з = 2 - Л .{{Указать все значения параметра Л,ур авн ений является неопределенной.2 1 · 33 ·( 8 - Л ) х1 + 2 х 2 + З х з + Л х4 = О,х1 + ( 9 - Л ) х 2 + 4х з + Л х4 = О,х1 + 2 х 2 + ( 1 0 - Л ) х з + Л х4 = О,х1 + 2 х 2 + Зх з + Л х4 = 0.__·_при которых система1 76Глава2 1 .
34.V.Системы линейных алгебраических уравнений(2 - Л)х 1 + 4х 2 + 2 х з + х4 = О,х 1 + (2 - Л) х 2 + х з + Х 4 = О,( 3 - Л)х 1 + 6х 2 + (3 - Л) х з - 4х4 = О,х 1 + 2х 2 + х з + (2 - Л) х4 = О .2 1 . 35 . Проверить, что во всех решениях системы уравнений2 х 1 + 3 х 2 + х з + Х5 = 6,Х1 + 2х 2 + ХЗ + Х4 = 5,-х 1 + х 2 + 3х з + 5х4 + х5 = 8,2х 1 - х2 + х з - 8х4 + 2х 5 = - 6 .значения неизвестных х з и х 5 постоянны и равны соответственно1 и О . Объяснить эти факты в терминах линейной зависимости илинейной независимости столбцов расширенной матрицы системы .Исследовать системы уравнений на совместность и найти общее решение в зависимости от значений входящих в коэффициенты параметров.2 1 . 36.2 1 .
38.2 1 .40 .2 1 .42 .2 1 .44.{{{{{1,{х + у + z = l,ах + у + z =2 1 . 37.ах + Ьу + cz = d ,х + Ьу + z = l ,а 2 х + Ь 2 у + c2 z = d 2 .х + у + cz = 1 .х + ау + а 2 z = аз ,ах + у + z = а,х + Ьу + z = b , 2 1 . 39 . х + Ьу + Ь2 z = Ьз ,х + y + cz = c .х + су + с2 z = сз .ах + у + z = 4,ах + Ьу + z = 1 ,х + by + z = 3 , 2 1 .41 .х + аЬу + z = b,х + 2Ьу + z = 4.х + Ьу + a z =cx + by + cz = l - Ь + с,х + ау + a 2 z = 1 ,х + ау + a bz = a, 2 1 .43 . Ьх + y + bz = b,bx + cy+ bz = l + Ь - с.bx + a 2 y + a 2 bz = a 2 b.ах + у + z = 1 ,ах + Ьу + 2 z = l ,х + ау + z = b, 2 1 .45 . ах + (2Ь - 1 ) у + 3 z = 1 ,х + y + az = c .ах + Ьу + (Ь + 3) z = 2b - 1 .{{{1.2 1 .46 . Установить, является ли вектор Ь линейной комбинацией векторов а 1 , а 2 , а з , а4 , и, в случае положительного ответа,найти коэффициенты этой линейной комбинации:§21 .
Метод Гаусса исследования и решения система)1 77= (3, 7, 5 ) , а 2 = ( -5 , -4, 7) , аз = (2, 1 , -4) , а4 = (4, 3 , -6) ,Ь = (2 , 5, 3 ) ;б ) a i = (2, 4, 2 , 1 ) , а 2 = (5, 3 , 3 , 8) , а з = ( 8, 9 , 5 , 7) ,а4 = ( 1 , 1 , 1 , 1 ) , Ь = ( 8 , 9 , 7, 12) ;в ) а 1 = ( 8 , 3 , 4, 3 , 7) , а 2 = ( 6 , 3 , 2, 5 , 4) , а з = ( 5, 2 , 3 , 1 , 5 ) ,а4 = ( 2 , 1 , 1 , 1 , 2) , Ь = ( 21 , 1 О, 8 , 1 5, 18 ) ;г ) а 1 = ( 2 , 4, 5 , 2 , 1 ) , а 2 = ( 3, 3 , 1 1 , 5 , - 7) , а з = ( 1 , 1 , 3 , 1 , - 1 ) ,а4 = (2, 1 , 2, 1 , 2) , Ь = (4, 5, 2, 1 , 7) .2 1 .47. Решить системы А х = bi , i = 1 , 2 , 3 , с общей матри2 -131 -5цей А = 31 и разными правыми частями4 -11 3 - 13aiЬ 1 = ( 3 , О, 3 , -6) т , Ь2 = ( 4, - 1 , 4, -9) т , Ьз = ( 6, - 3 , 6, - 1 5) т .2 1 .48.
Н айти все значения параметра Л, при которых векторЬ имеет единственное разложение по векторам a i , а 2 , а з :а ) Ь = ( 1 , Л - 4, 1) ,= (6 - Л, 1 1 - 2Л, 1 ) , а 2 = (6 - Л, 6 - Л, 1 ) , а з = ( 1 , 1 , 6 - Л) ;б) Ь = ( - 1 , - 2 , - 1 ) ,a i = (Л, 6 , 3 ) , а 2 = (3 , 2Л, Л ) , а з = (Л, 3 + Л , 3 ) ;в) ь = ( 1 , 1 , 1 ) 'а 1 = (2 - Л, 1 , 2 - Л) , а 2 = ( 3 - 2Л, 1 , 2 - Л) , аз = ( 1 , 2 - Л, 1 ) ;г) Ь = ( 1 , 2 , 1 ) ,a i = ( 3 + Л, -2 , - 1 ) , а 2 = ( - 1 , -2 , 3 + Л) , а з = ( -2 , Л, - 2) .ai2 1 .49 . Показать, что вычисление матрицы , обратной к данной матрице порядка п , можно свести к решению п систем линейных уравнений, каждая из которых содержит п уравнений сп неизвестными и имеет своей матрицей матрицу А.Пользуясь методом предыдущей задачи, найти обратные матр ицы для сле,цующих матриц.2 1 . 50 .-2 - 3 -6 -94 6 12 1 7113 4127 721.51.11 1311 -1 о11о 2-2 -6 - 1 11 78ГлаваV.Системы линейных алгебраических уравнений2 1 . 52 .
Найти третий столбец А - 1 , гдеА=111 111 -1 -11 -11 -11 -1 -1 12 1 . 5 3 . Найти пос � еднюю строку А l , где-А=о11ооооО112 1 . 54. Даны матрицы А =1 1 о1 1 о1 О 11 о 11 о о[� ; �] , [� : �]789В=369и векторЬ = ( 1 , 4 , 7) т . Найти общее решение систем :а) А х = Ь ; 6) А х = В х ; в) А х = В у .2 1 . 55 . Пусть А Е IR.mxn . Доказать следующие утвержденияили, если они не верны, привести контрпримеры к ним .1 .
Если п > 'm и для некоторого Ь система А х = Ь не имеет решений, то система А х = О имеет бесконечно многорешений.2. Если п < т и для некоторого Ь система А х = Ь не имеет решений, то система А х = О имеет бесконечно многорешений.3 . Если п > т и система А х = О имеет бесконечно много решений, то система А х = Ь не имеет решений для некоторого4.Ь.Если п < т и система А х = О имеет бесконечно много решений, то система А х = Ь не имеет решений для некоторогоЬ.2 1 .
56 . Даны матрица-5А=31 -42211641 -3о1 - 10о§22. Геометрические свойства решений системы1 79и вектор Ь = (Ь 1 , Ь2 , Ьз , Ь4 ) т . Доказать, что система А х = Ь имеет единственное решение х = (х 1 , х 2 , х з , х 4 ) т , удовлетворяющееусловию х 1 + х 2 + х з + х 4 = О тогда и только тогда, когдаЬ 1 + Ь2 + Ьз + Ь4 = О .2 1 . 5 7 . Доказать, что система уравнений совместна при любойправой части тогда и только тогда, когда строки ее основнойматрицы линейно независимы.2 1 .
58. Доказать , что всегда имеет место одна из двух возможностей: либо система уравнений А х = Ь совместна при любойправой части, либо однородная система Ат у = О имеет ненулевоерешение ( алътернатив а Фр е дголъ.ма) .2 1 . 59 . Выяснить, какие условия на основную матрицу А системы необходимы и достаточны для того, чтобы при любой правой части Ь система А х = Ьа) не была неопределенной;б) не была определенно й;в) была определенной;г) была неопределенной;д) была несовместной.2 1 .
60. Доказать, что система А х = Ь совместна тогда и только тогда, когда для любого решения у однородной системыА т у = О выполнено равенство ьт у = О ( теоре.мд Фредголъ.м а) .2 1 . 6 1 . Проверить совместность системы уравнений, пользуясь теоремой Фредгольма:{{зх + 5у = l ,5х + 9 у = 2 ,4х + 7у = - 1 ;3х + 4 у = 2 ,б) 5х + 7у = 3 ,а)2x + 3y = l .2 1 .62 . Доказать, что системы А т А х = О и А х = О эквивалентны.2 1 .63.
Пусть А х = Ь произвольная (не обязательно совместная) система уравнений. Доказать , что система уравнений(Ат А )х = А т ь совместна.-§22 .Гео м етрические свойства ре ш ений системыс п неизвестн'ыми .являете.я линейнъtм подпрост]ХJ,нством арифмет u'Ческого прост]ХJ,нства R n .Ах =Т е о р е м а 22. 1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
