Том 1 (1113042), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Найти отношения (BNO ) и (СМО) .2 3 . 2 5 . Применяя результат предыдущей задачи при µ = v =1 , доказать , что медианы треугольника пересекаются в однойточке.2 3 . 26 . Вершина А параллелограмма АБСD соединена с сер единой М стороны БС, а вершина Б с точкой N , лежащейна стороне С D и отстоящей от точки D на расстоянии, равном--Глава196VI.Векторная алгебра� стороны С D.
В каких отношениях делятся отрезки АМ и В Nточкой К их пересечения?2 3 . 27. Найти центр круга, вписанного в треугольник с вершинами А(9, 2) , В (О , 20) , С ( - 1 5 , - 10) . Система координат прямоугольная.2 3 . 28. Найти точку пересечения общих касательных двухокружностей, центры которых совпадают с точками С1 (2, 5) иС2 ( 232 , 331 ) , а радиусы соответственно равны 3 и 7. Систе м а координат прямоугольная .2 3 . 29 . Найти координаты точки, делящей отрезок М1 М2 ,ограниченный точками М1 ( -3 , 2 , 4) и М2 ( 6 , О , 1 ) , в отношении:311 ) ,\ = 2; 2) ,\ = - ; 3) ,\ = ; 4) ,\ = - 3 .4423. 30.
Н а прямой, проходящей через точки М1 ( 1 , 2 , 4 ) иM2 ( - l , 4, 3) , найти точку, лежащую в плоскости O xz .23. 3 1 . Отрезок АВ разделен на пять равных частей; известны первая точка деления С(3, -5, 7 ) и последняя F( - 2 , 4 , -8) .Определить координаты концов отрезка и остальных точек деления.2 3 . 32 . Даны две вершины треугольника А ( -4, - 1 , 2) иВ (3 , 5, - 1 6) . Найти третью вершину С, зная , что середина стороны АС лежит на оси Оу, а середина стороны ВС - на плоскостиOxz.23 . 33 . Найти отношение, в котором каждая из координатныхплоскостей делит отрезок АВ, ограниченный точками А ( 2 , - 1 , 7)и В (4, 5, -2) .23 .
34. Даны две прямые: одна из них проходит черезточки А ( -3, 5 , 1 5 ) и В ( О , О, 7) , а другая - через точки С(2, - 1 , 4 )и D ( 4, -3, О) . Выяснить, пересекаются ли эти прямые, и если пересекаются, то найти точку их . пересечения.2 3 .
35 . Даны две точки А ( 8 -6, 7) и В ( - 20, 1 5 , 1 0) . Установить, пересекает ли прямая АВ какую-нибудь из осей координат.,П реобразование координат23 . 36 . Найти новые координаты точек А ( 2 , 3) , В ( - 5 , 4 ) ,С (О , 2) в системе, полученной переносом данной аффинной системы координат, если за новое начало координат принимаетсяточка 0' (7, - 1 ) .2 3 . 37.
В аффинной системе координат задана точка М(2 , 5) .§23 . Аффинная система координат. Координаты то чки19 7П осле переноса она имеет координаты ( -4, 7) . Найти старые координаты нового начала О' и новых базисных векторов е � , е� ,а также новые координаты старого начала О и старых базисныхве кторов e i , е 2 .2 3 . 38. Новая система координат получена поворотом некоторой прямоугольной декартовой системы координат на угол а =60° .
Координаты точек A(2J3, -4) , В( JЗ, О) и С (О , - 2 J3) определены в новой системе. Вычислить координаты этих же точекв старой системе координат.23 . 39 . В некоторой прямоугольной декартовой системе координат даны точки М(3, 1) , N ( - 1 , 5) и Р( - 3, -1) . Найти ихкоординаты в новой системе, полученной из исходно й поворотомна угол а = -4 5 ° .23.40 .
Даны две прямоугольные системы координат. Началоновой системы находится в точке О' ( -4, 2) ; угол от положительного направления оси О х до положительного направления осиО' х' равен 2; ; системы одинаково ориентированы. Найти выражение старых координат произвольной точки плоскости через ееновые координаты.2 3 . 4 1 . Новая система координат получена из старой переносом начала в точку О' (З , -4) и поворотом на угол а такой , что5cos а = i� , sin а = 1 3 • По отношению к исходной системе координат дана точка А ( 6 , -2) .
Найти ее координаты в новой системе.Системы координат прямоугольные.2 3 .42 . На плоскости даны две прямоугольные системы координат { О ; e i , е 2 } и { О' ; е� , е�}. Вторая система координат получена из первой поворотом вокруг точки А на угол 'Р в направлении кратчайшего поворота от e i к е 2 . Найти координаты ( х , у)точ ки в первой системе координат, если известны ее координаты(х' , у') во второй системе координат и, кроме того:1 ) А (1, 1 ) , 'Р = 45° ; 2) А (2 , 4) , 'Р = 180°;3) А(3, О) , <р = 60° ;4) А ( - 2 , 2) , <р = 90° .23� . Даны две точки А (2 , 1) и В �5, 5) . Найти конец вектора А С , получающегося из вектора АВ поворотом на угол 5; .С ист ема координат прямоугольная.23.44 .
Даны две соседние вершины квадрата А( -3, 2) иВ (2 , 4) . Найти две другие его вершины С и D . Система координат прямоугольная.2 3 . 45. Основанием равнобедренного треугольника служит198ГлаваVI.Векторная алгебраотрезок АС: А(-4, 2 ) , С(4, -4) .
Найти координаты вершины Вэтого треугольника, зная , что углы при его основании равныarctg � . Система координат прямоугольная .�23.46. Найти величину ортогональной проекции вектора АВ�на ось , направление которой определяется вектором CD , еслиА ( -4, 2) , В (6, 4) , С ( -: 6 , - 1 ) , D ( - 1 , - 13 ) . Система координат прямоугольная.2 3 .47. Даны две противоположные вершины квадратаА ( -3 , 2) , В (5 , -4) .
Найти две другие его вершины С и D . Система координат прямоугольная .23 .48. Центр описанной около равностороннего треугольника АБС окружности находится в начале координат. Найти координаты вершин В и С, зная, что А ( 2, 4) . Система координатпрямоугольная .23 .49 . В ромбе ABCD с острым углом при вершине А, равным 60° , известны координаты смежных вершин А ( - 1 , 3) иВ (З , 1) . Найти координаты других вершин ромба. Система координат прямоугольная .2 3 .
50 . Определить координаты k-й вершины правильного nугольника, если даны координаты первой вершины А 1 ( х1 , у 1 ) икоординаты центра S (x o , Уа) . Система координат прямоугольная.23. 5 1 . Найти формулы преобразования аффинной системыкоординат на плоскости в каждом из следующих случаев (координаты новых базисных векторов и нового начала координатзаданы в старой системе) :1 ) е� = { 2 , 5 } , е� = { 7, 9 } , 0 ' ( 3 , 1 ) ;2) е� = { 5 , О } , е� = {О, 4 } , О' ( 3 , 5) ;3) е � = {О, 2 } , е� = { -7, О } , О ' (О, 2 ) ;4) е� = { а , О }, е� = { О, Ь} , О' ( О, О) , где аЬ =/= О ;5) е � = { О , а} , е� = {Ь, О } , О' ( О, О) , где аЬ =/= О.2 3 .
5 2 . По отношению к аффинной системе координат данытри точки А(2, 1) , В (3 , О) , C( l , 4) . В новой системе координатте же точки имеют координаты A ( l , 6) , B ( l , 9) , С(3, 1 ) . Найтиформулы преобразования координат, а также старые координаты нового начала координат и новых базисных векторов и новыекоординаты старого начала координат и старых базисных векторов .§23 . Аффинная сис тема координат. Координаты то чки1992 3 . 53 . Известны координаты трех точек А, В, С относительно двух аффинных систем коо рдинат на плоскости .
Доказать,что формулы преобразования координат будут в этом случаеопределены однозначно тогда и только тогда, когда данные точки А , В , С не лежат на одной прямой.2 3 . 54. Даны две системы координат Оху и Ох'у' . Координаты ( х , у) произвольной точки относительно первой системывыражаются через ее координаты (х' , у' ) относительно второйсистемы по следующим формулам:х = 2х' - 5у ' + 3, у = -х' + 2у' - 2 .Найти координаты начала второй системы и ее базисных векторов относительно первой системы.2 3 .
5 5 . Координаты (х, у) каждой точки плоскости в первойсистеме координат выражаются через координаты ( х ' , у') этойже точки во второй системе координат соотношениями[ � ] = [ � ] + С [ �; ] , СЕ�2 х 2 .Первая систем координат является прямоугольной декартовой.При каком необходимом и достаточном условии вторая систематакже является прямоугольной декартовой?2 3 . 56 .
Даны две системы координат Оху и Ох ' у' . Относительно первой системы координат начало второй системы находится в точке О' ( -4, 2) , ось О'х' пересекает ось Ох в точкеА(2, О) , а ось О'у' пересекает ось О у в точке В (О , 8) . Принимая----+�за базисные векторы второй системы векторы О' А и О' В , выр азить координаты произвольной точки плоскости относительнопер вой системы через ее координаты во второй системе.2 3 . 57 .
Дан параллелограмм ОАСВ . Рассмотрим две системыкоординат, принимая за начало обеих систем вершину параллело грамма О , за базисные векторы осей Ох и Оу первой системы��соответственно векторы О А и О В , а за базисные векторы осей��0 х 1 и Оу' второй системы соответственно векторы О К и О L (Ки L - середины сторон АС и ВС) . Найти координаты вершинп а раллелограмма во второй системе.2 3 . 58. Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Найти ко----+о рдинаты (х, у) точки плоскости в системе координат {А; АВ ,200Глава�АР } , если известны{С; СВ, СЕ } .�-+VI.Векторная алгебраее координаты ( х' , у') в системе координат2 3 .
59 . В трапеции ABCD диагонали пересекаются в точке Е,а длины оснований ВС и A D относятся как 2 : 3. Найти координа---t �ты ( х , у) точки в системе координат { А ; АВ, AD } , если известны-+�ее координаты ( х ' , у') в системе координат { Е ; ЕА , ЕВ } .2 3 . 60 . В трапеции ABCD длины оснований ВС и AD относятся как 3 : 4, точка Е является серединой основания AD , апродолжения боковых сторон пересекаются в точке F.
Найти ко� �ординаты ( х , у) точки в системе координат { Е ; ЕВ , ЕС } , если из� -+вестны ее координаты ( х ' , у') в системе координат { F ; F В , FC } .2 3 . 6 1 . В прямоугольном треугольнике АБС, длины катетовкоторого равны АВ = 3 и ВС = 4, точка D является основанием высоты, проведенной из вершины прямого угла. Векторыe i , е 2 , е � , е� имеют единичную длину, причем e i сонаправлен с-+��БА,е 2 сонаправлен с ВС, е� сонаправлен с АС, е� сонаправлен�с D В. Найти координаты ( х , у) точки плоскости в системе координат {В; e i , е 2 } , если известны ее координаты ( х ' , у') в системекоординат { D ; е � , е� } .23.62 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
