Том 1 (1113042), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Два базисае = (е1 ,, e n ) и е ' = (е� , . . . , е� ) вещественного линейного пространстваV называются одинаково ориентированнъ�ми, если матрица перехода С отбазиса е к базису е ' имеет положительный определитель, и противоположноориентированн'Ьtми - в противном случае.Из определения следует, что два базиса, получающиеся друг из друга- перестановкой двух их векторов или- умножением какого-либо вектора на отрицательное число,противоположно ориентированы.Т е о р е м а 23.4. Отношение одинаковой ориентированности .яв...л.яеrпс.я отношением, эквивалентности на множестве всех базнсов пространства V .Множество всех базисов пространства разбивается отношением одинаковой ориентированности ровно на два непересекающихся класса (классаэквивалентности) так, что всякий базис принадлежит одному и только одному классу, два базиса одного класса одинаково ориентированы, а любыедва базиса из разных классов противоположно ориентированы.Один из классов называют классом прав'Ьtх (или положителъно ориентированнъ�х) базисов , а другой левъtх ( отр1t1�аrпелъно ориентированнъtх) .Каждый из этих двух классов называется ориентацией пространства.
Вещественное линейное пространство с выбранной на нем ориентацией называется ориентированнъ�м пространством. Так как класс эквивалентностипорождается любым своим представителем, то для того, чтобы ориентировать линейное пространство, достаточно задать один какой-нибудь базиспространства и объявить положительно ориентированными все одноименн ые с ним базисы.Класс правых базисов на плоскости V2 и в пространстве Vз обычно выбирают следующим образом:- упорядоченную пару неколлинеарных векторов е 1 , е2 плоскости назыв ают п]Jавой ( положиrпелъно ориентированной) , если кратчайший поворотот е 1 к е 2 выполняется против часовой стрелки, и левой ( отрицателъноориентированной) - в противном случае (начала векторов считаются совмещенными) ;- упорядоченную тройку некомпланарных векторов ei , е 2 , е з пространства называют правой ( положителъно ориенmнрованной) , если из концавектора ез кратчайший поворот от e i к е2 виден против часовой стрелки,и левой ( отрицаrпелъно ориентированной) - в противном случае (началавекторов тройки считаются совмещенными) .-VI.Глава192Векторная алгебраПреобразование прямоугольной декартовой системы координат на плоскости.
Если {О; e i , е 2 } и { О' ; е � , е � } - две прямоугольные декартовы системы координат на плоскости, то матрица перехода Сот ортонормированного базиса е = ( е 1 , е 2 ) к ортонормированному базису'е = ( е 1 , е 2 ) имеет вид/1]- sin ерcos cpесли базисы е ие'одинаково ориентированы, иsш <.р- cos cp]'если базисы е и е' противоположно ориентированы.
В первом случае новаясистема координат получается из старой переносом начала в точку О' (а, {3)и поворотом на угол <.р ( <.р - угол между e i и е � ) , во втором случае - переносом начала в точку О ' (а, {3) , поворотом на угол <.р с последующим отражением относительно е � (т.е. изменением направления е� на противоположное) .При этом формулы цреобразования координат имеют видв первом случае и{{= а + х cos <.р - у sш <.р ,у = {3 + х ' sin <.р + у' cos <.рх1/•= а + х ' cos <.р + у' sin <.р,у = {3 + х sш <.р - у cos <.рх1•1во втором.П р и м е р 23. 1 .
Дана треугольная призма АВСА 1 В 1 С1 , в которой треугольник АБС - основание , АА 1 , ВВ 1 , СС1 - боковые ребра. Найти координаты точки Ai в системе координат {В 1 ; АС1 , СВ 1 , ВА1 } .Р е ш е н и е. Координаты точки Ai в указанной системе координат совпадают с координатами вектора В 1 А1 в базисе АС1 , СВ 1 , ВА1 . Найдем этикоординаты. Имеем(23.
1)�----+�---t---t----+�Для вектора В 1 В имеют место следующие разложения:Сложив эти равенства, получимОтсюда и из (23. 1) следует, что§23 . Аффинная система координат. Координаты точки19 3---+23.2.ПримерДан вектор ОА = {х , у} . Найти координаты вектораОБ, получающегося из вектора ОА поворотом на угол ер. Система коорди натпрямоугольная.Р е ш е н и е. Пусть ОБ = {х , у } . Перейдем к новому базису е = ( e i , е2 ) ,полученному из исходного поворотом на угол ер . Тогда новые---+координатывектора О В будут совпадать с координатами { х , у} вектора О А в старомбазисе, поэтому----+---+----+/1----+х = x cos cp - у sш ср,1•у = х sш ср + y cos cp./••ЗАД АЧИВ задачах этого параграфа, если не оговорено противное, система координат считается аффинной.К о о рдин аты точки2 3 .
1 . Дан правильный шестиугольник A B CDEF. Найти координаты всех его вершин в системе координат:� �а) {А; АВ, АЕ} ;� �б) {А; АВ , АК} , где К - точка на диагонали АЕ такая ,что АК = АВ .2 3 . 2 . Даны две смежные вершины А ( - 1 , 3) , В (2 , - 1 ) п араллелограмма A B CD . Найти две другие его вершины, если известно, что диагонали параллелограмма параллельны осям координат.2 3 .
3 . Относительно прямоугольной декартовой системы координат дана точка М (х , у) . Найти точку М1 , симметричнуюточке М:а) относительно начала координат;6) относительно оси абсцисс;в) относительно оси ординат;г) относительно биссектрисы первого и третьего координатн ых углов;д) относительно биссектрисы второго и четвертого координатных углов.2 3 .4 . Даны три последовательные вершины параллелограмма А ( - 2 , 1 ) , B ( l , 3) , С (4, О) . Найти его четвертую вершину D .2 3 .
5 . Даны три последовательные вершины трапецииА ( - 1 , -2) , B ( l , 3 ) , С ( 9, 9) . Найти четвертую вершину D этой7 -427 1194ГлаваVI.Векторная алгебратрапеции, если ее основание AD в полтора раза длиннее основания В С .23.6. Даны две точки А ( - 3 , 1) и В (2 , -3) . На прямой АВнайти точку М так, чтобы она была расположена по ту же сторону от точки А , что и точка В , и чтобы отрезок АМ был втроебольше отрезка АВ .2 3 . 7 . Относительно прямоугольной декартовой системы координат дана точка М(х, у, z ) . Найти координаты точки М1 , симметричной точке М :а) относительно начала координат;б) относительно плоскости О ху ;в) относительно оси О z .23.8. Относительно прямоугольной декартовой системы координат дана точка М (х, у, z ) .
Найти ее ортогональную проекцию Мо :а) на ось О х; б) на плоскость O y z .2 3 . 9 . Дан параллелепипед AB CDA 1 B 1 C1 D 1 . Принимая за���начало координат вершину А , а векторы АВ , AD и АА 1 забазисные, найти координаты:а) вершин С , В 1 и С1 ;б) точек К и L середин ребер А 1 В 1 и СС1 соответственно ;в) точек М и N пересечения диагоналей граней A 1 B 1 C1 D 1 иАВВ 1 А 1 соответственно;г) точки О пересечения диагоналей параллелепипеда.2 3 .
10. Вершина О тетраэдра ОАВС принята за начало ко���ординат, а векторы ОА , ОБ , ОС за базисные. Найти в этойсистеме координаты точек пересечения медиан граней тетраэдра.---Деление отрез ка в отношении23. 1 1 . Найти координаты точки М, делящей отрезок М1 М2 ,ограниченный точками М1 (2, 3) и М2 ( - 5, 1 ) , в отношении:111 ) ). = 2; 2) Л = - ; З) Л = -4; 4) Л = .232 3 . 1 2 . Найти координаты середины отрезка М1 М2 в каждомиз сле,цующих случаев :1 ) М1 (2, 3) , М2 ( - 4, 7) ; 2) Mi ( -2, 4) , М2 (2, - 4) ;3) М1 (О, О) , M2 ( l , 1 ) .§23 . Аффинная система координат.
Координаты точки19 523. 1 3 . Один из концов отрезка АБ находится в точке А(2, 3) ,его серединой служит точка M ( l , -2) . Найти другой конец отрезка.23. 14. Даны две точки А(З , 4) и Б(2, - 1 ) . Найти точки пересечения прямой АБ с осями координат.23. 1 5 . Найти точку пересечения медиан треугольника с вершинами А( х 1 , у 1 ) , Б( х 2 , у2 ) , С( хз , Уз ) .23.
16. Даны середины сторон треугольника : М1 (2, 4) ,М2 ( - З , О) , Мз ( 2 , 1 ) . Найти его вершины .23 . 1 7. Даны две смежные вершины А(-4, - 7) , Б(2 , 6) параллелограмма АБСD и точка пересечения его диагоналей М(З, 1 ) .Н айти две другие вершины параллелограмма.2 3 . 18. На осях О х и Оу отложены соответственно отрезкиОА = 8, ОБ = 4 . Найти отношение, в котором отрезок АБ делится основанием перпендикуляра, опущенного на прямую АБиз начала координат. Система координат прямоугольная.23 . 19 .
Даны две точки А( -4, 2) , В ( 8 , -7) . Найти точки С иD, делящие отрезок АБ на три равные части.23 . 20. Определить координаты концов А и В отрезка, который точками С(2, 2) , D ( l , 5) разделен на три равные части.23 . 2 1 . Дана точка А(2, 4) . Найти точку Б при условии, чтоточка С пересечения прямой АБ с осью ординат делит отрезокАБ в отношении �, а точка D пересечения прямой АБ с осьюабсцисс делит отрезок АБ в отношении - � .23 .
2 2 . Даны две точки А ( 9, - 1 ) и Б( -2, 6) . В каком отношении делит отрезок АБ точка С пересечения прямой АВ с биссектрисой второго и четвертого координатных углов?23 . 2 3 . Найти точки А и В , зная , что точка С(-5, 4) делитотр езок АБ в отношении i, а точка D (6, -5) в отношении � ·2 3 . 24. На сторонах АБ и АС треугольника АБС взяты соот в етственно точки М и N так, что ( АБМ) = µ , ( A CN ) = v .Точ ку пересечения отрезков B N и СМ обозначим через О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
