Том 1 (1113042), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Множество всех решений однородной систем'ЫОЛюбой базис подпространства решений однородной системы линейныхуравнений называется фундаментал ъной системой решений (Ф.С.Р. ) .18 0ГлаваV.Системы линейных алгебраических уравненийп - r,Т е о р е м а 22.2. Размерн.остъ подпространства решений однородОс22. 2 :ной систе.м,u Ах=пнеизвестнъtми равнагдеr=rg А .Общий принцип построения фундаментальной системы решений следует из теоремытак как размерность подпространства решений однородной системы равна п - r , то для построения фундаментальной системы решений достаточно найти любые п - r линейно независимых решенийДля этого достаточно свободным неизвестным придать п - r линейно независимых наборов значений, т.е.
наборов вида ( c1,r + 1 , . . . , с1 п ) , . . . ,(сп- т,r + 1 , . . . , Cn - r , n ) , ДЛЯ КОТОРЫХC 1,r+ 1C1 n__J_ о .;Cп-r, nСп-т,r+ 1Если для каждого из этих наборов найти соответствующие значенияглавных неизвестных, то получим п - r линейно независимых решений системы:(§17).•••••••••еп-т = (Сп - т, 1 , · · , Сп-r, т , Сп-r, т + 1 , . .
. , Сп -r, п Т .Фундаментальная система решений e i , . . . , еп-т однородной системы линейных уравнений позволяет записать любое решение системы в общем виде:Х = G 1 e1 + . . . + й п-т е n -r , \/а1 , . . . , G п-r Е IR .Это представление решения называется общим решением однороih-t,ойсисте.м,u уравнений 'Через фундаментальную систе.м,у решений.ПустьАх = Ь- неоднородная система линейных алгебраических уравнений.
Однороднаясистема)··А х ==полученная из системы( 22 .1)( 22. 2 )О,(22.1) заменой свободных (22.1).членов нулями, называетсяприведенной оih-t,ородной системой для системыIvleждy решениями обеих систем существует тесная связь:1)сумма решею.tй неоднородной и приведенной оih-юродной систем .являете.я решением неоднороih-t,ой системu;2) разность двух решений неоднородной системu .являете.я решением,приведенной однородной систем'Ы.Т е о р е м а 22.3. Множество всех решений неоih-юродной системъt.явл.яетс.п линейнuм м'Ногообразнем, полу'Ченнъш сдвигом подпространстварешений приведенной однородной системъt на 'Частное решен.ие н.еоднородной системu.Итак, найдя одно (частное) решение неоднородной системы и прибавляяего к каждому решению приведенной системы , можно получить все решения неоднородной системы.
Это позволяет записать решение неоднороднойсистемы в общем виде следующим образом:х = с + а1 е1 + . . . + й п-тСп - т ,\/а1 , . . . ' G n - r Е IR,(22. 3)где с - частное решениеа e i , . . . , еп - r - фундаментальная системарешенийПредставлениерешения называется общим решениемнеоднородной систе.м,u уравнений 'Через фундаментальную систе.м,у реше(22. 2 ).ний.(22.1),(22. 3 )181§22.
Геометрические свойства решений системы{П р и м ер 22. 1 . Построить фундаментальную систему решений системыуравненийх 1 + 2х 2 + 4х з - 3х 4 = О,3х 1 + 5х 2 + 6х з - 4х 4 == О,4х 1 + 5х 2 - 2х з + 3х 4 = О,3х 1 + 8х 2 + 24х з - 19х 4 = О .Р е ш е н и е. Приведем расширенную матрипу системы к трапециевиднойформе:[ � � J =н J [ � =! _J �н J [ � ! � =� � J .--+3 8 24 - 1 9 оо212 - 1 о о----+о о оо оВыберем свободными неизвестные х 3 , Х 4 . Так как количество неизвестных п равно 4, а ранг r основной :матрицы равен 2, то Ф.С.Р. содержитп - r == 2 решения.
Придадим свободным неизвестным х з , Х4 два наборазначений: (1 , О ) и ( О, 1 ) и найдем в каждом случае значения главных неизвестных из уравнений преобразованной системы:х 2 == 5х4 - 6хз ,х 1 = 3х4 - 4х з - 2 х 2 == -7х4 + 8хз .Результаты сведем в таблицу:Х1 Х2 Х3 Х48 -6 1 о5 о 1-7Итак, решеният е 2 == ( -7, 5, О, 1 ) тei = (8, -6, 1 , О ) ,образуют фундаментальную систему. •П р и м е р 22 .
2. Найти общее решение неоднородной системы уравненийчерез фундаментальную систему решений:6х 1 + 3х 2 + 2х з + 3х4 + 4х 5 = 5,4х 1 + 2х 2 + х з + 2х4 + 3х 5 = 4,4х 1 + 2х 2 + 3х з + 2х 4 + Х5 == О,2х 1 + х 2 + 7х з + 3 х4 + 2х 5 = 1 .Р е ш е н и е. Приведем расширенную :матрипу системы к ступенчатойформе:6 3 2 3 41 7 3 27 3 214 2 1 2 32 3 2 1о - 1 1 -4 -32 1 2 34 2 3 2 1о - 13 -4 - 1 2 -+2 1 7 3 2о - 19 -6 -2 23 2 3 4{[�} ] [ ��{ в2-и�чтемстрокииз3-ю строку�[-+i1ооо0071оо[J1ооо3о46� ] ][ i[1 []�3 2 172 о -2 -4- 1 3 -4 - 1 2- 19 -6 - 2 22 1 7 32- 1 -2о о 1 о14 24о о о 221 36о о о о-+�2ооо1ооо2-17о7113191-216J]j]3 2о -14 1 -26 2 -2].�(22.4)182ГлаваV.Системы линейных алгебраических уравнений{Найдем Ф.С.Р.
приведенной однородной системы2х 1 х 2 + 7х з + 3х4 + 2х 5 О,Х3 Х5 2х 4 + 7х5 = О.Так как количество неизвестных п равно 5 , а ранг r основной матрицысистемы равен 3, то Ф.С.Р. содержит п - r = 2 решения. Выразиl\11 главныенеизвестные х 1 , х з , Х4 через свободные неизвестные х 2 , Х5 :7Х 4 = - - Х5 ,2Х 3 = Х5 ,131х 1 = 2 ( -х 2 - 7х з - 3х 4 - 2х 5) = - 2 х 2 + 4 х5 .+_0,Во избежание дробных чисел придадим свободным неизвестным х 2 , Х5 следующие линейно независимые наборы значений: (2, О) и (О, 4) . Тогда получим:о 2 о-1 о3 4 - 14 о 4Таким образом , решеният , е 2 = О, 4, - 14, 4)тe i = ( - 1 , 2, О, О, О)образуют Ф.С.Р.
приведенной однородной системы.Найдем какое-нибудь частное решение исходной системы. Придадим свободным неизвестным значения х 2 = О, Х5 = 2. Тогда из системы, соответствующей правой расширенной матрице (22.4) , следует:2х 4 = 12 - 7х 5 = -2 => Х 4 = - 1 ,Х3 = - 2 + Х 5 =2х 1 = 1 - х 2 - 7х з - 3х 4 - 2х 5 = О => х 1 = О.Таким образом, с == (О, О, О, - 1 , 2) т - частное решение.Согласно (22.3) общее решение исходной неоднородной системы имеетвидх = (О, О, О, - 1 , 2) т + а 1 ( - 1 , 2, О, О, О)т + а 2 (3 , О, 4, - 14, 4) т , а 1 , а 2 Е IR. •(3,0,ЗАД АЧИН айти фундаментальную систему решений для сле,цующихсистем уравнений.{2 2 . 1 . Ох 1 + Ох 2 + Ох з + Ох4 = 0 .
2 2 . 2 .= 0,{ 129хХ11 ++ 2l28хХ22 -- 201 5хХз3 ++ 5х47 Х4 = .о10х 1 + 6х 2 + 1 5 хз - Зх 4 - l8x 5 = О,22 . 3 .З х 1 + 2х 2 + 5х з - х 4 - 6х 5 = О,-9 х 1 - 4х 2 - 1 0х з + 2х 4 + 12 х 5 = О .2 х 1 + х 2 + 4х з + х 4 = О,2х 1 - 5х 2 + 4х з + Зх 4 =0,+ 5х 4 =0, 2 2 5 3х 1 + 2 х 2 - х з - 6х 4 = О,2 2 . 4 . 3х 1 - 4х 2 + 7х з4х 1 - 9х 2 + 8 х з + 5х 4 =0, · · 7х 1 + 4х 2 + 6х з - 5х4 = О,Зх1 - 2х 2 + 5х з - Зх 4 =0.х 1 + 8 х з + 7х 4 = О.§22. Геометрические свойства р ешений системы22.6.2 2 . 7.2 2 . 8.{1 83х 1 + 4х 2 + 2х з - Зх 5 = О,2х 1 + 9х 2 + 5 хз + 2 х4 + х5 = О ,х 1 + Зх 2 + хз - 2х 4 - 9 х 5 = О .2х 1 - Х 2 - Х 3 - Х4 - Х5 = 0 ,- Х1 + 2 х 2 - Х 3 - Х4 - Х5 = 0 ,4х1 + х 2 - 5х з - 5х 4 - 5х5 = О,Х1 + Х 2 + 2х з + Х4 + Х5 = о ,Х1 + Х2 + Х 3 + 2Х4 + Х5 = 0 .х 1 + 2 х 2 + З х з + 2х 4 - 6х 5 = О,2х 1 + Зх 2 + 7х з + 6х4 - l8x 5 = О,Зх 1 + 1 5х 2 + l l x з - Х4 + З х5 = О ,2х 1 + 6х 2 + 7х з + З х4 - 9 х 5 = О,х 1 + 4х 2 + 5х з + 2х 4 - 6х5 = О .{Н айти базисы линейных подпространств решений следующихсистем .3 х 1 + 5х 2 + 2 х з = О,4х 2 + 5х з + Зх 4 = 0 ,оо ' 2 2 .
10. 2х 1 =4+7+5ХХХ12322.9 .З х 1 - 6х 2 + 4х з + 2х4 = 0,х1 + х 2 - 4 х з = ,4х 1 - 8 х 2 + 1 7х з + 1 1 Х4 = О.2 X l + 9Х2 + 6Х3 = о .З х 1 + 2х 2 + х з + Зх4 + 5х 5 = О ,6 х 1 + 4х2 + Зх з + 5х4 + 7х 5 = О ,22 . 1 1 .9 х 1 + 6х 2 + 5х з + 7х4 + 9х 5 = О,Зх 1 + 2х 2 + 4х 4 + 8 х 5 = О.Х1 - Х 3 + Х5 = 0,Х 2 - Х4 + Х5 = 0,22 . 1 2 . Х 1 - Х2 + Х5 - Х 5 = 0 ,Х 2 - Х 3 + Х6 = 0,Х1 - Х4 + Х5 = 0 .5х 1 + 6х 2 - 2х з + 1х 4 + 4х 5 = О ,2х 1 + Зх 2 - х з + 4х 4 + 2х 5 = О,22 .
1 3 .7х 1 + 9 х 2 - Зх з + 5х 4 + 6х 5 = О,5х 1 + 9х 2 - Зх з + Х4 + 6х 5 = О .2 2 . 14. Для линейного подпространства векторов х = (х 1 , х 2 ,х з , х4 ) Е JR 4 , удовлетворяющих условиям х 1 = х з , х 2 = Х4 , найтидва различных базиса, содержащих общий вектор e i = ( 1 , О , 1 , О) .Найти общее решение следующих систе м уравнений через ихфундаментальные системы решений.184Глава22 . 1 5 .{V.Системы линейных алгебраических уравненийЗ х 1 + 5 х 2 - 4х з + 2х 4 = О,2х 1 + 4х 2 - 6х з + 3 х4 = О,1 1 х 1 + 1 7х 2 - 8х з + 4х 4 = О.3 х 1 + 5 х 2 + 3 х з + 2 х4 + х 5 = О ,5 х 1 + 7х 2 + 6х з + 4х 4 + З х 5 = О,7х 1 + 9х 2 + 9х з + 6х4 + 5 х 5 = О,4х 1 + 8х 2 + 3 х з + 2х 4= О.5 х1 + 7х 2 + 6 х з - 2 х4 + 2 x s = О,8 х1 + 9х 2 + 9 х з - 3 х 4 + 4х 5 = О,7х 1 + х 2 + 6 хз - 2 х4 + 6х5 = О,4х 1 - х 2 + 3 х з - х4 + 4х 5 = О .2 2 .
16.2 2 . 17.3 х1 + 4х 2 + х з + 2 х4 + З х 5 = О,5 х 1 + 7х 2 + х з + З х 4 + 4х5 = О,4х 1 + 5 х 2 + 2х з + х4 + 5 х 5 = О,7х 1 + lOx 2 + х з + 6 х4 + 5 х 5 = О.2 2 . 18.Х1 + Х2 = 0 ,Х1 + Х 2 + Х 3 = 0 ,Х2 + Х 3 + Х4 = 0 ,22. 19.Хп - 2 + Хп - 1 + Хп = О ,Хп - 1 + Xn = О .Н айти общее решение следующих систем уравнений черезфундаментальную систему решений приведенных систем.2 2 . 20 .{х 1 - З х 2 - 3 х з - 14х4 = 8,2х 1 - 6х 2 - 3х з - х 4 = - 5 ,3 х 1 - 9х 2 - 5 х з - 6х 4 = -4.- 2х 2 - х з - 2х 4 - 3 х 5 = -2,- 6х 2 - 2х з - 4х 4 - 5 х 5 = - 3 ,- 6х 2 - 4х з - 8х 4 - 1 3 х 5 = -9,- 4х 2 - х з - х4 - 2x s = - l .22 . 2 1 .х13х 13х 12х 122.22.х 1 + 9х 2 + 4х з - 5х 4 = 1 ,3х 1 + 2х 2 + 2х з + 5 х4 = 3 ,2х 1 + З х 2 + 2х з + 2х 4 = 2,х 1 + 7х 2 + 6х з - Х4 = 7,2х 1 + 2 х 2 + 3х з + 4х 4 = 5 .§22 .
Геометрические свойства решений системы22 . 2 3 .2 2 . 24.22.25.{1 852 х 1 + х 2 + Зх з - 2 х4 + х5 = 4,6 х1 + Зх 2 + 5 хз - 4 х4 + Зх 5 = 4,2 х1 + х 2 + 7х з - 4х 4 + х 5 = 12 ,4х 1 + 2 х 2 + 2 хз - Зх 4 + Зх5 = 6.8 х1 + 6х 2 + 5 хз + 2 х4 = 2 1 ,З х 1 + Зх 2 + 2 хз + х 4 = 1 0,4х1 + 2х 2 + Зх з + Х4 = 8,Зх1 + 5 х 2 + хз + Х4 = 1 5 ,7х 1 + 4х 2 + 5х з + 2 х4 = 18 .2х 1 + 6 х 2 + 7х з + 2х 4 + х5 + З хв = 4 ,З х 1 + 9 х 2 - 5 х з + З х 4 - 6х 5 + 2 х в = 6,-х 1 - З х 2 + 4хз - х 4 + 7х 5 + хв = -2 .Найти размерность направляющего подпространства линейного многообразия решений следующих систем в зависимости отзначений параметра Л.2 2 .
26.22 · 27 ·{(5 - Л)х 1 - 2х 2 - хз = 1 ,-2 х1 + ( 2 - Л) х 2 - 2х з = 2 ,- х1 - 2 х 2 + ( 5 - Л) хз = 1 .- х 1 + ( 1 + Л) х 2 + ( 2 - Л)х з + Лх 4 = 3 ,Л х 1 - х2 + (2 - Л)х з + Лх4 = 2 ,Л х1 + Лх 2 + (2 - Л)х з + Лх 4 = 2 ,Лх 1 + Лх 2 + (2 - Л)х з - х 4 = 2 .22 . 28 . Проверить, что система2 х 1 + 4х 2 + 6х з + 5х 4 + Зх 5 = О,5х 1 + 6х 2 + 7х з + 9х 4 + 6х 5 = О ,4х 1 + 6х 2 + 8 х з + 7х4 + 5х 5 = О,5х 1 + 5х 2 + 5х з + 8 х4 + 6х5 = О,3х 1 + 4х 2 + 5х з + 6 х4 + 4х5 = Ои меет бесконечно много решений, причем в каждом ее решенииХ 4 = Х5 = О .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
