Том 1 (1113042), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Найти формулы преобразования аффинной системыкоординат в пространстве в каждом из следующих случаев (координаты новых базисных векторов и нового начала координатзаданы в старой системе) :1 ) е� = { 2 , 4 , 1 } , е� = { О , 4 , 4 } , е 3 = { 1 , 1 , О } , 0'(2, 1 , 3) ;2) е� = { 4, 2 , 1 }, е� = { 5 , 3, 2 } , еЗ = {3, 2, 1 } , O'(l , 1 , 2) .2 3 . 63. Даны две системы координат O x yz и O' x 'y'z'. Координаты (х, у, z ) произвольной точки относительно первой системывыражаются через ее координаты ( х ' , у', z') относительно второйсистемы по следующим формулам :а) х = х ' + у' + z' - 1 , у = - х ' + z' + 3 , z = - х ' - у' - 2 ;б) х = -2 x ' - y' - z' - l , у = -y' - z' , z = x ' + 3y' + z' + l .В каждом из указанных случаев найти координаты начала второй системы и ее базисных векторов относительно первой системы.23.64.
По отношению к аффинной системе координат данычетыре точки A ( l, О, О) , В(О, 1 , О) , С(О, О, 1) , D(l, 1 , 1) . В новойсистеме координат те же точки имеют коордпнаты А ( 1 , - 1 , О) ,§23 . Аффинная система координат. Координаты точки201В (О, 1 , 1 ) , C ( l , О, 1 ) , D ( O , 1 , - 1 ) . Н айти формулы преобразованиякоординат, а также старые координаты нового начала координати новых базисных векторов и новые координаты старого началакоординат и старых базисных векторов .2 3 . 65 .
Известны координаты четырех точек А, В , С, D относительно двух аффинных систем координат в пространстве. Доказать, что формулы преобразования координат будут в этомслучае определены однозначно тогда и только тогда, когда данные точки А, В , С, D не лежат в одной плоскости.2 3 . 65 . 1 . В прямоугольной декартовой системе координатOxyz произведено "переименование" координатных осей.а) Показать, что "переименование" х ' = у, у' = z , z' = х эквивалентно суперпозиции поворотов вокруг координатных осей .б) Верно ли аналогичное утверждение для "переименования"х' = z , у' = у, z' = х ?2 3 .
66 . Даны две системы координат Oxyz и Ох ' у ' z' с общимначалом О и одинаковыми по длине базисными векторами повсем осям обеих систем . Первая система прямоугольная; ось Oz'второй системы совпадает с осью Oz первой, а оси Ох' и Оу' сутьсоответственно биссектрисы углов xOz и yOz . Найти формулыпреобразования координат при переходе от первой системы ковторой.23.67. В пространстве даны две прямоугольные системы координат { О ; e i , е 2 , е з } и { О ; е � , е � , е З} . Вторая система координат получена из первой в результате последовательного выполнения двух поворотов на угол 45° : сначала вокруг оси Ozв направлении кратчайшего поворота от e i и е 2 , а затем вокруг новой оси абсцисс в направлении кратчайшего поворота отнового вектора е 2 к вектору е з . Найти координаты (х, у, z) точки в первой системе координат, если известны ее координаты( х' , у', z ' ) во второй системе координат.2 3 .
68 . Найти формулы преобразования координат при переходе от одной прямоугольной системы координат Oxyz к другойпря моугольной системе О' х' у' z ' , если системы одинаково ориентированы, начало второй системы находится в точке О' ( 1 , 2, 3) и--------( е 1 , е� ) = arcco s � , ( е 1 , е� ) = arccos ( - � ) , ( е 1 , еЗ ) < ; , ( е 2 , е � ) =----arccos ( - � ) , ( е 2 , е � ) > � ·2 3 . 69 . Даны две прямоугольные системы координат Oxyz иО' х'у' z' . Начало второй системы находится в точке 0' ( 2, 1 , 2 ) ; ось---------Глава202VI.Векторная алгебраО' х' проходит через точку О, а ось О' у' пересекаетось Оу в точке'А. За положительное направление оси О' х принято направлениевектора О' О, за положительное направление оси О' у' направление вектора О' А ; положительное направление оси О' выбра��-z'но так, чтобы системы были одинаково ориентированы. Выразить координаты ( х , у, z ) произвольной точки относительно первой системы через ее .
координаты ( x ', y', z' ) во второй.2 3 . 70 . в пространстве даны две прямоугольные системы координат {О; ei , е 2 , е з } и { О'; е � , е � , е � } . Начало второй системыкоординат имеет в первой системе координаты ( - 1 , 3, 5) . Векторе � образует углы, равные 60 ° , с векторами e i и е 2 и острый уголс вектором е з . Вектор е� компланарен с векторами ei и е2 иобразует с вектором е 2 острый угол. Системы координат одинаково ориентированы. Найти координаты ( х , у, z) точки пространства в первой системе координат, если известны ее координаты( х' , у' , z ' ) во второй системе.23 .
71 . В пространстве даны две прямоугольные системы координат { О; e i , е 2 , е з } и { О' ; е � , е � , е � } . Точки О и О' различны, а концы векторов ei и е� , отложенных соответственно източек О и О', совпадают (i 1 , 2 , 3) . Найти координаты ( х , у, z )точки пространства в первой системе координат, если известныее координаты ( х' , у', z ' ) во второй системе.23.
72 . Координаты (х, у, z ) каждой точки пространства впервой системе координат выражаются через координаты ( х ' , у',z') этой же точки во второй системе координат соотношениями=Первая систем координат является прямоугольной декартовой .При каком необходимом и достаточном условии вторая систематакже является прямоугольной декартовой?23 . 73. В основании призмы ABCDA 1 B1 C1 D1 лежит ромбс острым углом А, равным 60 ° .
Точка К лежит на продолжении ребра АВ за точку В, причем угол AD К прямой. Найти координаты ( х , у, z ) точки пространства в системе координат� � ---tизвестны ее координаты (х', у', z') в си{А; АВ, AD , АА 1 }, если� �стеме координат { К ; КА, KD , КС1 } .203§24. Скалярное произведение2 3 . 74 . В треугольной призме АВСА 1 В 1 С1 точка М точкапересечения медиан грани AiB 1 C1 . Найти координаты (x, y, z)-----+ � �точки пространства в системе координат { А ; АВ , А С, АВ 1 } , если-t'известны ее координаты ( х', у , z' ) в системе координат { А 1 ; A iB ,---tAi C, А1 М} .2 3 .
75 . В тетраэдре ABCD точка М точка пересечения медиан грани BCD. Найти координаты (х, у , z) точки пространства� � �известны ее коордисистемекоординатАВ,АС, AD } , еслиАв{ ;� � �наты (x ' , y', z') в системе координат { М ; МВ, МС, МА } .23. 76. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF свершиной S точка М является центром основания. Найти коор-----+динаты ( х , у , z) точки пространства в системе координат { А ; АВ,� �известны ее координаты (х', у' , z ' ) в системе коAF, AS } , если� � �ординат { S ; SC , SD, SM } .2 3 . 77.
Дан параллелепипед ABCDA 1 B 1 C1 D 1 . Найти коор�динаты (х, у , z) точки пространства в системе координат {А; АС,� �АВ 1 , АА 1} , если известны ее координаты ( х' , у ' , z') в системе координат { D 1 ; D i D, D i C1 , D i B } .-§ 24 .Скал ярное произведениеОкал.ярн'ым произведением ( а, Ь ) ненулевых векторов а и Ь называетсячисло, равное произведению длин этих векторов на косинус угла междуними:( а , Ъ ) = 1 а ! 1 Ъ 1 cos ( а , Ь ) .Если один из векторов а или Ь нулевой, то скалярное произведение этихвекторов по определению считается равным нулю.Из определения следует, что 1 aj = J( а , а ) , cos ( ;,h) = ( а , Ъ ) / ( 1 al · 1 Ъ j ) .Величина ( а , а ) называется скал.ярн'Ым квадратом вектора а и обозначается а2 .
Очевидно, что а2 = 1 al 2 .Обозначим через pr Ь ортогональную проекцию вектора Ь на ось, определенную вектором а i= О .Т е о р е м а 24. 1. Если а i= О, то дл.я любого вектора Ь( а , Ъ ) 1 al (pr Ъ) == ( а , pr Ъ) .-·а=аТ е о р е м а 24.2. Дл.я любых векторов1) ( а , Ъ ) = ( Ь, а ) ;2) ( а + Ь, с) = ( а , с) + ( Ь, с) ;3) ( а а, Ь ) = а ( а, Ь ) ;аа,Ь, с и 'Числа а Е IR204VI.Глава4) ( а, а)Векторная алгебра>О,при'Чем( а, а) = О тогда и толъко тогда, когда а == О .•Из свойств 1 -3 следует, что скалярное произведение линейно и по вто( а , Ь + с ) ( а, Ь) + ( а , с , ( а, а Ь) = а ( а , Ь) .Скалярное произведение векторов может быть вычислено по их координатам , если известна ''таблица умножения" базисных векторов: если3з з3то ( а, Ъ) =а ==Ъ=рому множителю:)==L L ai{Зj (ei, ej).L rзie�,L ai ei,i=li= li= l j = lВекторы а и Ь называются ортогон алънЪtми, если ( а, Ь) == О.
Из определения следует, что векторы а и Ь ортогональны тогда и только тогда,когда либо один из них нулевой, либо они перпендикулярны. В терминахгде п ==ортогональности векторов ортонормированность базиса i ,2, 3 , означает, чтоi =1= j,e ) =i == j.Матрица( ei ,( e i , е 2 ) ( е 1 , ез )G( i , е 2 , е з ) ==( е 2 , e i ) ( е 2 , е 2 ) ( е2 , е з )( ез , i ) ( е з , е2 ) ( ез , ез )называется матри'Цей Грама системы векторов е 1 , е 2 , ез , а ее элементы== ( i , j ) - метри'Ческими коэффи'Циентамtt.Т е о р е м а 24.3.
Координатъt {а 1 , а 2 , аз } вектора а в базисе i ,е 2 , ез вЪt'Числ.яются по правилу== ( а,i == 3 ,1,e . . . , en ,( ei , j { �:[ ei )ee]9ij e eeй1,ei),iтогда и толъко тогда, когда этот базис ортонормированнЪtй .Направляющими косинусами вектора (луча ) называются косинусы уг-лов, образованных этим вектором ( соответственно лучом ) с осями координат.Если e i , е 2 , ез - ортонормированный базис и е - единичный вектор, то( е, е 1 ) = cos( e,et ) , ( е, е2 ) = cos( е:е2 ) , ( е, е з ) = cos( е,ез ) ,и следовательно, в силу теоремы 24.3 направляющие косинусы вектора еявляются его координатами в этоl\1 базисе.Т е о р е м а 24.4. Скалярное произведение векторов а = а1 е 1 +{31 e i + {32 е 2 + !Зз ез равно сумме попарнъ�х произ веа2 е 2 + а3 е з и Ьдений координат3( а, Ь) == L a {Зiii=lтогда и толъко тогда, когда е 1 , е 2 , е з - ортонормированн'Ы,й базис .С л е д с т в и е 1 .
Если векторЪt а == { а1 , а2 , аз } , Ь { {31 , {32 , !Зз } задан'Ыкоординатами в ортонормированном базисе, тоа 1 {31 + а2{32 + аз !Зз .l l = /a 2 + a 2 + a 2 ; cos( a, b ) ====ay 1_2. В2зl al l b lСл е д с т в и епр.ямоуголъной декартовой системе координат расстояние р(А, В) между то'Чками А(х1 , у 1 , z1 ) и В (х 2 , у2 , z 2 ) равнор(А, В ) == J(x 2 - х 1 ) 2 + (у2 - у 1 ) 2 + ( z2 - z 1 ) 2 .§24 .205Скалярное произведениеП р и м е р 24. 1 . Пусть А , Б , С и D - произвольные точки плоскости илипространства.а) Доказать, что---+--+�--+----+--+(АБ, СD) + (БС, АD) + (СА, БD) == О.(24.
1 )б ) Используя тождество (24 . 1) , показать, что в любом треугольнике высоты пересекаются в одной точке.Р е ш е н и е. а) Выразим все участвующие в левой части· (24 . 1 ) векторы----+---+---+через векторы а = АБ, Ь = ВС, с = CD и воспользуемся линейностьюскалярного произведения по обоим его сомножителям:( а, с) + ( Ъ, а + Ъ + cJ + (- а - Ь, Ъ + с) == ( а, с) + ( Ъ, а) + 1 bl 2 ++ ( Ь, с) - ( а, Ъ ) - 1 ЪI - ( а, с) - ( Ъ, с) = О .б) Пусть теперь точка D - точка пересечения высот, проведенных извершин А и С треугольника АБС. Тогда первые два слагаемых в левой части(24.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
