Том 1 (1113042), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Ребро куба ABCDA1 B 1 C1 D1 равно 2, точка К - центргр ани АВВ 1 А1 . Среди треугольников KTD , где точка Т лежит на прямойВ ортонормированном базисе-----+ � ------+.DK , DC и DD 1 имеют координаты-----+---?DKDCпоэтому-----+-----+----+---+=---+•СС1 , найти треугольник наименьшей площади.Глава220VI.Векторная алгебраР е ш е н и е. Имеем Sктv ! DK h, где h - высота треугольника KTD.Площади всех таких треугольников определяются длинами высот. Средивсех высот h наименьшую длину имеет общий перпендикуляр к прямым DKит.е.
его длина совпадает с расстоянием между ближайшими точкамиследует, что hmin p(DK,этих прямых. Из примераDK Vб. Таким образом, Smin•Дан треугольникПримерНайти все такие точкичтоплощади треугольниковиравны.Р е ш е н и--+е. Таккак----+площадитреугольниковиравны,-4---+� ---+одинаковы по длине. Из опредето векторы---+ ---+ ----+ ---+ления векторного произведения следУет, что векторы---+ --+f PC ,перпендикулярны плоскости треугольникаи сонаправлены.Таким образом,==·СС1,== СС1) = 4J5/5 ,25.2= 2v'з0/5.25. 4 . А БР, БСР ААБС.Р,СР АВР, БСР СРА[РА, РБ], [РБ, РС], [P�· , PAJ[РА, РБ], [РБ, РС],РА]АБС--+--+РБ]=РБ,РС][P=L:,[РА,PA].[(25.1)---+----+--+Выразим векторы РВ и РС через векторы р = А Р, Ь = А Б и с = А С:РБ == Ь - р, РС == с - р .Подставим эти соотношения в (25.1) и преобразуем получившиеся ра-----+---+---+---+---+---+�--+венства в соответствие со свойствами векторного произведения:р) - (р, с] + [Ь, с],{ (-[- р,р, ЬЬ -- р)р] == [с[Ь -- р,р, -с р]- р), { [[--р,р , Ь]Ь] == -[Ь,- [ с, р){ [(Ь2 Ь+-с,с,р]р]==О.[Ь, с],{=:::>{=:::>р Ь+ са(1 - За)[Ь, с] =а=1/3.р=1 ( Ь + с).�Так как конец вектора А М = � р = 1 ( Ь + с) делит сторону БС треугольника пополам, то А М - медиана треугольника, а точка Р делит этумедиану в отношении 2 : 1, считая от вершины А.
Поэтому Р - точка пересечения медиан в треугольнике А БС. •П р и м е р 25. 5 . Доказать, что векторы а, Ь, с не компланарны тогдаи только тогда, когда не компланарны векторы (Ь, с], [с, а], [ а, Ь).Р е ш е н и е. Пусть векторы а, Ь, с не компланарны. Рассмотрим равенствоаЬ,с)+[а,Ь]с,а]+[== О .[113Умножая скалярно обе части этого равенства на вектор а, в силусвойств смешанного произведения получим а = О. Аналогичным образомдоказывается, что J3 = ')' = О.
Это означает линейную независимость (т.е.некомпланарность) системы векторов [Ь, с], [с, а], [ а, Ь].Пусть теперь [Ь, с], [с, а], [а, Ь] не компланарны. Рассмотрим равенствоа а + j3Ь + 1' с = О.Из второго равенства последней системы следует, что векторы иколлинеарны и потомудля некоторого Е IR . Тогда из первогоравенства системы получим:{=}О.не нулевой и, тем самым,ВекторСледовательно,р = а( Ь+ с)[[Ь,2 Ь с]- с , аЬ + ас] = [Ь, с]§25. Векторное и смешанное произведения221Ь, с],Умножая скалярно обе части этого равенства на вектор [в силу свойствсмешанного произведения получим а == Аналогичным образом доказывается, что f3 == 1 == 0.
Это означает неко:мпланарность векторов. •Две тройки векторов а 1 ,аз иназываются взаимнuмибиортогоналън'ыми) , если векторы этих троек связаны соотношениямиО.Ь 1 , Ь2 , Ьза, Ь, са2 ,i i= j ,( ai. ' Ь . ) { О,1 , еслиесли i == j .задачи из примера 25 . 5 фактически показано, что если(векторова, Ь,В с)решении1,то==а, Ь, с. тройка [ Ь, с] , [с, а], [а, Ь] является взаимной к тройкеП р и м е р 25 . 6 .
Доказать, что для любых векторов а , Ь и с пространства выполнено тождество[а, [Ь, с] ] = Ь(а, с) - с( а, Ь) .Р е ш е н и е. Выберем правый ортонормированный базисез , взявв качестве вектора вектор единичной длины, коллинеарный вектору Ь, вкачестве вектора е 2 вектор, компланарный Ь и с, и е з == [ е 2 ]· В этомбазисе векторы Ь, с, а имеют координаты:аЬс,О},а=}.,а,а={Ь,0,0},с{1з=={с1,22Тогдаее2зьооЬ,с]==[С1 С2 0[а, [ Ь, с] ] = {а2 Ьс2 , - а1Ьс2 , О},Ь( а, с) - с ( а, Ь ) = {(а 1с1 + а2 с2)Ь, О, О} - {с1а1Ь, с2а1Ь, О} ={ а 2 с2 Ь, -с2 а 1 Ь, О } [а, [ Ь, c] J .П р и м е р 25 . 7. Найти объем V параллелепипеда, построенного на тройке базисных векторов а, Ь, с, если известна матрица Грама G = G ( а , Ь, с).Р е ш е н и е.
Пусть2 , ез ортонормированный базис, одинаково ориентированный с тройкой а, Ь, с, и пусть векторы Ь, с в этом базисе имеют координаты: а == {а 1 ,а2,аз }, Ь = { Ь 1 ,Ь2 ,Ьз } , с = { с 1 ,с2 , сз }. Тогдаа а 2 азV == ( а, Ь, с ) = Ь1 Ь2 Ьзс1сС2зааз2v Ь1 Ь22 Ьз а2 Ь1Ь2 С1С2с1 С2 сз аз Ьз Сз(1_-ei ,eiе2 ,ei ,-ei==•==ei ,е-а,1==откуда получаем, чтоaivai= JI G( а, ь, c ) I .•ЗАД АЧ ИВ задачах этого параграфа считается, что координаты вектор ов заданы в прямоугольной декартовой системе координат,222ГлаваVI.Векторная алгебратройка e i , е 2 , е з базисных векторов которой - правая. Случаидругих систем координат оговариваются особо.2 5 . 1 . Является ли векторное произведение алгебраическойоперацией на множестве Vз геометрических векторов пространства ?25 .
2 . Является �и бинарное отношение R отношением эквивалентности на множестве Vз геометрических векторов пространства, если:a) xR y {::=:::> [ х, у] = О;б) xR у {::=:::> [ х- у , а] = О , где а Е V3 - заданный ненулевойвектор;в) xR y {::=:::> ( х , у , а) = О , где а Е Vз - заданный ненулевойвектор;г) xR y {::=:::> ( х - у , а, Ь) = О, где а, Ь Е Vз - заданныенеколлинеарные векторы?25 . 3 . Пусть а - заданный ненулевой вектор. Является лиотображение х i---+ [ х, а] пространства Vз на себя биективным?25.4.
Даны векторы а = { 1 , 3 , - 2 } , Ь = { 2, 4 , - 1 } , с ={ 1 , 4, -4 } . Найти координаты векторов [ Ь, с] , [ с, а] , [ а, Ь] и выяснить, образуют ли найденные векторы тройку, взаимную к векторам а, Ь, с.2 5 . 5 . Зная два вектора а и Ь , найти :1 ) [ а, а + Ь] ; 2) [ а + Ь , а - Ь] ; 3) [2 ( а + Ь) , 2 Ь - а] .2 5 . 6 . Показать, что [ а, Ь] 2 + ( а, Ь ) 2 = а2 Ь 2 .25 . 7 . При каком значении а Е IR векторы р = а а + 5 Ь и q =3 а - Ь �оллинеарны , если известно, что а и Ь не коллинеарны?2 5 .
8 . Доказать, что для любых векторов а, р , q , r векторы[ а, р] , [ а, q] , [ а, r] компланарны.2 5 . 9 . Доказать, что если векторы а, Ь, с не коллинеарны, торавенство [ а, Ь] = [ Ь , с] = [ с, а] выполняется в том и только втом случае, когда а + Ь + с = О .2 5 . 10. Доказать, что для точки О внутри треугольника АБСплощади треугольников ОАВ, ОВС и ОСА равны тогда и только тогда, когда О - точка пересечения медиан.2 5 .
1 1 . Из одной точки проведены три некомпланарных вектора а, Ь, с. Показать , что плоскость, проходящая через концыэтих векторов, перпендикулярна вектору [ а, Ь] + [ Ь, с] + [ с, а] .25 . 1 2 . Векторы r в , r c и r п являются радиус-векторами§25 . Векторное и смешанное произведения223АБСD. Доказать, что вектор= [ r в , rc] + [ rc , r п] + [ rп , r в]пе р пендикулярен грани БС D тетраэдра и раве н по длине удвотрех вершин тетраэдраnенной площади этой грани.25 .
1 3 . Квадрат АБСD служит основанием прямоугольногопараллелепипеда ABCDA 1 Б 1 C1 D 1 . Найти наибольшую возможную величину угла между прямой БD 1 и плоскостью БDС1 .25 . 1 3 . 1 . Доказать, что векторы а, Ь, с не компланарны тогда и только тогда, когда не компланарны векторы [ Ь, с] , [ с , а] ,[ а, Ь] .2 5 . 14. Найти острый угол между высотами, опущенными издвух вершин правильного тетраэдра на противоположные грани.25 .
1 5 . Доказать, что сумма векторов , перпендикулярных кграням тетраэдра, равных по длине площадям этих граней и направленных в сторону вершин, противолежащих граням , равнанулю.2 5 . 16. Показать, что если векторы [ а , Ь ] , [ Ь , с) , [ с , а] компланарны, то они коллинеарны.2 5 . 1 7. Три вектора а, Ь , с связаны соотношениями а =[ Ь , с] , Ь = [ с , а] , с = [ а , Ь] . Найти длины этих векторов и углымежду ними.2 5 . 18. Вычислить площадь треугольника, вершины которогонаходятся в точках А ( - 1 , О, - 1 ) Б (О, 2 , -3) , С( 4, 4, 1 ) .2 5 .
19 . Доказать, что площадь параллелограмма, построенного на векторах а и Ь , вычисляется по формуле,S=( а , а ) ( а , Ь) .( Ь, а ) ( ь, ь )2 5 . 20. Доказать, что для любой точки О, лежащей внутритр еугольника АБС, выполнено равенство���ОБ= О.Sлов · ОС + Sвос ОА + Sсол ·25 . 2 1 . На сторонах AD и CD параллелограмма АБСD взяты точки М и N так, что М N 11 АС.
Доказать, что площадитреугольников АБМ и СБN равны.2 5 . 2 2 . На продолжениях сторон треугольника АБС взяты� ��� �то чки A i , Б � и С1 так, что АБ 1 = 2АБ, БС1 = 2БС, СА 1 =____,2 С А . Найти площадь треугольника A i Б � С1 , если известно, чтоп ло щадь треугольника АБС равна S .·224ГлаваVI.Векторная алгебра25 . 2 3 . На сторонах треугольника АБС взяты точки A i � В1и С1 так, что (ВСА 1 ) = (САВ 1 ) = (АБС1 ) = 2.
В результате взаимного пересечения отрезков АА 1 , ВВ 1 и СС1 получаетсяновый треугольник PQ R. Найти отношение площадей треугольников PQR и АБС.25 . 24. Используя векторное произведение, вычислить площадь плоского четырехугольника ABCD с вершинами :а) А ( - 1 , 2) , В(4, 3) , С(5, - 1 ) , D ( 2 , О) ;6)A (l, 1), В( 4 , 3) , С(5, 5) , D(5, О) ;в) А ( -1, 0, 1) , В(О, 1 , 2) , С(-2, 2 , 5) , D (-4, 0, 3) ;г) A( l , 1 , О) , В(5, 1 , -4) , С(О, 2 , 2) , D( - 5, 4, 9) .25. 25. Найти площадь выпуклого пятиугольника ABCDE свершинами А(-3 , -2) , В(-2, 3) , С(3, 5 ) , D(6, О) , Е (2, -3) .25 .
26 . Доказать, что площадь выпуклого плоского четырехугольника ABCD в пространстве равна половине длины вектор----+ �наго произведения [ АС, BD ] .25 . 27. Доказать, что выпуклые плоские четырехугольникиABCD и A 1 B 1 C1 D 1 имеют равную площадь тогда и только тогда, когда----+�=± [ А 1 С1 , B 1 D 1] .четырехугольника ABCD[АС, BD ]25.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
