Том 1 (1113042), страница 40
Текст из файла (страница 40)
28. Диагоналипересекаются вточке О. Доказать , что площади треугольников АОВ и CODравны тогда и только тогда, когда стороны ВС и AD параллельны.2 5 . 29 . На стороне АВ четырехугольника ABCD взяты точкиA i и В 1 , а на стороне CD точки С1 и D 1 , причем АА 1 = ВВ 1 =ЛАВ и СС1 = DD 1 = ЛСD, где Л < 1/2. Доказать, что отношение площадей четырехугольников A i B 1 C1 D 1 и ABCD равно1 - 2Л.25 . 30.
Точки А, В, С, D являются последовательными вершинами выпуклого четырехугольника. Доказать, что соотношение[ rл , rв ] = [ r в , rc ] = [ rc , rD ] = [ rD , rл ] ,связывающее радиус-векторы его вершин, выполнено в том итолько в том случае, когда один из векторов r А + r с или r в + r Dнулевой.25 . 3 1 . Используя результат предыдущей задачи, доказать,что в выпуклом четырехугольнике АБС D существует точка О,для которой площади треугольников ОАВ , ОВС, OCD, ODA-225§25 .
Векторное и смешанное произв еденияравны, тогда и только тогда, когда одна из диагоналей этогочетырехугольника содержит середину другой диагонали.2 5 . 32 . Доказать , что в выпуклом четырехугольнике ABCDточка О обладает свойством Sлoв + Scov = Sвoc + SvoA тогдаи только тогда, когда она лежит на прямой, проходящей черезсередины диагоналей четырехугольника.2 5 . 33 . На продолжениях сторон DA , АВ, ВС, CD выпуклого четырехугольника ABCD взяты точки А 1 , В 1 , С1 , D 1 так,� ���� ��что DA 1 = 2DA, АВ 1 = 2АВ, ВС1 = 2ВС и CD 1 = 2CD .
Найти площадь получившегося четырехугольника A 1 B 1 C1 D 1 , еслиизвестно, что площадь четырехугольника ABCD равна S.2 5 . 34. В выпуклом пятиугольнике ABCDE стороны ВС,С D , D Е и АЕ параллельны соответственно диагоналям AD, В Е,АС и В D. Доказать, что АВ 11 СЕ.2 5 . 3 5 . Даны два вектора а = { 1 1 , 10, 2 } и Ь = { 4, О, 3 } . Найти единичный вектор с, перпендикулярный векторам а и Ь инаправленный так, чтобы тройка векторов а, Ь, с была правой.25 .
36. Даны два вектора а = { 1 , 1 , 1 } и Ь = {1, О, О } . Найтиединичный вектор с, перпендикулярный вектору а, образующийс вектором Ь угол в 60° и направленный так, чтобы тройка векторов а, Ь, с была левой.2 5 . 37. Даны два вектора а = { 8 , 4 , 1 } и Ь = { 2, -2, 1 } . Найтивектор с, перпендикулярный вектору а, равный ему по длине,компланарный с векторами а и Ь и образующий с вектором Ьострый угол.25 . 38. Даны три вектора а = { -2, -2, -4 }, Ь = {5, 1 , 6 } ,с = { -3, О, 2 } . Найти вектор х, удовлетворяющий системе уравнений :( а , х) = 40, ( Ь , х) = О, ( с, х) = О .2 5 . 39 .
Даны три некомпланарных вектора а, Ь и с. Найтивектор х, удовлетворяющий системе уравнений( а, х ) = а, ( Ь , х ) = /3 , ( с, х ) = / ·25.40 . Даны три вектора а = { 8, 4, 1 } , Ь{2, 2, 1 }, с ={ 1 , 1 , 1 } . Найти единичный вектор d , образующий с векторами аи Ь равные углы, перпендикулярный вектору с и направленныйтак, чтобы упорядоченные тройки векторов а, Ь, с и а, Ь , dим ели одинаковую ориентацию.2 5 . 4 1 . Даны три вектора а = { 8, 4, 1 } , Ь{ 2, 2, 1 } , с ={1 , 1 , 1 } . Найти единичный вектор d , компланарный векторам а====8-427 1226ГлаваVI.Векторная алгебраи Ь, перпендикулярный вектору с и направленный так, чтобыупорядоченные тройки векторов а, Ь, с и а, d , с имели противоположную ориентацию.25 .42.
Даны три вектора а = { 8, 4, 1 } , Ь = {2, -2, 1 } , с ={ 4, О , 3} . Найти единичный вектор d, перпендикулярный векторам а и Ь и направленный так, чтобы упорядоченные тройкивекторов а, Ь, с и а, Ь, d имели одинаковую ориентацию.25 .43 . Даны два луча. Первый луч составляет с осями координат углы 1Г / 4, 1Г /3, 2тr /3, а второй - равные между собой тупыеуглы. Найти направляющие косинусы третьего луча, перпендикулярного двум данным лучам и образующего с ними правуютройку..��25.44. Даны три вектора ОА = {8, 4, 1 } , ОБ = {2, -2, 1 } ,�ОС = { 4 , О, 3 } , отложенные от одной точки О. Найти направляющие косинусы луча, выходящего из точки О и образующего с� � -----+ребрами ОА, ОБ, ОС трехгранного угла ОАВС равные острыеуглы.
Установить, лежит ли этот луч внутри или вне трехгранного угла ОАВС.� � -----+25.45 . Даны три некомпланарных вектора ОА, ОБ, ОС.Внутри углов АОВ, БОС и СОА взяты соответственно ненуле� -----+�вые векторы OD, ОЕ и OF. Установить, будут ли упорядоченные� � -----+ � � -----+тройки векторов ОА, ОБ, ОС и OD, ОЕ, OF иметь одинаковуюили противоположную ориентацию.��25.46. Даны три некомпланарных вектора ОА = а, ОБ = Ь,��=с,отложенныхотоднойточкиО.НайтивекторОD = d,ОСотложенный от той же точки О и образующий с векторами а, Ь,с равные между собой острые углы.25 .47.
Из начала координат выходят два направленных отрезка ОМ1 и ОМ2 , образующие с осями координат углы а 1 , /31 ,{1 и а2 , ---/32 , --+ 1'2 соответственно . Найти направляющие косинусывектора ОМ, выходящего из начала координат, перпендикулярного обоим заданным направленным отрезкам и расположенного------+так, что тройка векторов ОМ1 , ОМ2 , ОМ правая .25.48. Одна из вершин параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C1 D 1находится в точке A( l , 2, 3) , а концы выходящих из нее ребер- в точках В(9, 6, 4) , D(3, О, 4) , А 1 (5, 2, 6) . Найти угол ер междудиагональю АС1 и плоскостью грани АБС D этого параллелепи-§25 .
Векторное и смешанное произведения227пед а.25.49 . Вычислить объем параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C1 D 1 ,з ная его вершину A ( l , 2 , 3 ) и концы выходящих из нее реберВ(9, 6, 4) , D(З, О, 4) , А 1 (5, 2 , 6) .2 5 . 50 . Вычислить объем параллелепипеда, зная длины ОА =а , О В = Ь, ОС = с трех его ребер, выходящих из одной вершины----------О, и углы БОС = а , СОА = /3 , СОА = т меж,цу этими ребрами.2 5 . 5 1 . Три некомпланарных вектора а, Ь, с являются ребрами тетраэдра, выходящими из одной его вершины. Показать,что объем тетраэдра равен � 1 ( а , Ь , с ) / .25 .
52 . Вычислить объем тетраэдра ABCD, зная координатыего вершин: А ( 2 , - 2 , 1 ) , В (З, О, 2) , С (5, - 1 , 3) , D ( l , 3, 1) .2 5 . 53 . Вычислить объем четырехугольной пирамидыOABCD, зная координаты ее вершины 0( 3, 2 , 1 ) и координатывершин основания А ( - 1 , 1 , 1 ) , В ( - 1 ; 2 , 3) , С ( О , 1 , 4) , D ( O, - 1 , О) .25 .
54. Пусть А1 , В 1 , С1 , D i - точки пересечения медиан граней BCD , CDA, ABD и АБС тетраэдра ABCD . Найти отношение объема тетраэдра A 1 B 1 C1 D 1 к объему тетраэдра ABCD.2 5 . 55 . Точки А, В , С, D являются вершинами тетраэдраABCD. Доказать , что их радиус-векторы удовлетворяют соотношениям( r л , r в , r c ) = ( r п , rв , rл ) = ( r c , r в , r п ) = ( r c , r п , r л )в том и только в том случае, когда r А + r в + r c + r D = О.25 . 56. Пользуясь предыдущей задачей , доказать , что дляточки О внутри тетраэдра ABCD объемы тетраэдров ОАВС,ODBA , OCBD и OCDA равны тогда и только тогда, когда Олежит на пересечении отрезков , соединяющих вершины тетраэдр а ABCD с точками пересечения медиан противоположных имграней.2 5 .
57 . Даны три некомпланарных вектора а = {а 1 , а 2 , а з } ,Ь = {Ь 1 , Ь2 , Ьз } , n = { n 1 , n2 , nз } . Найти площадь параллелограмма, являющегося ортогональной проекцией на плоскость, перп ендикулярную к вектору n , параллелограмма, построенного наве кторах а и Ь.2 5 . 58. В тетраэдре ABCD ребро CD перпендикулярно плоск о сти АБС, М - середина DB, N - середина А В , К - точкан а ребре CD такая, что CD = 3СК.
Доказать, что расстоянием ежду прямыми В К и С N равно расстоянию между прямымиАМ и CN.228ГлаваVI.Векторная алгебра25 .59. Доказать, что в произвольном трехгранном угле биссектрисы двух плоских углов и угла, смежного к третьему плоскому углу, лежат в одной плоскости.25 .60. В ориентированном пространстве даны два перпендикулярных друг другу вектора а и n , причем 1 n l = 1 .
В плоскости, положительная ориентация которой определяется упорядоченной парой векторов а , [ n , а] , найти вектор Ь, полученный извектора а поворотом в этой плоскости на угол ср .------+�25.61 . Даны три некомпланарных вектора О А = а, ОБ = Ь,��ОС = с , отложенных от одной точки О. Найти вектор ОН, гдеН - ортогональная проекция точки О на плоскость (АБС) .2 5 . 62 .
Доказать тождества:а) [ а , [ Ь , с] ] = Ь ( а , с ) - с ( а , Ь ) ;б) [[ а , Ь] , с] = - а ( Ь , с ) + Ь ( а , с ) .2 5 . 6 3 . Доказать тождества:_а, d )([ а , Ь] , [ с , d]) = (( Ьа ,, сс)) (( b,d)6) [[ а , Ь] , [ с , d ]] = с( а , Ь , d) - d( a, Ь , с ) = Ь ( а , с , d) a( b, c , d) ;.в) ( а , Ь , c ) d = ( d, Ь , с ) а + ( d, с , а ) Ь + ( d, а , Ь ) с;( х , а) ( х , Ь) ( х , с )г) ( а , Ь , с) ( х , у , z) = ( у , а ) ( у, Ь ) ( у , с) ;( z , a) ( z, b) ( z, c )д) ( [ а , Ь] , [ с , d ] , [ e , f] ) = ( а , Ь , d) ( c, е, f) - ( a , Ь , c ) ( d, е, f) .а)25 . 64 . Найти условие, необходимое и достаточное для выпалнения равенства[[ а , Ь] , с] = [ а , [ Ь , с)] .2 5 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
