Том 1 (1113042), страница 36
Текст из файла (страница 36)
1 ) равны нулю как скалярные произведения ортогональных векторов,----+ --tи значит, (СА, БD) = О. Таким образом, прямая (БD) содержит высотутреугольника, проведенную из вершины Б. •П р и м е р 24.2. Ребро куба АБСDА 1 Б 1 С1 D 1 равно 2, точка К - центрграни АББ 1 АК1 . Найти длину перпендикуляра, опущенного из вершины С1на прямую D .� �---+Р е ш е н и е. Единичные векторы а, Ъ, с на ребрах БА, ВВ 1 , БС образуют ортонормированный базис пространства.
Пусть точка Р - основаниеrtерпендикуляра, опущенного из точки С1 на прямуюDK, а точка М - осноКвание перпендикуляра, опущенного из точки на АБ. Найдем координатывектораРС 1 в базисе а, Ъ , с . Имеем: DK = DA1 + МК = - 2 с - а + Ъ ,-----+-----?DP == a. DK == - а а + а Ь - 2а с, РС1 == PD + DC1 == (а а - а. Ъ + 2а с) +( -2 а + 2 Ь) == (а - 2) а + (2 - а) Ь + 2а с.
Из ортогональности векторов РС1--+--+ --+и DP следует, что (РС1 , DP) О С учетом ортонормированности базисаа, Ъ , с получаем, что -а(а - 2 ) + а(2 - а) - 4а 2 == О, откуда находим а: == � ·�---+Следовательно , РС1 = - � а + � Ь + � с и I PC1 I = � vГз .В §25 (пример 25. 1 ) дано другое решение этой задачи. •П р и м е р 24 .3. Найти вектор х, перпендикулярный вектору а =={2, -3, 3 } и образующий с вектороы Ь = { - 1 , 1 , 0} угол 1Г/4 , если известно,что с осью Оу он образует острый угол, а его длина равна длине вектора Ь.Система координат пря м оугольная.Р е ш е н и е.
По условию задачи-----?--+----+---+---+--+--�--+={Пусть х =.( х, а) == О,( х, Ь) l xl I Ъ l / /2 ,l xl == 1 ь 1 ,( х, е 2 ) > О.=·(24.2){х1,х2,хз }. Так как I ЪI = /2, то равенства (24.2) в коорди-206Главанатной форме имеют вид{VI.Векторная алгебра2х 1 - 3х 2 + 3х з = О,- Х 1 + Х2 = 1 ,x I + х � + х � = 2,Х2(24.3)> 0.Из первых двух уравнений следует, чтох 1 = 3 ·- 3х 2 , х 2 = 3хз - 2, х з Е IR .Подставляя эти соотношения в третье уравнение (24.3) , получим: х з -== 1 илихз = �� , и следовательно,245 11х = {о 1 , 1 }илих ==.'19 ' 19 ' 19Последнему условию в (24 .3) удовлетворяет лишь первый вектор . Такимобразом, х == {О, 1 , 1 } . •П р и м е р 24.4.
Векторы а, Ь, с таковы, что 1 al == 1 , 1 b l = 1 c l = 2,причем векторы а и Ь перпендикулярны, а вектор с образует с каждымиз векторов а и Ь угол 1Г /3. Найти угол между наибольшей и наименьшейвнутренними диагоналями параллелепипеда, построенного на этих векторах.Р е ш е н и е. Из правила сложения векторов следует, что диагонали параллелепипеда совпадают с векторами а + Ь + с , а + Ь - с , а - Ь + с ,- а + Ь + с.
Возьмем в качестве базисных векторы а, Ь, с. Матрица Грама}{этих векторов имеет вид: G( а, Ь, с) =[6 � �]. Пользуясь этой "табли1 2 4цей" скалярных произведений, найдем квадраты длин диагоналей:1 а + Ь + c l 2 = ( а + Ь + с, а + Ь + с) == 1 aj 2 + b l 2 + 1 c l 2 + 2( а, Ь ) ++ 2 ( Ь, с) + 2( а , с) == 15.1Аналогично:1 а + Ь - с12==3,1 а - Ь + cl2==7,1 - а + Ь + cl2==11.Таким образом, наибольшей является диагональ а + Ь + с , а наименьшей- диагональ а + Ь - с.Для вычисления угла между ними, найдем скалярное произведение:( а + Ь + с, а + Ъ - с) == 1 а + b l 2 - 1 c l 2 == 1 а\ 2 + 1 Ь \ 2 - 1 с \ 2 = 1 .Тем самым, косинус угла между этими диагоналями равен1( а + Ь + с, а + Ь - с)l a + Ъ + c l l a + Ь - с \ 3 J5 '•----п р и м е р 24.5. В параллелограмме ABCD: АВ = 3, ВС == 4, ВАС ==точка М - середина стороны ВС, точка N делит отрезок DC в отношении 2.
Найти тупой угол между прямыми АМ и BN.60°,207§24 . Скалярное произведение----+---tР е ш е н и е. Введем базисные векторы а = С М , Ь = CN. МатрицаГрама этой системы векторов имеет вид: G( а , Ь ) =Найдем координаты векторов АМ и BN в базисе а , Ь : ANI = - а - 3 Ь, BN == -2 а +так что АМ == { - 1 , -3 } , BN = {-2, 1 } .
Пользуясь "таблицей" G( a,скалярных произведений базисных векторов, получаем, что (АМ, BN) ==19 . 1 = 19,2 . 4 6 . 1 - 1 1 - з 1 == 10, 1 АМ 1 2 == 1 . 4 + 2 ._::::;---1оI B N l 2 = 4 · 4+2· ( -2) - 1 + 1 · 1 = 13. Отсюда следует, что cos ( AM, BN) = у'247 '24710Таким образо?\,I , тупой угол ыежду прямьпли АМ и BN равен ?Т- arccos у'247 '---?----t---?�+[1 iJ---?.----+----+.з.---?.�Ъ,Ъ)+----+•П р и м е р 24.6. Найти ортогональную проекцию вектора а = {4, 0, 1 }на ось, определяемую вектором Ь = {-2, 1 , 2} . Система координат прямоугольная.Р е ш е н и е.
Найдем сначала величину ортогональной проекции вектораа на указанную ось. Согласно теореме 24. 1 , она равна(рr ьа)==( а,Ъ)1 ЪI==-2.Сама же ортогональная проекция равна произведению своей величинына единичный вектор, сонаправленный с вектором Ь :П р и м е р 24. 7. Даны два вектора а и Ь . Найти ортогональную проекцию вектора Ь на ось, определяемую вектором а .Р е ш е н и е. Отложим векторы а и Ь от точки О, пусть а == ОА, Ь ==ОВ , точка С - основание перпендикуляра, опущенного из точки В на прямую ОА. Тогда ОБ == ОС + СВ или Ь а а + СВ , где ОС == а а - иском ыйвектор. Умножив обе части этого равенства скалярно на вектор а, найдема : { а , = а( а, а ) или а = ( а,Следовательно,---+��Ъ)�---4---4==Ъ) / 1 al 2 .)о�С= ( Ъа,l al2а.�•ЗАД АЧИВ задачах этого параграфа считается, что координаты вектор ов заданы в прямоугольной декартовой системе координат.С лу чай произвольной аффинной системы координат оговаривается особо.Глава208VI.Векторная алгебра24.
1 . Является ли скалярное произведение алгебраическойоперацией на множестве Vз геометрических векторов пространства?24 . 2 . Является ли бинарное отношение n отношением эквивалентности на множестве Vз геометрических векторов пространства, если :а) x'R y � ( х, у ) = О;б) x'R y � ( х , у ) > О;в) x'R y � l x \ = \ yl ;г) x'R y � ( х - у, а ) = О , где а Е V3 - заданный вектор?24.
3 . Задает ли скалярное произведение биективное отображение Vз х Vз в IR ? V2 х V2 в IR ?24.4. Найти скалярное произведение векторов а и Ь в каждом из нижеследующих случаев :а) l al = 8 , l b l = 5, ( а , Ь) = 60° ;б) \ al = I Ь I = 1 , ( а , Ь ) = 135° ;в)a_l_ Ь ;г) 1 а \ = 3 , 1 Ь \ = 6, а j j Ь;д) 1 а \ = 3, 1 Ь \ = 1 , а i l Ь .24. 5 . Доказать тождество221 а + ь12 + 1 а - ь12 = 2 ( 1 а\ + 1 ь1 )и дать его геометрическое толкование.24 . 6 . Даны единичные векторы а , Ь , с , удовлетворяющиеусловию а + Ь + с = О. Вычислить ( а , Ь ) + ( Ь , с) + ( с , а) .24. 7 . Даны векторы а , Ь, с , удовлетворяющие условию а +Ь + с = О. Зная , что 1 al = 3 , 1 Ь \ = 1 , \ с \ = 4, вычислить( а , Ь) + ( Ь , с ) + ( с , а) .24.8.
Доказать, что векторы р = ( Ь, с) а - ( а , с) Ь и с ортогональны.24. 9 . К акой угол образуют единичные векторы s и t , еслиизвестно, что векторы р = s + 2 t и q = 5 s - 4 t взаимно перпендикулярны?24. 10. Доказать, что из пяти векторов всегда можно выбратьдва так, чтобы длина их суммы на превосходила длины суммыоставшихся трех векторов.24. 1 1 . В треугольнике АБС известны длины сторон БС = 5,� �СА = 6, АБ = 7. Найти скалярное произведение (БА, БС) .§24 .Скалярное произведение20924.
1 2 . Найти тупой угол а меж,цу медианами равнобедренного прямоугольного треугольника, проведенными из вершин острых углов.24. 1 3 . Найти угол а при вершине равнобедренного треугольника, зная, что медианы, проведенные из концов основания этоготреугольника, взаимно перпендикулярны .24. 1 3 . 1 . Пусть А, В, С и D - произвольные точки плоскостиили пространства.а) Доказать , что� �� �� �(АВ, CD) + ( ВС, AD) + (СА, BD ) = О .б) Используя это тождество, показать , что в любом треугольнике высоты пересекаются в одной точке.24. 14. Найти длину диагоналей параллелограмма, построенного на векторах 2 р + q и р - 2 q, если 1 р / = J2, 1 q l = 2 ,(j},q) =1Г/ 4.24.
1 5 . Найти угол между внутренними диагоналями куба.24. 16. Найти углы меж,цу внутренними диагоналями прямоугольного параллелепипеда, если из трех его ребер, выходящихиз одной вершины, два ребра одинаковы по длине, а третье вдвоедлиннее остальных.24 . 1 7. Ребро куба ABCDA 1 B 1 C1 D 1 равно 2 , точка К - центр---7грани АВВ 1 А 1 . Найти угол между DK и BD 1 .24 . 18 . Высота в правильном прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C1 D 1 в два раза меньше стороны основания.
Найти наибольшее значение угла А 1 М С1 , где М - точка на ребреАВ.24 . 19 . Найти угол меж,цу скрещивающимися медианамидвух боковых граней правильного тетраэдра.24. 20. Доказать, что если биссектрисы двух плоских угловтрехгранного угла перпендикулярны , то биссектриса третьегоплоского угла перпендикулярна каждой из них.24 . 2 1 . Доказать, что если в тетраэдре два ребра соответственно перпендикулярны своим противоположным, то и остальные два ребра взаимно перпендикулярны.24.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
