Том 1 (1113042), страница 41
Текст из файла (страница 41)
64. 1 . Найти условие, необходимое и достаточное для выполнения равенства( [ а , Ь] , [ с, d] ) = ( [ а , с] , [ Ь , d]) .25 .65 . а) Найти необходимое и достаточное условие для того,чтобы уравнение [ а , х] = Ь, где а -/= О, имело решение.б) Найти общее решение этого уравнения.25.66. а) Показать, что условие ( а2 , Ь) = О необходимо длятого, чтобы система уравненийимела решение.( а 1 , х ) = а , [ а2 , х] = Ь229§25 . Векторное и смешанное произведения6) Н айти это решение, если ( ai , а2 ) =!= О.в) Пусть ai , а2 =!= О и ( ai , а2 ) = О.
Найти необходимое идостаточное условие разрешимости системы в этом случае и построить ее общее решение.2 5. 6 7. Рассматривается система уравнений[ а 1 , х] = Ь 1 , [ а2 , х] = Ь 2 ,a i , а2 , Ь 1 , Ь 2 заданные векторы,в которойне коллинеарны .а) Показать , что условия-причемaiиа2( а 1 , Ь 1 ) = О, ( а2 , Ь2 ) = О, ( а1 , Ь 2 ) + ( а2 , Ь 1 ) = Онеобходимы для разрешимости этой системы.б) При выполнении указанных условий и условия ( ai , Ь 2 ) =!= Онайти общее решение системы.25.68. Ненулевые векторы а и Ь удовлетворя ют условию( а , Ь) = О. Найти векторы х и у из системы уравнений) = р- , [ х , ---х + у = а , ( х , у---у] =- Ь.
----2 5 . 69 . Даны плоские углы БОС = а , СОА = (3, АОВ =трехгранного угла ОАВС .В,а) Вычислить косинусы его внутренних двугранных угловС, противолежащих граням БОС, СОА, АОВ.б) Доказать, что.s1nasi11 AтА,si11 гsin C ·si11 /3sin B25 .70 . Ребра трехгранного угла ОА, ОБ и ОС определяются единичными векторами а, Ь , с соответственно. Доказать, чтото чка Р равноудалена от граней трехгранного угла тогда и только тогда, когда-----+ОР j j sin a · a + sin /3 · b + si11 1 · с ,----------где а = БОС, /3 = СОА, т = АОВ плоские углы рассматрива-е мого трехгранного угла.2 5 .
7 1 . Ребра трехгранного угла ОА, ОБ и ОС определяютсясоот ветствующими единичными векторами а , Ь , с , образующими правую тройку. Доказать , что точка Р равноудалена от ребертр ехгранного угла тогда и только тогда, когда-----+ОР j j [ Ь , с] + [ с , а] + [ а, Ь] .230ГлаваVI.Векторная алгебраВ ектор ное и с м еш ан н ое п р о из в еденияв афф и н н ых коо рди н атах2 5 . 72 . Выразить через метрические коэффициенты 9ij базисаe i , е 2 , е з в пространстве объем параллелепипеда, построенногона базисных векторах.25 .
73 . Зная метрические коэффициенты 9ij базиса e i , е 2 ,е 3 , найти объем V параллелепипеда, построенного на вектораха = { а 1 , а 2 , а з } , Ь = { Ь 1 , Ь2 , Ьз } , с = { с 1 , с2 , сз } .25 . 74. Объем параллелепипеда, построенного на базисныхвекторах e i , е 2 , е з , равен V . Найти объем параллелепипеда,построенного на базисных векторах взаимного базиса.25. 75 .
Доказать, что векторыfi = [ е 2 , е з]( е 1 , е 2 , ез )fз ='[ е 1 , е2]е 2 , ез )(----ei ,образуют базис, взаимный к базису e i , е 2 , е з и имеющий ту жеориентацию.25 . 75 . 1 . Пусть тройка базисных векторов e i , е2 , ез - правая и Ve - объем параллелепипеда, построенного на этих базисных векторах. Доказать , что для векторов а = { a i , а 2 , а з } ,Ь = { Ь 1 , Ь2 , Ьз } , с = { с1 , с2 , сз } , заданных своими координатамив этом базисе, выполнено равенствоа 2 аз( а , Ь , с ) = Ve Ь 1 Ь2 ЬзС 1 С2 С32 5 . 75 .
2 . Пусть { О;е2 , е з} и { О'; е� , е� , е3 } - две аффинные системы координат и С - матрица перехода от базисае2 , ез к базису i е� , еЗ , причем det C > О . Доказать, чтоai·ei ,объемы Ve и Ve1 параллелепипедов, построенных на соответствующих базисных векторах, связаны соотношениемei ,e ,Ve' = Ve det С.25. 76. Векторы а = { a i , а 2 , аз} и Ь = {Ь 1 , Ь 2 , Ьз } заданы своими координатами в базисее 2 , ез . Найти координаты векторного произведения [ а , Ь] в базисе, взаимном с базисоме2 ,е з.·ei ,ei ,Гл ава VI I .
Прямая на плоскости и плоскостьв простр ан ств е§ 26 .Составление уравнений по разл ичны мзадания мКаноническиеуравнения.Ненулевой вектор, коллинеарный прямой,называется ее 'Ндп]ХJ,вл.яющим вектором.Т еорем а 26. 1 . На плоскости в аффинной систе.ме координатОху У'JЮВНение пр.ямой l , проходящей -ч,ерез то'Чку Мо (хо , Уо ) , с направляющим вектором а { п } имеет вttдХ - Хо у - уа(26.1)m п 1=0илиХ - Хо у - уа(26.2)пmУравнение ( 26. 2 ) означает лишь пропорциональность в случае, когдат = О или п = О, равносильно уравнению х - хоО или у - Уо = Осоответственно.Уравнения (26.1), (26. 2 ) называются канони'Ческими У'JЮВНениями пр.ямой на плоско ст и.С л е д е т в и е .
У]ХJ,внение пр.ямой, проходящей 'Через две 'JЮЗлu-ч,нъtеmo'Чкtt Мо (хо , Уо ) и М1 ( х 1 у 1 ) имеет вид==m,==1,,х - хоХ1 - Хоу- уаУ1 - уа1 -О-и·Два неколлинеарных вектора, параллельных плоскости, называются еенаправляющими векто]ХJ,ми.26.2. пространстве в аффинной систе.м,е координатOxyz уравнение плоскости 7Г , проходящей 'Через то'Чку Мо (хо , уо , zo ) , с направляющими векто]ХJ,ми 1 ==и Р2 =имеет видТ еорем аУравнениеВр {m 1 , n 1 , ki }х - хо у - Уо z - zomm21 nn21 kk2i(26. 3 ){ m 2 , n 2 , k2 }= О.(26.
3)называется канони'Ческим У'/Ювнение.м, плоскости.С л е д с т в и е . У]ХJ,внение плоскости, проходящей 'Через три то'ЧкиМо ( хо , уо , zo ) , М1 (х1 , у 1 , z 1 ) , М2 х , у 2 , z , не лежащие на одной пр.ямой,име ет видх - хо у - уо z - zoХ1 - Хо Y I - Уа Z1 - Zo == о.Х2 - Хо У 2 - уо Z2 - Zo(22)232 Глава VII. Прямая на плоскости и плоскость в пространств еПараметрическиеуравнения.Теорема26.3.
УIJавн.ен.ие прямой, проходящей 'Через то'ЧкуМо ( r0) с н.ап]ХJ,вл.яющим вектором а uмеет видr = ro + t а, t IR,(26. 4 )или, в координ.атн.ой форме, в системе координ.ат Оху{ хУ = хоУо ++ tntm,, t IR.(26.5)Число t в уравнениях (26. 4 ) и ( 26.5) является координатой точки М (х, у)прямой на самой прямой, если за начало коо рдинат принимается точкавектор - вектор а = t m, п} .Мо (хо,УравненияУо ) , а за базисный4(26. ) , (26.5) называются па]Jаметри-ческими у]Jавн.ен.и.ямипр.ямой на плоскости в векторной и координатной формах соответственно.Теорема26.4.
Уравн.ен.ие плоскости, проходящей -через то-чкуМо( ro) с н.ап]ХJ,вляющими векторами Р1 и р2 UJvt,eeт видr = ro + иp 1 + vp2 , и,v E R,(26. 6)или, в координ.атн.ой форме, в системе координ.ат Ox y z{ ху = хоУо ++ 1tnи 11++vnvm2 ,2 ,)(26.7и,z = zo + иk1 + vk2 , v IR.Числа и, v в уравнениях (26. 6 ) и (26. 7) являются координатами точки М(х, у) плоскости на самой плоскости, если за начало координат принимается точка Mo(xo, yo, zo), а за базисные векторы - векторы{m2 , nназываются{m1,n 1 ,k1 },(26Р2.
6 ),= (26.7)Р1 =Уравнения2, k2 }. па]Jаметри'Ческими у]ХJ,в'Нени.ямиплоскости в векторной и координатной формах соответственно.Общиеуравнения.Теорем а 26.5. Лини.я на плоскости является пр.ямой тогда иЕЕ=m=Етолъко тогда, когда она .являете.я алгеб]ХJ,и'Ческой линией первого поряд?са,т. е. определяется у]ХJ,внением(26. 8)Ах + Ву + С = О, где А2 + В2 -:/= О.Уравнение (26.
8 ) называется общим у]Jавнением прямой н.а плоскости.Вектор{А,В} называется вектором н.ормали к пр.ямой отн.осителъноуравнения (26. 8 ).Теорема26.6. Поверхностъ в пространстве являете.я плоскостъю тогда и толъко тогда, когда она .я,вляетс.я алгеб'J)аи'Ческой поверхностъю первого пор.яд-ка, т. е.
определяете.я уравнением(26. 9 )Ах + ву + сz + D о где А 2 + в2 + с2 -1- о.n =='/§26.233Составление уравнений по различным заданиям(26.9)называется общим уравнением плоскости в пространВ,С}называется вектором нормали к плоскости от={А,носителъно уравнения (26. 9 ).Общее уравнение прямой (плоскости) называется полн'ЬLМ, если все коэффициенты А , В, С (соответственно А , В, С, D) отличны от нуля.Теорема26. 7. В аффинной систе.м,е координат Ох у на плоскости (Oxyz в пространстве) вектор а = { т, п} (соответственно а =параллелен пр.ямой (плоскости), заданной общим уравнением{( 26.т , 8 ) k})(соответственно (26 .
9 )), тогда и толъко тогда, когда(26.10)Ат + Вп = О(соответственно(26.11)Ат + Вп + Ck = О) .Сле дс т в и е 1. Вектор а = {-В,А} -:/= О параллелен пр.ямой (26. 8 ).Сле дс т в и е 2. Векторъt а= { О, -С, В}, Ъ={-С, О ,А }, c = {-B J A, O}компланарн'ыплоскости(26.9).дс т в и е 3.{А,ВВ}пр.ямоуголънойвекртовой системе координат�соответственно={А,С}тор, Сленормалик пр.ямой (26.дека8)В,к плоскости (26. 9 )) перпендикулярен этой пр.ямой (плоскости}.Уравнениявотрезках.Полные уравнения (26. 8 ) и (26. 9 ) прямой наплоскости и плоскости в пространстве могут быть записаны в виде:-ха + -уЬ = 1 и -ха + -уЬ + -z = 1 .Эти уравнения называются уравнени.ями прямой и соответственно плоскости в отрезках.
Числа а , Ь, в этих уравнениях называются отрезками, которъtе отсекает пр.яма.я (плоскостъ) на осях координат.Векторные уравнения. Параметрические уравнения (26. 4 ) и (26. 6)представляют собой векторные уравнения прямой (как на плоскости, так ив пространстве) и плоскости.Уравнение (26. 6 ) порождает другую форму векторного уравнения плоскости:(26.12)( г - го , р 1 , Р2 ) = О или ( г, р 1 , Р2 ) = D,где D = ( го , р 1 , Р2 ) .Т еоре м а 26.8. Уравнение прямой на плоскости (плоскости в проУравнениестве.
Вектор nп,,n==nссстранстве),имеетвид проходящей 'Через то'Чку Мо ( го) перпендикулярно вектору(r - го , ) = Оили, 'Что то же самое,(г, ) = D,где D константа, равная ( го , )П р и м е р 26.1. В треугольнике А БС даны уравнения сторон А В: 3 х 2у + 1 = О, ВС: х - у + 1 О и медианы СМ: 2х - у - 1 О. Составитьканоническое, общее и параметрическое уравнения стороныСистемаn,nn-n .===координат аффинная.Р е ш е н и е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
