Том 1 (1113042), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Из систем уравнений{3хх -- 2уу++ 11 === оО,' { Зх2х- -2уу+- 11 =О0==,иАС.1 == о ,х--уу+- 1 = О2х{234 Глава VII. Прямая на плоскости и плоскость в пространствеВ, М и С: B(l, 2), М(3,5),С(2,3).(х,)у" х + 1 == 3, у + 2 == 5,8).22С,х-2 у-3х-2 у-35-2 8-33 5Отсюда легко получить общее уравнение: 5 х - З у - 1 = О. Параметрическоеуравнение АС как прямой с направляющим вектором АС == {3 ; 5}, Проходящей через точку С(2 , 3), имеет видх = 2 + 3t, у == 3 + 5t , t IR.П р и м е р 26. 2 . Зная вершину А(З, -4) треугольника АБС и уравнениядвух его высот ВН: 7х - 2 у- 1 = О, СР: 2х- 7у-6 = О, написать уравнениестороны ВС.
Система координат прямоугольная.Р е ш е н и е. Из систе:мы уравнений{ 7х2х--27уу == 1,6найдем координаты точки Q пересечения высот треугольника: Q ( ! , - � ) .9 92828Вектор AQ == {- 9 , g } перпендикулярен прямой ВС, поэтому вектор{1, -1} можно взять за вектор нормали прямой ВС. Тогда общее уравнениепрямой ВС будет иметь вид(26.13)х - у + с == о.Чтобы найти коэффициент найдем координаты точки В: вектор {2, -7}направляющий вектор прямой АВ, поэтому прямая АВ определяется уравх - 3 у + 4 или 7х + 2у - 13 О, а точка В определяется системойнением27уравнений{ 77хх +- 22уу -- 131 ====О.О,Подставив найденные отсюда координаты (1, 3) точки В в (26.13), находимс == 2 и искомое уравнение х - у + 2 оП р и м е р 26.
3 . На прямых l 1 : х+у-2 == О и l 2 : 5 х + у -14 == О найти точкиА l 1 , В l 2 такие, что прямая АВ имеет угловой коэффициент, равный 3,и что длина отрезка АВ равна v1f5 . Система координат прямоугольная.ш е н и е. Уравнение прямой АВ имеет вид у 3х + Ь, поэтому векторнаправляющим вектором этой прямой. Следовательно, если{(х,1, у)3Р} еявляетсякоординаты точки А, то точка В имеет координаты (х + t, у + Зt) ,t IR. Параметр t находим из условия, что I A BI == v1f5: t ± 1, так чтоточка В имеет координаты (х ± 1, у ± 3). Подставляя координаты точек Аи В в уравнения прямых l 1 и l 2 соответственно, находим искомые точки:A i (l, 1), В1 (2,4) и А2 (5, -3), В2 (4 , -6).П р и м е р 26.
4 . Составить параметрические уравнения плоскости треугольника с вершинами в точках А(2, 5, 1) , В(6, 3, 2), C(l, 1 , 1).Так как точнаходим координаты точеккасередина отрезка АВ, то координатыточки А находятся изсоотношениитак что А(5, Каноническое уравнениеАС как прямой, проходящей через точки А и имеет видМ----+•Е=_----?n ==с,_-====Е.•Е==-·==Е•§26.Составление уравнений по различным заданиям---+235---tСА = {1, 4 , 0} СВ = {5, 2, 1 }{ у = 11 ++ 4ии ++5v,2v,= 1 + v,v IR .Р е ш е н и е.
Векторыинаправляющиевекторы плоскости, поэтому ее параметрические уравнения имеют видх=zи,Е-•ЗАД АЧ ИВ задачах этого параграфа считается , что система координатпроизвольная аффинная. Случай прямоугольной декартовой системы координат оговаривается особо.Уравнен ия прямой на плос кости26. 1 . Написать уравнение прямой:1 ) проходящей через точку (3, -2) параллельно оси Оу;2) проходящей через точку ( 7, О) параллельно вектору { -4, 2 } .26.
2 . Написать уравнение прямой:1 ) проходящей через две точки ( 2 , 3) и ( -4, -6) ;2) проходящей через начало координат и через точку ( 1 , 8 ) .26. 3 . Написать уравнение прямой:1 ) проходящей через точку ( 2 , 3) и имеющей угловой коэффициент, равный -5 ;2 ) проходящей через точку (-2 , 7) и имеющей тот же угловойкоэффициент, что и прямая 3х + у - 5 = О.26.4. Написать уравнение прямой:1 ) имеющей угловой коэффициент 3 и отсекающей на оси ординат отрезок, равный 4 ;2 ) отсекающей на осях Ох и Оу отрезки, равные 3 и -5 соответственно;3) отсекающей на оси Ох отрезок 3 и проходящей через точку(-5, 3) .26 .
5 . Выяснить , под каким углом к оси Ох наклонена прямая , проходящая через точки ( 1 , 4) и (3, 5) . Система координатпрямоугольная.26.6. Написать уравнения сторон равнобочной трапеции,з ная , что основания ее соответственно равны 10 и 6, а боковыестор оны образуют с основанием угол в 60° . Ось Ох содержитб о льшее основание трапеции, за ось Оу берется ось симметриит рапе ции, а за положительное направление оси О у берется на-236 Глава VII. Прямая на плоскости и плоскость в пространствеправление луча, проведенного от большего основания к меньшему.
Система координат прямоугольная.26 . 7 . Через точку М(-4, 10 ) провести прямые, отсекающиена осях координат ненулевые отрезки равной длины. Системакоординат прямоугольная.26.8. Через точку М ( 2 , - 1 ) провести прямую, отрезок которой между осями координат делился бы в данной точке пополам.26. 9 . Определить площадь треугольника, закл ю ченного между осями координат и прямой х + 2у - 6 = О. Система координатпрямоугольная.26. 10. Через точку М(4, -3) провести прямую так, чтобыплощадь треугольника, образованного ею и осями, была равна3. Система координат прямоугольная.26. 1 1 .
Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку ( 5 , -3) параллельно вектору {2, -4 } .26. 1 2 . Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку ( -6, -4) и имеющей угловой коэффициентk = -�.26. 1 3 . Составить параметрические уравнения прямой , проходящей через начало координат и наклоненной к оси ординатпод углом в 150° .
Система координат прямоугольная .26. 14. Составить параметрические уравнения прямой, отсекающей на осях Ох и Оу отрезки 3 и -5.26 . 15 . Составить параметрические уравнения прямых:1 ) Зх + 6у + 5 = О ; 2) у = -3х + 5 ; 3) у = -3;4) х - 2у - 4 = О ;5) х = 2 ;6) 2х + Зу = О.26. 16. Составить общие уравнения прямых:у = 1 - Зt; 2) х = 2 + 5t ,1) х = t,у = 4 - 7t;3) х = 3 - 2t, у = -8 + 6t ; 4) х = 3 - 2t, у = 3.26. 17. Даны две прямые у = k i x + Ь 1 и у = k 2 x + Ь2 . Найти геометрическое место середин отрезков , высекаемых даннымипрямыми на прямых, параллельных осям координат.26 . 18 .
Даны вершины треугольника: А(-2, 3) , В (4, -7) ,С( 6, 5) . Написать уравнения прямых, равноудаленных от всехвершин треугольника .26 . 19 . Дан треугольник АБС: А(-2, 3) , В(4, 1 ) , С(6, - 5) . Написать уравнение медианы треугольника, проведенной из вершины А.26. 20 . Даны уравнения двух сторон треугольника 2х - у == О,§26.Составление уравнений по разли чным заданиям2375х - у = О и уравнение 3х - у = О одной из его медиан. Составитьур авнение третьей стороны треугольника, зная , что на ней лежитточка (3, 9) , и найти координаты его вершин.26. 2 1 .
Дано уравнение х - 2у + 7 = О стороны АБ треугольника АБС и уравнения х + у - 5 = О, 2х + у - 1 1 = О медиан,выходящих из вершин А и Б соответственно. Составить уравнения двух других сторон треугольника.26. 22 . Через точку Р(-3, - 5 ) провести прямую J отрезок котор ой меж,цу прямыми 2х + Зу - 1 5 = О , 4х - 5 у - 12 = О в точкеР делился бы пополам.26. 2 3 . Дана точка (О, 2) пересечения медиан треугольника иу равнения двух его сторон 5х - 4у + 1 5 = О, 4х + у - 9 = О .
Найтикоординаты вершин треугольника и уравнение его третьей стороны.26. 24. Точка пересечения медиан треугольника лежит в начале координат. Известны уравнения двух его сторон: х+у- 4 = Ои 2х + у - 1 = О. Найти вершины треугольника и уравнение еготретьей стороны.26. 2 5 . Даны уравнения 4х + 5у = О , х - Зу = О медиан треугольника и его вершина (2, -5) . Составить уравнения сторонтреугольника и найти остальные его вершины.26. 26. В треугольнике АБС углы А и Б при его основанииАБ острые, а боковые стороны АС и БС не равны меж,цу собой.
Найти геометрическое место точек пересечения диагоналейп рямоугольников , вписанных в треугольник так, что две вершины прямоугольника лежат на основании данного треугольника,а две другие - на его боковых сторонах.26. 2 7. Н айти геометрическое место точек пересечения диагоналей параллелограммов, вписанных в данный четырехугольниктак, что стороны этих параллелограммов параллельны диагоналям четырехугольника.Уравнения плоскости в пространстве26.
28. Составить уравнения плоскостей, проходящих черезточку (2 , 6 , -3) параллельно плоскостям координат.26. 2 9 . Составить уравнение плоскости, проходящей через трито ч ки М1 , М2 , Мз , если:1) М1 (2, 3 , 1 ) , М2 (3 , 1 , 4) , Мз (2 , 1 , 5) ;2 ) М1 (2 , О , - 1 ) , М2 ( - 2, 4, 1 ) , Мз (О, 2 , - 1 ) .238 Глава VII. Прямая на плоскости и плоскость в пространстве26.
30. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат и через точки М1 ( 2 , 1 , 1 ) и М2 ( -3 , О, 4) .26. 3 1 . Даны вершины тетраэдра А(2, 1 , О ) , В( 1 , 3, 5) ,С( 6, 3, 4) , D(O, -7 , 8) . Н аписать уравнение плоскости, проходящей через ребро АВ и середину ребра С D.26. 32 . Даны вершины тетраэдра А (3, 5 , - 1 ) , В (7, 5, 3) ,С(9, - 1 , 5) , D (5, 3, -3) . Написать уравнения плоскостей , равноудаленных от всех вершин тетраэдра.26 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
