Том 1 (1113042), страница 46
Текст из файла (страница 46)
1 7 . Даны две точки А(-3 , 1 , 5) , В ( 5, 4 , 2 ) и плоскость 2х 4у + z + 14 = О. Установить, пересекает ли данная плоскостьотрезок АВ или его продолжение за точку А или за точку В.28. 18. Даны две точки М1 ( х 1 , у 1 , z 1 ) , М2 (х 2 , у2 , z 2 ) и плоскость Ax+By+Cz+D = О . Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы данная плоскость пересекала: 1 ) прямуюМ1 М2 ; 2 ) отрезок М1 М2 в его внутренней точке ; 3) продолжение отрезка М1 М2 за точку М1 ; 4) продолжение отрезка М1 М2за точку М2 .§29 .
Метрические задачи в прямоуголь ной системе координат25328. 19 . При каком необходимом и достаточном условии плоскость Ах + Ву + Cz + Е = О лежит между параллельными плоскостями Ах + Ву + Cz + Di = О и Ах + Ву + Cz + D 2 = О ?28. 20. Даны две точки А(З, 5 , 1 ) , В ( 2 , - 6 , 3 ) . Найти отношение, в котором делит отрезок АВ точка С пересечения прямойАВ с плоскостью 2 х - Зу + 6z - 1 = О .28" 2 1 . Три плоскости A k x + Bk y + Ckz + Dk = О , k = 1 , 2 , 3, образуют призму.
При каком необходимом и достаточном условииточка Ма (х а , уа , za ) лежит внутри призмы?28 . 22 . Грани тетраэдра заданы уравнениями Akx + Bky +Ck z + D k = О, k = 1 , 4. Найти условие, необходимое и достаточное для того, чтобы точка Ма (х а , уа , za ) и вершина тетрадра,противолежащая грани А 1 х + В 1 у + C1 z + Di = О, лежали поразные стороны от этой грани .28 .
2 3 . Найти условие, необходимое и достаточное для того,чтобы точка Ма (ха , уа , za ) лежала внутри тетраэдра, образованного плоскостями A k x + Bky + Ck z + Dk = О, k = 1 , 4.§ 29 .М етрические задачи в прямоугол ьнойдекартовои системе коо рдинатuОхуу = kx + ЬЕсли- прямоугольная декартова система координат, то угловойкоэффициент k прямойесть тангенс угла от положительногонаправления осидо этой прямой. При этом, если ер - угол от прямой сугловым коэффициентом ki до прямой с угловым коэффициентом k2 (приусловии, что эти прямые не перпендикулярны) , тоk2 - ki.tg ер =ki k2Прямые с угловыми коэффициентам:и ki и k2 перпендикулярны тогда итолько тогда, когдаОх1+Т е о р е м 29.
1. В nр.ямоуголъной декартовой системе координатОху расстояниер(Мо , l) от то'Чки А1а(ха, Уа) до прямой l Ах+ Ву+ С = Оопределяете.я формулойIAxo + Вуа + C I .(мо , l)РJл 2 + в 2Т е о р е м 29.2. В пр.ямоуголъной декартовой систе.м,е координатOxyz'[Юсстоянието'Чки Мо(хо, уа, za) до плоскости Ах + Ву + Cz +D О определяете.яот формулой+ DI .(м )а, ! АхаJ+л 2Вуо+ в+2 CzaР+ с2а:=а7Г :==1Г==254 Глава VII. Прямая на плоскости и плоскость в пространствеТ е о р е м 29.3.
В пр.ямоуголъной декартовой системе координатОхууер между прямъLМи l k : A k x + B k y + ckо, k 1 , 2, совпадающийс угломолмеждунормалями, определяете.я формулойаг=ux=впр.ямоуголънойдекартовойсистемекоординатOxyz угол ер между плоскостями 1Гk : A k x + Bk y + Ck z + D k О k 1 , 2,совпадающий с углом между их нормалями, определяется формулойт е о р е м а 29.4.=,=29.1.1, 2,Мо(хо, у0),Даны две пересекающиеся прямые l k : A k x + Bk y + CkПримерне лежащая ни на одной из них. Написатьи точкауравнение биссектрисы того угла между прямыми, в котором лежит точкаСистема координат прямоугольная.Р е ш е н и е.
Точкалежит на биссектрисе тогда и только тогда,= p( !vl,когдат.е.О, kМо.=р (М, l1)М(х, у)l2 ),I A 1 x + В1у + C1 Iу'Ar + В�=В2 у + C2 Iу'А� + В�I A2 x +М(х, у) Мо(хо, Уа)(29.1)Тот факт, что точкиилежат внутри одного угла междупрямыми и означает, что они находятся в одинаковых полуплоскостяхкак относительно прямой l 1 , так и относительно прямой l 2 .
Следовательно,l 1 l2(А1х + В1уу + С1)(А1хо + В1уо + С1) > О ,(А2 х + В2 + С2 )(А2 хо + В2 уо + С2 ) > О .Отсюда и из (29.1) следует, что уравнение искомой биссектрисы имеетвидА1х + В1у + С1 А2 х + В2 у + С2у'А� + В�у'A i + B rесли (А1хо + В1 уо + С1)(А2 хо + В2уо + С2 ) > О,(29.2)А 1х + В1у + С1 А2 х + В2 у + С2у'А� + В�у'A i + B rесли (А 1 хо + В1Уо + С1 )(А 2 х о + В2Уо + С2 ) < О .П р и м е р 29.2. Даны две пересекающиеся прямые l k : A k x + Bk y + Ck =!Vlo (x o , Уо), не лежащая ни на одной из них.
Вычислитьk1,того2, и точкаО,косинусугла между этими прямыми, в котором лежит точка М0. Система координат прямоугольная.е н и е. Опустим из точки Мо на данные прямые перпендикуляр ы(рис. 1 -4). Обозначим через а искомый угол, а через - уголМоА!/1Р еишМоМ2между нормалями n 1 { А1, В1} и n2 {А 2 , В2 } к прямым l 1 и l 2 . Так как•===ер§29 . Метрические задачи в прямоуголь ной системе координат255lkвектор нормали к прямой направлен в сторону положительной полуплоскости относительно данной прямой, то возможен один из указанных на рис.вариантов расположения точки А10 .1-4Рис.1Рис.24Как видно из рисунков, если угол, в котором лежит точка Мо, образованполуплоскостяыи ( относительно прямых l 1 и l 2 ) одинакового знака ( рис.
1,рис. 2), то- ер. Если же полуплоскости имеют разные знаки ( рис. 3,рис. 4), тоТаким образом,(А 1 хо + В1уо + С1)(А 2 хо ++ В2Ууоо + С2 )) <> О,О, ( 29.3)а == { ер , ер , еслиесли (А 1хо + В1 уо + С1)(А2хо В2 + С2Рис.а ==а =7Г3Рис .7Гер .-при этомв первом случае;во втором случае.(29.4)•29.3. Стороны треугольника АБС заданы своими уравнениАВ : 7х - у - 3 О, АС : х + у - 5 О, ВС : х - у - 9 О .Составить уравнение биссектрисы внутреннего угла А треугольника.ш е н и е.
В силу (29.1) уравнение биссектрис угла между прямымиА В Ри еАСимеет видl 7x - у - 3 1 l x + у - 5 1V50v12Найдем координаты точек В и С:{ 7х - у - 3 == 0,{х+у5 == о ,-1В(,-10),х - у - 9 == 0х - у - 9 == О С(7, -2).ямиПример=====_=>=?256 Глава VII. Прямая на плоскости и плоскость в пространствеТак как искомая прямая является биссектрисой внутр�ннего угла треугольника, то вершины7 и лежат относительно нее в разных полуплоскостях.в> О,= О,для точки :< о, для точки :Поэтому искомая биссектриса имеет видС { х7х+-уу- 5 3==о 48.{ хх+В-уу-С-5 3= -167х - у - 3 = -(х + у - 5)5илиЗх + у - 7 = О.•П р и м е р 29.4.
Составить уравнение биссекторной плоскости тупогодвугранного угла между плоскостями ?Т 1 :О и ?Т 2 �О. Система координат прямоугольная.Р е ш е н и е. Уравнение биссекторных плоскостей имеет вид ( см. примерв очевидной модификации для плоскостей)3x+5y-4z+1 =29.1x-z-5\3х + 5у - 4z + 1 1 lx - z - 5\J5oV2=(29 . 5)Пусть - тупой угол между плоскостями 1Т 1 и 7r2 , а ер угол между ихнормалями nи n 2 { 1 , 0, - 1 } . Так как ( n1 , n 2 )> О, тоугол ер - острый. Следовательно,1Т - ер и согласно ( 29.3) для всех точек1искомой биссекторной плоскости> О, поэтомууравнениеприобретет вид1илиz О.
•а 1 = {3, 5, -4}-==5а(Зх= + 5у - 4z + )(х - z - 5)(29 . 5)Зх + 5У - 4z + = х - z - 52х - 5у - 26 =5П р и м е р 29.5 . Через точку (3, - 1 ) провести прямую, отстоящую отточки (2, -3) на расстоянии 9 / ffi .Р е ш е н и е. Пусть Ах + Ву + С = О - общее уравнение искомой прямой.Найдем коэффициенты А, В, С, пользуясь условиями задачи. ИмеемЗА - В + С = О,\2А - 3В + С\ = _9_ .( 29 . 6)JA2 + в 2ffiТак как А, В, С определены с точностью до постоянного множителя, то можно считать, что А 2 +В 2 1 7 , 2А -3В+С > О.
Тогда система (29.6) перейдетв системуЗАВ ++СС==О,9,2А2 -- 3ВА + В2 = 1 7,16 ,13из которой находим, что A i = 1, В1 = 4 , С1 = 3 и А 2 = 5 ' В2523С2 = - -5 . Таким образом, искомые прямые имеют уравнения х + 4у + 3 = Ои 1 Зх + 16у - 23 О.П р и м е р 29.6. Основанием равнобедренного треугольника служит прямая х + 2у = О, а одной из боковых сторон - прямая х - у + 5 = О. Составить уравнение другой боковой стороны, зная, что она проходит через точкуМ(4, 2) .{===•{§29 . Метрические задачи в прямоуголь ной системе координат257Р е ш е н и е.
1-й с п о с о б. Обозначим через k 1 , k2 , k3 угловые коэффициенты основания, данной и искомой боковых сторон соответственно, черездо данной и искомой боковых сторон. Так кака и_fЗ - 1-глы от основанияf3k2 -а,тоki k ktg a = 2 - 1 =tg {З =1 ki k2С другой стороны,ktg {З = з - ki .1 k 1 k3Отсюда kз = 7 и уравнение искомой прямой имеет вид= kз - 4)= О.-1 / 2 ,1,+3,-3.+у-2(х7х - у - 2633, то а - острый угол и sin a JIO'1f31 н3.следовательно, sш {3 = cos a =аправляющийcos =vlOvlOvlOвектор = { п} может быть получен поворотом направляющего вектораоснования {-2, 1 } на угол {3, поэтому2-й с п о с о б. Так как tg a =11n ;аТак какf"ffiГin ''m,а{1 1 1 , 7 } , то искомое уравнение имеет вид7х - у - 26 = О.Ах+Ву+С = О - уравнение искомой прямой. Тогда1А + 2Всоs {З = V5v1 2 в2л +JIO 'Так как А и В определены с точностью до постоянного множителя, то можносчитать, что А2 + В 2 = 2.
Следовательно,2В= 1,А+22{ А + В 2.Отсюда находим две пары ( А, В): ( - 1 , 1 ) и ( 7 , - 51 ) , которые отвечают пряS3-й с п о с о б. Пусть==1Первая10пара - 1 , 1) соответствует данной боковой стороне, а вторая параискомой. Таким образом, искомое уравнение имеет видО или(с учетом того, что прямая проходит через точку М(4,= О. •ПримерСоставить уравнение прямой, отстоящей от точки1)1на расстояние 5 и образующей с прямой l := О угол а = arccos f"ffiмым, образующим с основанием угол, косинус которого равен(29.7.9-427 1f'1'() .у( �, - �)2))7х 7х- у- +у С- 26=3х+у+2M(l ,v 10'258Глава VII. Прямая на плоскости и плоскость в пространствеР е ш е н и е.
Поворачивая вектор {3, 1 } нормали к прямой l на уголполучим нормальные векторыик искомым прямым:аа3хаиn1 n2sin ] [ 31 J = [ .J10О ] n2 = [ - cossin J [ 31 J = [ 68 Jni = [ cossin cossin cosСледовательно, уравнения искомых прямых имеют вид у + С = О и- 4у + D = О . Так как p( M, l) 5 , то-а,а-аааа'а-·=I C + l l == 5отсюда находимпрямыхуС1+ 4 = О,IЗ 4 + DI-и15==5'С2 = -6, D1 = 26, D2 = -24 и уравнения искомыху - 6 = О, 3х 4у + 26 == О , 3х 4у - 24 = О.==4,--•ЗАД АЧИВ задачах этого параграфа считается , что система координатпрямоугольная декартова.П ря м ая на плоскости29 . 1 . Даны вершины треугольника А(4, 6) , В ( - 4, 0) и С ( - 1 ,-4) . Составить уравнение высоты, опущенной из вершины А насторону ВС.29 . 2 .
Найти проекцию точки ( - 5 , 6) на прямую 7х - 1 3у 105 = о29 . 3 . Найти точку, симметричную точке М ( - 2 , 9) относительно прямой 2х - Зу + 1 8 = О29 .4. Составить уравнения высот треугольника, зная уравнения его сторон: АВ : 2х - у + 3 = О , ВС : х + 5у - 7 = О ,А С : Зх - 2у + 6 = О .29 . 5 . Даны две вершины треугольника А( - 6 , 2 ) , В (2 , -2) иточка H ( l , 2) пересечения его высот. Вычислить координаты третьей вершины С.29 . 6 . В треугольнике АБС известны сторона АВ: 4х+у- 12 =О, высота ВН: 5х - 4у - 1 5 = О и высота AL: 2х + 2у - 9 = О.Написать уравнения двух остальных сторон и третьей высотыС К этого треугольника.29. 7. Точка пересечения высот треугольника лежит в началекоординат. Известны уравнения двух сторон этого треугольника:..§29.
Метрические зада чи в прямоуголь ной системе координа т259х + Зу - 1 = О, 3х + 5у - 6 = О. Составить уравнение третьейстороны .29 .8. Составить уравнения сторон треугольника, зная однуиз его вершин А (З , -4) и уравнения двух высот: 7х - 2у - 1 = Ои 2х - 7у - 6 = О.2 9 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
