Том 1 (1113042), страница 28
Текст из файла (страница 28)
. , ап Е IR существует и притом только один многочленf (t) степени не выше п, для которогоf (ti) = ai , i = О, п .§1 9.Системы с квадратной невырожденной матрицей1 631 9 . 9 . Пользуясь предыдущей задачей, доказать эквивалентност ь сле,цующих двух определений равенства многочленов отодной переменной с действительными коэффициентами :а) два многочлена н аз ываются равными, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной;б) два многочлена называются равными, если их значениясовпадают при каждом значении переменной .1 9 .
1 0 . Н айти многочлен f (t) второй степени, если известно,чточто/ ( 1 ) = - 1 , f (- 1 ) = 9, / (2) = -3.1 9 . 1 1 . Найти многочлен f (t) третьей степени, если известно,f ( - 1 ) = о, f ( 1 ) = 4, f (2) = 3 , f (3) = 16.1 9 . 1 2 . Доказать, что любой многочлен f (t) степени п однозначно определяется своим значением и значениями всех своихпроизводных до порядка п при некотором t = t 0 , т.е. показать ,что для любых чисел а о , a l , а 2 , . . . , ап Е JR существует и притомтолько один многочлен f ( t) степени не выше п , для которогоf (t o ) = а о , f ' (to ) = a l , f"(to ) = а2 , . .
. , J ( n ) (to ) = ап .19 . 1 3 . Доказать, что, каковы бы ни были числа t 1 , t 2 , ao , a 1 ,. . . , ап - 1 , Ьо Е JR (t 1 =!= t 2 ) , существует и притом единственныймногочлен f ( t ) степени не выше п такой, чтоf (t 1 ) = а о , f ' (t 1 ) = a l , . . . , f (n- l ) (t 1 ) = ап - 1 , f (t2) = Ьо .1 9 . 14. Доказать , что, каковы бы ни были числа t 1 , t 2 , а о , a l ,. . . , a k , Ьо , Ь 1 , . . , bt Е JR (t 1 =!= t 2 ; k + l = п - 1 ) , существует ипритом единственный многочлен f (t) степени не выше п такой,.ЧТОf ( t 1 ) = а о , f1 (t 1 ) = ai , . .
. , J ( k ) (t 1 ) = a k ,f ( t2 ) = Ьо , f1 (t2 ) = Ь 1 , . . . , j ( l ) (t 2 ) = bt .19 . 1 5 . Доказать, что равенстваА Ь 1 = с 1 , АЬ2 = с2 , . . . , А Ьп = Сп ,в которых вектор-столбцы Ь 1 , Ь2 , . . . , Ьп Е JR.n x l линейно независ им ы, а вектор-столбцы с 1 , с2 , . , Cti Е JR m x l произвольны, определ яют и притом единственным образом матрицу А Е JR m x n ...1 9 . 16. Доказ ать, что для любой линейно независимой систем ы матриц В 1 , В2 , . . .
, Вп 2 Е JR n x n и чисел a 1 , a 2 , . . . , an2 Е JR1 64ГлаваV.Системы линейных алгебраических уравненийсуществует и притом единственная квадратная матрица А порядка п такая, что выполнены соотношенияtr ( A Bk ) = a k , k = 1 , n2 .{19 . 1 7. Доказ ать, что системаЬх + ау = с,сх + a z = Ь,су + bz = а.имеет единственное решение, если аЬс =!=- О, и найти это решение.1 9 . 18. Доказать, что системаа х1 + Ьх 2 + сх з + dx 4 = О,Ьх1 - ах 2 + dхз - сх4 = О,сх 1 - dx 2 - а хз + Ьх4 = О,dx 1 + сх 2 - Ьхз - а х4 = О.имеет единственное решение, если действительные параметры а,Ь, с, d не все равны нулю.Решить следующие системы уравнений.Хп = 1 ,Х2 + . .
. +Х1 +a i x 1 + а 2 Х 2 + . . . + an X n = Ь,19 . 19 .a 2i x 1 + а 22 Х 2 + . . . + а; х п = Ь2 ,... . . . .. .11ап1 - х1 + ап2 - х 2 + . . . + апп - 1 Х п = ьп- 1 ,где ai , а 2 , . . . , ап Е IR попарно различны.п -1х1 + а 1 х 2 + . . . + а 1 Хп = Ь 1 ,- 1 х п = Ь2 ,...а�+а++х12Х21 9 .
20...х1 + апХ2 + . . + а� - 1 Хп = Ьп ,где a l , а 2 , . . . , ап Е JR. попарно различны.Х2 + . . . +Хп = Ь 1 ,х1 +а 1 х 1 + а 2Х 2 + . . . + апХп = Ь 2 ,19 . 2 1 .ат х1 + а 22 Х 2 + . . . + а;, хп = Ьз ,. . . . . . . . . . . . . . .ап1 - 1 х 1 + ап2 - 1 х2 + . . . + апп - 1 Хп = Ьгде a l , а 2 , . . .
, ап Е IR попарно различны ......п,§1 9 .165Системы с квадратной невырожденной матрицей19.22.Х1 + Х2 + . . . + Хп + 1 = 0,2 х 1 + 2 2 х 2 + . . . + 2 п хп + 1 = О ,19.23.nx 1 + n2 x 2 + . . . + nn xn + 1 = О .а х1 + ах 2 + . . . + а х п - 1 + Ьх п = Сп ,а х1 + а х2 + . . . + bxn - 1 + ахп = Сп - 1 ,Ьх1 + ах 2 + . . .
+ а хп - 1 + а хп = с 1 ,где (а - Ь) (Ь + ( п - l )a) =!= О .Хп = 1Х2Х1--- +,+...+Ь 1 - anЬ1 - a l Ь1 - а2Х1Х2Хп = 1 ,--+...++1 9 . 24 . Ь 2 - а 1Ь2 - а пЬ2 - а 2Х1Х2Хп - l++...+- 'Ьп - апЬп - а 1 Ьп - а2где a i , а 2 , . . . , an , Ь 1 , Ь2 , . . . , Ьп Е JR попарно различны.---1 9 . 25 . Пользуясь правилом Крамера, вывести для n-й производной функции·(t)J(t) = gh (t)форм улуh(t)h' ( t)l" (t)hJ ( n ) (t) +(h (t) ) n l...оh ( t)2h1 (t)...............g (t)g' ( t)g" (t)ооОооh(t)............h ( n ) ( t) C�h ( n- l ) (t) C�h ( n- 2 ) (t) .
. . h (t) g ( n) (t)19 . 26. Доказать, что если система А х = Ь с квадратной выр ожде нной матрицей А совместна, то в формулах правила К рамер а: \A i l = О , i = 1 , п .1 9 . 27. Пусть А х = Ь - система с квадратной матрицей Аn-го порядка и rg А = п - 1 . Доказать, что если в формулахп равила Крамера I A i \ = О, i = 1, п , то система совместна. Верноли у тв ерждение этой задачи в случае, если r g А < п - 1 ?V.166Глава§ 20 .Систе м ы об щего видаСистемы линейных алгебраических уравненийСовместность системы. ПустьАх = Ь( 20.
1 )- система общего вида и( aij ) Е R m x n . Составим матрицу В, приписавк матрице столбец свободных членов:В=l\:1атрица В называется ·расширенной матри'Цей системы (20.1) .Т е о р е м а 20. 1 (теорема Кронекера-Капелли) . Сиетема лuАА=[А I Ь ] .нейнЪtх алгебраи'Ческих уравнений совместна тогда и толъко тогда, когдаранг основной матри'Ц'Ьl равен рангу расширенной матри'Цъt.нийСхема исследования совместной системы.
Пусть система уравне-am 1 X1 + . . . + a rп.rXr + a m ,r+ 1 Xr + 1 + . . + aщ n X n == mсовместна и rg А = rg В = r.Схема исследования системы ( *) состоит в следующеl\·I .1 . Выбирается базисный :минор матрицы Не нарушая общности рассуждений, будем считать, что базисный минор матрицы находитсяв левом верхнем углу, так чтоа1 1air=tf O .а тrar12.
Рассматривается укороченная система из первых r уравнений системы (*) , т.е. из уравнений, коэффициенты которых входят в базисный1\Ш НОр :а 1 � � 1 .+. . : · . � � 1 : Xr +. а 1 · �� l �r + � : : ." : а х.. . ..( **)a r1 X1 + . . . + a rrXт + ar,r + 1 Xr + 1 + . . . + ar n Xn =Т е о р е м а 20.2. Укоро'Ченная систе.м,а ( **) эквивалентна системе( *) .3. Если r = п, то система (**) имеет единственное решение как системас квадратной невырожденной матрицей.4 .
Пусть r < п. Неизвестные х 1 , . . . , Хт , коэффициенты при которыхвходят в базисный минор, называются главнъ�ми, а остальные неизвестные Хт + 1 , . . . , Хп - свободнъши.Т е о р е м а 20.3. Прuдава.я свобоih-t,ъ�м неuзвестнЪtм проuзволънъtезна'Чени.я и вЪt'Числяя зна'Чени.я главнъ�х неизвестнЪtх из сtLсте.мъt ( **) , можно полу'Чuтъ все решения системъt ( **) .Изложенная схема дает правило, которое позволяет получить любое решение системы ( **) , а следовательно, и произвольной совместной системылинейных алгебраических уравнений.Т е о р е м а 20.4.
Система алгебраи'Ческuх уравнею.tй с п неизвест.А.{ЬА�� � . . Ь1 ,Ьr .нъ�ми нмеет едннственное решение тогда и толъко тогда, когдаrg A = rg B = п .§20.1 67Системы общего видаОбщее решение системы. Чтобы описать :множество всех решенийнеопределенной системы, можно решить систему ( **) относительно главныхнеизвестных:Х 1 = f1. . . , Xn ) ,( 20 . 2 )Xr=(xr+1 ,fт( Хт+ 1 , . . . , Хп ) ,. . , fr - некоторые однозначно (в силу теоремы 19. 1 ) определяемыегдеиз ( **) функции.Соотношения (20.2) при произвольных X r + 1 , . . . , X n описывают множеВ отство всех решений системы и называются общим решением систе.мu..=т( с 1 , .
. . , Сп ) , где Ci , i 1 , п , личие от общего, конкретное решениевестныечисла,называется'Чдстн'ымрешение.м.изОднородные системы. Система линейных алгебраических уравненийс нулевой правой частью называется oih-t,opoднou.Однородная система заведомо имеет решение (О, . . . , О) т , называемоеfi , .х=тривиалъ нuм.неизвестнъ�ми имеетнетривиалъное решение тогда и толъко тогда, когда rg А < п.Т е о р е м а 20.6.
Однороih-t,а.я система с квадратной матри'Цей имеет нетриви ал ъное решение тогда и толъко тогда, когда== О.Т е о р е м а 20. 5. ОUн,ородна.я систе.ма спIAIЗАД АЧИ20. 1 . Рассматривается система п линейных алгебраическихуравнений с п неизвестнымиАх = Ь.Указать все утверждения из приведенных ниже, равносильныеневырожденности матрицы А .1 . Для любого Ь система имеет хотя бы одно решение.2. Для некоторого Ь система имеет хотя бы одно решение.3.
Для любого Ь система имеет не более одного решения .4 . Для некоторого Ь система имеет не более одного решения .5 . Для любого Ь система имеет единственное решение.6. Для некоторого Ь система имеет единственное решение.20 . 2 . Что можно сказать о матрице А Е IR. m x n , m -:/= п, еслис истема Ах = Ь совместна при любом Ь ?20. 2 .
1 . Что можно сказать о матрице А Е IR. m x n , если системаА х = Ь имеет единственное решение при любом Ь ?20 . 3 . Привести пример матрицы А Е IR. 3 x 5 , для которой систем а уравнений Ах = Ь совместна при любом Ь.2 0.4. Привести пример матрицы А Е IR. 3 x 3 : а) ранга 1 , 6) ранга 2, для которой все три системы уравненийАх = e i , i = 1 , 3 ,не им еют решений (ei - единичные вектор-столбцы из IR 3 ) .168ГлаваV.Системы линейных алгебраических уравнений20. 5 . Доказать, что для любой вырожденной матрицы А илюбой нулевой матрицы О подходящих размеров существуетненулевая матрица В такая , что: а) АВ = О ; б) БА = О .20.6. Доказать, что для того , чтобы система линейных уравнений с числом уравнений, на единицу большим числа неизвестных, была совместна, необходимо (но, вообще говоря , не достаточно) , чтобы определитель расширенной матрицы был равеннулю. Показать, что это условие будет также и достаточным ,если ранг основной матрицы системы равен числу неизвестных.20 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
