Том 1 (1113042), страница 29
Текст из файла (страница 29)
7 . Доказать, что если столбцы основной матрицы системы линейно независимы , то эта система имеет не более одногорешения.20.8. Пусть А Е JR m x n и а ' Е JR. l x n . Доказать , что системыАх = ОАх = О и,' эквивалентны тогда и только тогда, когдаах=овектор-строка а ' линейно выражается через строки матрицы А.20.
9 . Доказать, что системы уравнений А'х = О и А " х = Оэквивалентны тогда и только тогда, когда{[1:, ]= r g A ' = rg A" .rg20. 10. Пусть А Е IR.m x n , Ь Е IR.m x l , а'{JR. l x n и {3 Е IR . ДоАх = Ьказать, что совместные системы Ах = Ь иэквиваа'х = �лентны тогда и только тогда, когда вектор-строка [ а ' l ,В] линейноЕвыражается через строки расширенной матрицы [А \ Ь] .20.
1 1 . Доказать, что совместные системы уравнений А' х = Ь'и А" х = Ь" эквивалентны тогда и только тогда, когдаА' Ь'rg= rg А ' = rg А" .А " Ь"20 . 1 2 . Доказать, что матричное уравнениеАХ = В ,в котором А Е IR. m x n , В Е IR.m x k - заданные матрицы, а матрицаХ Е IR. n x k искомая, имеет решение тогда и только тогда, когдаrg [ A jB ] = rg А .k20.
1 3. Векторы x U ) , х ( 2 ) ,, x ( ) являются решениями неоднородной системы уравнений Ах = Ь. Какому условию должныудовлетворять коэффициенты линейной комбинации этих векто-][•.•§21 . Метод Гаусса исследования и решения систем169ро в , чтобы она снова была решением системы Ах = Ь ?20 . 14. Векторы x ( l) , х ( 2 ) , . , x ( k ) являются решениями неоднородной системы уравнений Ах = Ь.
Какому условию должныудовлетворять коэффициенты линейной комбинации этих векторов, чтобы эта комбинация была решением соответствующейоднородной системы Ах = О ?20 . 1 5 . Показать , что если матричное уравнениеАХВ = С,в котором А Е JRm x n , В Е JRPX Q , С Е IR. m x q - заданные матрицы,а матрица Х Е IR.n xp искомая, рассматривать как систему линейных уравнений относительно элементов матрицы Х , то матрицейэтой системы будет матрица в т 0 А , если элементы каждой изматриц Х и С занумеровать по столбцам .20. 16. Показать, что если матричное уравнениелх + х в = с,в котором А Е IR.m x m , В Е IR.n x n , С Е JRm x n - заданные матрицы, а матрица Х Е IR.m x n искомая, рассматривать как систему линейных уравнений относительно элементов матрицы Х , томатрицей этой системы будет матрица In 0 А + в т 0 Im , еслиэлементы каждой из м атриц Х и С занумеровать по столбцам .20. 1 7.
Доказать, что матричное уравнениеАХВ = С,в котором А Е IR.m x n , В Е JRPX Q , С Е JR m x q - заданные матрицы,име ет решение тогда и только тогда, когдаr g А = rg [ А 1 С ] и r g В = r g [ в т 1 ст ] ..§2 1..М етод Гаусса исследования и ре ш ения системУкажем тип простейших систем линейных уравнений , тип эквивалентн ых преобразований системы, а также покажем, что произвольная системалинейных алгебраических уравнений указанными преобразованиями приводится к указанно l\1у типу.Си стемы с трапецие видной матрицей. Рассматривается системаАх = Ь(21.1)1 70ГлаваV.Системы линейных алгебраических уравненийс верхней трапециевидной матрицей А. Пусть расширенная матрица этойсистемы имеет видао11 аа2212гдеооооaa2rirarrооооaii Тi=еО,о iр=е м1 , аaa2,i,rr+ l+lar оr+1aa2i nnarоnооЬЬ21ЬrЬr+1Ьmr.21 .
1 . Система с верхней траnе'Циевидной матри'Цейсовместна тогда и толъко тогда, когда bk = О при k > r .Реализация всех пунктов схемы исследования и решения совместной системы (§20) для системы с верхней трапециевидной матрицей достаточнопроста:1 ) в качестве базисного минора матрицы А всегда можно взять 1\·ШНор,расположенный в левом верхнем углу;2) укороченная система состоит из первых r уравнений;3 ) если r = п , то система (21 . 1) станет системой с треугольной матрицей{ а11Х1++ . .
. + a ir Xr = Ь 1 ,а12а22 + . . . .+.a2rXr. . . =. .Ь2. ,arr Xr = Ьr ,которая имеет единственное решение ( § 19 ) ; найти его не представляет труда:решая последовательно уравнения системы снизу вверх, мы каждый разбудем иметь дело с уравнением, содержащим только одно неизвестное.. . . , хп будут свободными и система4) если r < п , то неизвестныеотносительно главных неизвестных будет иметь вид{Xr + 1,а11Х1 + . ." :- .a � r�� . �1. � � l :r� l.X��l .-. · :· � .a � n.X� ,arrXr - Ьr - ar, r+ 1Xr+1 - " . - arn Xn .Общее и частное решения исходной системы находятся из этой системыс треугольной матрицей.Элементарные преобразования системы уравнений. ЭлементарН'Ыми преобразованиями системъt У'JЮвнений называются преобразованияследующих типов:1 ) перестановка местаыи двух уравнений системы ;2 ) умножение какого-либо уравнения системы на число а -:/= О;3) прибавление к одному уравнению системы другого ее уравнения, умноженного на любое число {3.Заметим, что элементарные преобразования системы уравнений означают элементарные преобразования строк ее расширенной матрицы В .Т е о р е м а 2 1 .2.
Элементарнъtе преоб'JЮзовани.я снстемъt линейн'Ь/,Халгеб'JЮи'Ч,еских У'JЮвнений пр��водят ее к эквивалентной системе.Приведение системы общего вида к системе с верхней трапециевидной матрицей. Известно (§3 ) , что матрица А системы уравнений1 71§21 . Метод Гаусса исследования и решения систем( 21 . 1 ) общего вида элементарными преобразованиями строк и перестановками столбцов приводится к верхней трапециевидной форме. Если используем ые при этом элементарные преобразования строк матрицы А применить кмы придемстрокам расширенной матрицы В, то на основании теоремысверхнейтрапециевиднойматрицей,решениякоторойотличаютсистемекся от решений исходной системы только нумерацией неизвестных. МетодГау сса исследования и решения системы уравнений состоит в приведенииее к системе с верхней трапециевидной матрицей с последующим исследованием и решением получившейся системы. При этом, если в процессе преобразования использовались перестановки столбцов основной матрицы А ,то в полученных решениях необходимо восстановить исходную нумерациюнеизвестных.П р и мерИсследовать и решить системух 1 + х 2 + 3хз + х 4 =2х1 + 3х 2 + хз + 4х 4 = 4,х1 + 3х 2 - 7х з + х 4 = 3.Р е ш е н и е.
Элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы приведем матрицу системы к верхней трапециевидной форме:21. 221.1.{2 1,2[ �1 � � � � ] [ 6 � -10- � 6 2� ]3 -7 2 3--tо 2--+о�о-�о �о -2�].Система с последней расширенной матрицей несовместна. •ПримерИсследовать и решить систему5х4х 1 + 4х 2 2х 1 + 9х 2 - 2х з - l lx4 = 3 ,х 1 + 5х 2 - х з - 6x4 = l ,7х4 = 9 ,2 х1 + 8х 2 + 3х з2х 1 + 7х 2 + В хз - 3х4 = 15.Р е ш е н и е. Элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы приведем матрицу системы к верхней трапециевидной форме:21 .
2.= О,-211 495 -2- о1 -11-5- 6 о3122 87 83 -3-7 1 95--+--+1о 41 -2о -5- 1 о3 о1 41 -2о -5-1 о3о 1 -1 -1 11 о -2о оо о 3 3 91 31о оо о 6 6 188 7 15о -1-2о1 -5-1о -2о3--tо1о--+5оСистема с последней расширенной матрицей совместна и определенна.Решим последовательно уравнения получившейся системы, начиная с последнего:Х4 = 5,Х3 =-2 ,х 2 = 3 + Х4 + 2х з = 4,х1 = 5х4 - 4х 2 = 9.1 72ГлаваV.Системы линейных алгебраических уравненийИтак, система имеет единственное решение - вектор-столбец (9, 4 , -2, 5) т .
•П р и м е р 2 1 .3. Исследовать и решить системуЗх 4 - 2xs = 1 ,2х 1 + х 2 +6х 1 + Зх 2 + 2х з + Х4 + 8х 5 = 1 ,4х 1 + 2х 2 + х з +X5 = - l ,2х 1 + х 2 + х з + Зх4 + 9х5 = 4.Построить ее общее решение и указать какое-нибудь частное решение.Р е ш е н и е. Элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы приведем матрипу системы к верхней ступенчатой форме:{[�1321о2113 -21 8о 13 9-1114]�[�2ооо1ооо2 1о оо о] [2о 3 -2 1о2 -8 14 -21 -6 5 -3 � о1 о 11 3о3 -27-411·1ооо-iо 3 -21 -4 7о -2 -2 -2о 4 4 4]�-� ] .Базисный минор этой матрицы расположен в первом, третьем и четвертом столбцах, поэтому выберем свободными неизвестные х 2 и Х5 и выразимчерез них остальные неизвестные, решая относительно них уравнения системы, начиная с последнего:Х 4 = 1 - Х5 ,х з = - 1 + 4х 4 - 7xs = 3 - l lx 5 ,2х 1 = 1 - х 2 - '3х 4 + 2х 5 = -2 - х 2 + 5х 5 => х 1 = - 1 - х 2 / 2 + 5х5 /2.Итак, общее решение системы имеет видх = (-1 - х 2 / 2 + 5х 5 / 2, х 2 , 3 - l lx5 , 1 - xs , х 5) т , х 2 , Х5 Е IR.Частное решение системы получится, если в ее общем решении задатьзначения свободных неизвестных, например, положить их равными Х 2 =Х5 = О:х = ( - 1 , 0, 3, 1 , О) т .
•П р и м е р 21 .4. Найти необходимое и достаточное условие того, что влюбом решении совместной системы линейных уравнений неизвестное X kпринимает одно и тоже значение.Р е ш е н и е. Условие означает, что Xk не может быть свободным неизвестным, т.е. что k-й столбец матриц системы входит в любой ее базисный минори, следовательно, не является линейной комбинацией других столбцов.
Эторавносильно тому, что при вычеркивании k-го столбца ранг матрицы системы уменьшается на единицу. •ЗАД АЧИИсследовать на совместность и найти общее решение системыуравнений.§21 . Метод Гаусса исследования и решения систем21. 1 .21 .3.{21.5.х 1 + х2 - 3 хз = - 1 ,2 х1 + х 2 - 2х з = 1 ,Х1 + Х2 + Х 3 = 3 ,х1 + 2 х 2 - 3хз = 1.2 х 1 + х 2 + хз = 2 ,х1 + 3х 2 + хз = 5,х 1 + х 2 + 5х з = - 7,2 х 1 + 3х 2 - 3х з = 14.21.2.2 Х1 + Х 2 - Х 3 + Х4 = 1 ,3х 1 2 х 2 + 2 хз 3 х4 = 25х 1 + х 2 - хз + 2х4 = - 1 ,2 х 1 - Х 2 + Х 3 - 3Х4 = 4.х 1 - 2х 2 + х з - х4 = - 1 ,х1 - 2 х 2 + хз + Х4 = 1 , 2 1 .4.х 1 - 2 х 2 + х з + 5х4 = 5.2х 12 х13 х12х 1-- Х 2 + Х 3 - Х4 = 1 ,- х 2 - 3х4 = 2 ,21 .6.- Х 3 + Х4 = -3,+ 2х 2 - 2х з + 5х4 = -6.2 1 .
7.2 1 .8.х 1 + 2 х2 + 3х з + 4х4 = 1 1 ,2х 1 + 3х 2 + 4х з + Х4 = 12 ,21 .9.3 х1 + 4х 2 + хз + 2 х4 = 1 3,4х 1 + х 2 + 2х з + 3х 4 = 14.21 . 1 1 .21 . 13.-,2х 1 - х 2 + 3 х з = 3 ,3х1 + х 2 - 5 х з = О,4х 1 - х 2 + х з = 3 ,х1 + 3х 2 - 13х з = - 6 .3 х 1 + х 2 - 2 х з + Х4 - xs = 1 ,2 х1 - х 2 + 7х з - 3х 4 + 5 х5 = 2,х 1 + 3х 2 - 2х з + 5х 4 - 7х 5 = 3 ,3 х 1 - 2 х2 + 7х з - 5х4 + 8 х 5 = 3 .2 1 . 10 .1 73х 1 + 3х 2 + 2х з = О,2 х 1 - х 2 + 3х з = О,3х 1 - 5х 2 + 4х з = О ,х1 + 1 7х 2 + 4х з = О.х 1 + 2 х 2 - 3х4 + 2xs = 1 ,х 1 - х2 - 3х з + Х4 - 3xs = 2 ,2х 1 - 3 х2 + 4х з - 5 х4 + 2xs = 7,9х 1 - 9 х 2 + 6х з - 1 6х 4 + 2xs = 25.2х 1 + 3х 2 - х з + 5х4 = 0 ,3 х1 - х 2 + 2 х з - 7х4 = 0,2 1 124х1 + х 2 - 3х з + 6х4 = 0 ,х 1 - 2 х 2 + 4х з - 7х4 = 0.··х 1 - 2 х2 + 3х з - 4х4 = 4,Х 2 - Х 3 + Х4 = -3,х 1 + 3 х 2 - 3х 4 = 1 ,-7х2 + 3 хз + х4 == - 3 .х 1 - 2х 2 + 3х з - 4х4 + 2xs = - 2,х1 + 2х 2 - х з - xs == - 3 ,х1 - х 2 + 2х з - 3х4 = 1 0 ,Х2 - Х 3 + Х4 - 2 Х 5 = - 5 ,2 х 1 + 3 х2 - х з + Х4 + 4х5 = 1 .1 74ГлаваV.Системы линейных алгебраических уравнений2 1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
