Том 1 (1113042), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Так как E n F == 0 , то х Е F. •П р и м е р 1 0.2. Для подl\,шожеств Е и F множества А доказать, чтоn( 10. 1 )E П F = E U F.Р е ш е н и е. Проверим двустороннее вложение для множеств из ( 10. 1 ) .Им еемхЕЕnF<==:::>{ ххЕЕЕ,F.104Глава III. Множества и отображенияСледовательно,хЕЕnF<===?[х ф. Е,х ф. F�[х Е Е,<==:::>xEFхЕЕ U F.•Характерисmu'Ческой функ'Цией подмножества Е множества А называется функция е(х) , определенная для любого хе(х)= { 6:ЕА соотношениемх Е Е,х ф.
Е.(10.2)Очевидно, что два множества совпадают тогда и только тогда, когда равныих характеристические функции.П р и м е р 10.3. Доказать, что если е х и- характеристическиефункции подмножеств Е и F множества А, тохарактеристическаяфункция их пересечения Е n F .Р е ш е н и е. Пусть <р ( х ) - характеристическая функция Е n F . Тогда,= 1.если х Е E n F , то <р ( х ) 1 . При этом х Е Е, х Е F и е ( х ) 1 ,= 1Следовательно,<р(х ) . Если же х ф:. Е n F , то <р ( х )О.При этом либо е (х ) О, либоОО. В любом случаепринимают<р(х) . Таким образом, для любых х Е А функции <р(х) и•одинаковые значения. Следовательно, <р(х)П р и м е р 10.4.
Доказать, что( ) e(x)ff(x)(x) -e(x) f=(x)f (x) ==e(x)(x)fe(x ) f (x)===f (x)=== e(x) f (x ) .(Е n F ) n G = Е n ( F n G)(ассоциативность пересечения) .Р е ш е н и е. 1-й способ. Так же, как и в примере 1 0. 1 , проверяется двустороннее вложение множеств.2-й способ. Для доказательства равенства множеств достаточно проверить совпадение их характеристических функций. Обозначив через е х ,характеристические функции Е, F, G соответственно и используяпример 10.3, получим для любого х Е А()f(x), g (x)))(x)(x)(f(x)(x)(x))((xegfeg(в силу ассоциативности умножения в IR) .=3-й способ. Равенство множеств можно проверить с помощью так называемых кругов Эйлера:(Е n F) n GЕ n (F П G )105§ 1 0.
Операции над множествамиЗАД АЧ И10. 1 . Пусть е(х) и f (х) - характеристические функции подмножеств Е и F подмножества А . Доказать, что1 е(х) , e ( x) f (x) , е( х ) + f (х) - e(x) f (x) , е(х) - e ( x) f (х)явля ются характеристическими функциями множеств Е , Е n F ,Е U F и Е \ F соответственно.10.
2 . Пусть Е и F - подмножества множества А . Доказать,-чтоa) E U F = E П F; б) E n F = E U F ; в) E \ F = E U F ;г) E \ F = F \ E .10. 3. Доказать, что соотношение А С В эквивалентно любо-му из трех соотношенийА U В = В;AnВ =А·'A n B = eJ .10.4. Доказать , чтоа) (Е U F ) U G = Е U ( F U G ) (свойство ассоциативности объединения) ;б) ( Е n F ) n G = Е n ( F n G ) (свойство ассоциативности пересечения) ;10.
5 . Доказать , чтоа) ( Е n F ) u G = ( Е U G ) n ( F u G) (свойство дистрибутивностиобъединения относительно пересечения) ;б) ( Е U F ) n G = ( Е n G ) U ( F n G ) (свойство дистрибутивностипересечения относительно объединения) .10.6. Пусть Ei (i = 1 , п) - подмножества множества А. Доказать, что_2__а) E_1_U_EE-n = Е1 n Е2 n . . . n Еп ;U .. U.б) Е1 n Е2 n . . .
n Еп = Е1 U Е2 U . . . U Еп .10. 7. Пусть Ei (i = 1 , п) , F - подмножества множества А .Доказать , чтоа) (Е1 U Е2 U . . . U Еп ) n F = ( Е1 n F ) U ( Е2 ) U . . . U (En n F) ;б) ( Е1 П Е2 n . . . n Еп ) U F = ( Е 1 u F ) n ( E2 U F ) n . . . n ( En U F ) .10.8. Доказать , что операция вычитания множеств не обладает свойством ассоциативности, показав, что равенство___( Е \ F) \ G = Е \ ( F \ G)вы полн ено тогда и только тогда, когда множества Е и G не пересекаются .10.9. Доказать , чтоа) E \ ( F n G ) = ( E \ F ) u ( E \ G) ;Глава III. Множества и отображения1066) Е \ ( F u G ) = ( Е \ F) n ( Е \ G ) ;в) ( Е n F ) \ G = ( Е \ G) n ( F \ G ) ;г) ( Е u F ) \ G = ( Е \ G) u ( F \ G ) .10.
10. Доказать , чтоа) Х х ( Е u F ) = ( Х х Е) u ( Х х F ) ;б) х х ( Е n F ) = ( х х Е) n ( х х F) ;в) ( х n У) х ( Е n F) = ( х х Е) n (У х F) .10. 1 1 . Пусть А - конечное множество, состоящее из п �лементов. Найти число всех подмножеств этого множества (включаяпустое множество и само множество А) .10. 1 2 . Пусть А - конечное множество, состоящее из п элементов . Найти число всех подмножеств этого множества, состоящихиз m элементов.10 . 1 3.
Обозначим через m(A ) число элементов множества А .Доказать , что для любых конечных множеств А , В , С выполнены соотношения:а) m(A \ В ) = m (A ) - m(A n В ) ;6) m( A u В ) = т ( А ) + m(B ) - m( A n В ) ;в) m(AU B U C ) = m (A) + m(B ) + m(C ) - m(A n B ) - m(An C ) -m(B n С ) + m(A n В n С ) .§11.ОтображенияПусть Х , У - два множества. Отоб'fХJ,жением множества Х во множество У называется закон, посредством которого каждому элементу х Е Хставится в соответствие однозначно определенный элемент Е У . СимвоХ ---+- У . Записьлически отображение записывается в видеилихозначает, что элемент х при отображении переходит в элементПолн'ым прообразом элемента Е У называется множество{х Е Х 1Образом отображения называется множествоЕУЕХ:Отображение : Х � У называется:• ин3ективн'Ьlм, если из того, что хi= х 2 , следует, что ( х 1 ) i= ( х 2 ) ,или, другими словами, если уравнениеfу у = f(x):f�уу.fуf - 1 (fy ) =f (x ) == у}.( X ) = {у l 3x у = f (x)}.fff f1(11 .
1)f (x) = Упри любом у У имеет не более одного решения;У , или, другисюр3ективн'Ьlм или отображением на, если f ( Х )ми словами, если уравнение ( 1 1 . 1) при любом у Е У имеет хотя бы одноЕ•решение;•биективн'Ым или взаимно однозншчнъш, если оно и инъективно, исюръективно, или, другими словами, если уравнение ( 1 1 . 1 ) при любомимеет, и притом единственное, решение.уЕУ§1 1 .107Отображения-+ У и g : Х -+ У называются 'JЮвН'ыми, еслиf (x) = g (x) , Vx Х.Тождественн'Ым (едини'Чнъш} отображением на множестве Х называется отображение ех : Х -+ Х , которое переводит каждый элемент х Х вДва отображения f : ХЕЕсебя.Биективное отображение множества М на себя называется перестановкой ( подстановкой) множества М.
Если множество М состоит из п элементов, то его элементы можно занумеровать числами 1 , 2, . . . , п и тогдакаждую перестановку s можно записать в виде таблицы1 2 ." k ... п( 1 1 .2)s ==( й1 й2 . . . й k . . . йп ) 'в которой под каждым номером k указывается номер йk того элемента, который является образом элемента с номером k. Очевидно,2) а i -:/= аj при i -:/= j ,1 ) ai { 1 , 2, " . , п } ,так что а == ( а 1 , а 2 , . . . , й п ) - перестановка (§4) из чисел 1 , 2 , . . . , п .Заметим, что термин "перестановка" используется и как название отображения ( 1 1 .
2) , и как фиксированное расположение чисел 1 , 2 , . . . , п в определенном порядке а . Это естественно, так как между отображениями ( 1 1 . 2)и упорядочением а чисел 1 , 2 , . . . , п , очевидно, существует взаимно однозначное соответствие.Если в таблице ( 1 1 . 2) поменять местами столбцы, то получится другаязапись той же перестановки s :Еs=( ')'{311 ')'2{32 ·"· ·· ')'fЗпп ) '( 1 1 .3)где {3 == ( {3 1 , !32 , . . . , !Зп ) и ')' == ( ')'1 , ')'2 , .
. .- перестановки из первых пнатуральных чисел.Перестановка ( 1 1 .2) называется 'Четной, если а - четная перестановка,т.е. если а ( а ) - четно. В записи ( 1 1 . 3 ) перестановка s четная тогда и толькотогда, когда а ({З) + а (1) - четно (см. ниже задачу 1 1 . 1 6) .Произведением (суперпози'Цией или компози'Цией) отображений g : Х -+У и f : У -+ Z называется отображение f g : Х -+ Z , определенное правиломfg(x) == f (g (x) ) , Vx Х .П р и м е р 1 1 . 1 . Найти произведения s t и t s перестановокs=� { j иt=Р е ш е н и е. Произведение перестановок в данной задаче является суперпозицией двух отображений :множества М == { 1 , 2 , 3 , 4 } на себя. Согласнообозначениям, принятым в определении произведения отображений, в перестановке st первой выполняется перестановка t, а второй - перестановка s .Суперпозицию перестановок t и s наглядно представить следУющей схемой, ')'п )Е)и1234Поэтомуst=t-+-+-+-+(11и � � i ).342123s-+-+-+-+34134242).Глава III.
Множества и отображения108Аналогично1234st--+ 2 --+ 4--+ 4 --+ 1--+ 1 --+ 3--+3--+2::=}ts =( 41213342).•Т е о р е м а 1 1 . 1 . ·Произведение отображений обладает следующими свойствами:1) 1 ех = 1 ; е у 1 = 1 дл.я любого отображения 1 : Х --+ У ;2} произведение отображений ассо'Циативно, т. е. если h : Х --+ У , g :У --+ Z , 1 : Z --+ И , то l(gh) = ( lg) h;3) произведение ин3ективн'ЫХ (сюр3ективнъtх, биективн'Ых) отображений ин3ективно (соответственно сЮр3ективно, биективно) .Пусть f : Х --+ У. Отображение 1 - 1 : У --+ Х называется обратнЪtм котображению 1 , если1 - 1 1 = ех , 11 - 1 = еу .Т е о р е м а 1 1 . 2 . Ее.ли g : Х --+ У, 1 : У --+ Х и 1 9 = е х , то gин3ективно, а 1 сюр3ективно.Т е о р е м а 1 1 .
3 (критерий обратимости) . Отображение обратимо тогда и толъко тогда, когда оно биективно.Т е о р е м а 1 1 .4. Обратимъtе отображения обладают следующимисвойствll.М,и:1) обратное отображение единственно;2) произведение обратимъtх отображений обратимо, при этом(! g ) - 1 == 9 - 1 1 - 1 .ЗАД АЧИ1 1 . 1 . Пусть IR+ - множество всех положительных вещественных чисел и пусть каждому числу а Е IR поставлено в соответствие число х такое, что х 2 = \ a l . Определяет ли это правилоотображениеа ) IR+ -4 IR ;6) IR + � IR+ ;в ) IR � IR+ ?Если да, то будет ли оно сюръективным, инъективным , биективным?1 1 .
2 . Определяет ли правило f (x) = sin x отображениев ) f : IR � [ - 1 ; 1 ] ;а ) f : IR -4 IR ;б ) f : [- 7Г / 2 ; 7Г / 2] � [- 1 ; 1] ; г ) f : IR+ -4 IR+ ?В каких из случаев а ) -г ) это правило определяет биективноеотображение?1 1 . 3 . Пусть каждому подмножеству множества А поставлена в соответствие его характеристическая функция . Будет ли это109§ 1 1 . Отображениябиективным отображением множества всех подмножеств множества А на множество функций, принимающих значения О и 1 ?1 1 .4. Отображение f : Х � У ставит в соответствие парев ещественных чиселв) их произведение;а) их сумму;б) их разность; г) их частное.Для каждого из случаев а )-г) указать подходящие множества Хи У.1 1 . 5 . Является ли отображением IR х IR � IR правило , которое паре чисел а, Ь Е IR ставит в соответствие частное а/Ь ?1 1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
