Том 1 (1113042), страница 15
Текст из файла (страница 15)
также задачи 2.41 , 1 6 . 57.§9 .Обратная матрица97у которых:а) период равен трем;б) период равен четырем.9 .62 . Пусть невырожденная матрица А обладает тем свойством , что все ее строчные суммы 1 3 одинаковы и равны чи.слу r.Доказать , ЧТО Т =/= 0 И обратная матрица л -l обладает тем жесвойством , только для нее все строчные суммы равны 1/r. Верноли аналогичное утверждение для столбцовых сумм? ·9 .63 .
Доказать, что обратная к невырожденной стохастической (дважды стохастической) матрице является матрицей , у которой все строчные суммы (соответственно все строчные и столбцовые суммы) равны 1 . Верно ли, что обратная матрица будетстохастической?9 . 64. Доказать , что кронекерово произведение невырожденных матриц обратимо, причем(А 0 в ) - 1 = л - 1 0 в - 1 .9.65. Пусть А и В - невырожденные матрицы одного порядАиВ{ А , в } = л вл - 1 в - 1 .ка.
Групповым ко.м.мутаторо.м матрицрицаназывается матДоказать сле,цующие свойства группового коммутатора:а) { а А, В } = {А , В } ; б ) { А , в } - 1 = {В , А }; в) det { A , B } = 1 ;г) { А , В } = I {=:=:} А и В перестановочны;д) { А, В } = А {=:=:} А = I.9.66. Матрица А, у которой все элементы являются целымичислами, называется целочислеппоil. Доказать , что обратная кцелочисленной матрице А сама является целочисленной матрицей тогда и только тогда, когда det А = ±1.9.67.
Пусть А и В - матрицы размера п х m и m х п соответственно. Доказать , что матрица In + АВ обратима тогда итолько тогда, когда обратима матрица Im + БА.9 . 68. Доказать, что если матрица А нильпотентна, то матрицы I + А и I А обратимы.9 .69 . Доказать , что если I - А - невырожденная матрица, тоа) I + А + А 2 + . . + л п = ( I - л п + l ) ( I - А) - 1 ;--6 ) I + А + А 2 + . . . + лп + . . . = ( I - А) - 1 ..1 3 По поводу строчных сумм см. задачу 1 .39.4-427 1Глава II.989 .
70. Найти матрицуОпределителиА , если 1+А+А2+ . . . +Ап + . . . = [ ��].одинаковогоВ = хут , где х, у - вектор-столбцытр азмера п 1. Доказать , что если µ 1 + х у =f. О, то матрицаI + В обратима и выполнено равенство. (1 + в )- 1 = I - }:_ в .µ9 . 71 . Пусть=х9 . 72 . Пусть Jn - матрица порядка п , все элементы которойравны 1 . Доказ ать, что(! - Jп ) - 1=l-1Jп - 1 n.В - квадратныематрицы порядка п, причемтА невырождена, а В = ху , где х, у - вектор-столбцы одинакового размера п 1 . Доказать , что если µ = 1 + у т л - 1 х =1- о, томатрица А В обратима и выполнено равенство( А + в )- 1 = А - 1 (л - � в ) л - 1 •прибавля9 .
74. В невырожденной матрице А к элем �нтуется число h, при этом полученная матрица А также невырождена. Н айти выражение для А- 1 через h и элементы м атрицыл- 19 . 73. Пусть А и+хaij.9 . 75 . В невырожденной матрицеА ковсем элементам прибавляется одно и то же число h, при этом полученная м атрицаА также невырождена . Найти выражение для л - 1 через h и элементы матрицы А l .9 . 76.
Доказ ать, что матрица, обратная к невырожденной квазидиагональной матрицесама является квазидиагональной,причем она имеет такое же клеточное строение, что иа еедиагональные блоки обратны к соответствующим диагональнымблокам матрицы А.9 . 77. Доказать, что матрица, обратная к невырожденнойверхней (нижней) квазитреугольной матрице А, сама являетсяверхней (соответственно нижней) квазитреугольной, причем онаимеет такое же клеточное строение, что и А, а ее диагональныеблоки обратны к соответствующим диагональным блокам матрицы9 .
78. Найти обратные для следующих блочных матриц:-А,А.А,§9 . Обратная матрицаа)99[ � L ] 6) [ � � ] в) [ � g ] г) [ g � ]А и D квадратные невырожденные матрицы порядков п;;;(здесьи т соответственно, In и Im - единичные матрицы соответствую щих порядков, а В и С - произвольные матрицы подходящихразмеров) .9 . 79 . Найти обратную для блочной матрицыгде[� 1 �]О О I,А и В - квадратные матрицы одинакового порядка.9 .80. Для матрицы А порядка п - 1 известна обратная мат1рица л - .
Найти обратную матрицу для окаймленно й матрицыВ порядка п видапредполагая ее невырожденной (здесь х , у - вектор-столбцыразмера ( п - 1) х 1 , а а - вещественное число) .9 .81 . Доказать, что если матрица А невырождена, то определитель квадратной блочной матрицыХ=[�может быть вычислен по формулеdet X=IAI·ID�]-сл - 1 B I .9 .82 . Пусть матрицы А , В , С , D - квадратные одного порядка. Доказать , что если матрица А невырождена и перестановочнас матрицей С , то справедливо равенство[� � ]det=det ( AD - СВ ) .В ер но ли это равенство, если матрица А вырождена?9.83 . Доказать, что для квадратной блочной матрицыГлава II. Определители100в которой А и D - квадратные блоки соответственно порядков пи m , обратной является блочная матрицагдеилирR= ( А __.
в D - 1 с ) - 1 , Q = -Р в D - 1= - D - 1 CP,S = D - 1 - D - 1 CQS = ( D - с л - 1 в ) - 1 , R = -scA - 1Р = л - 1 - л - 1 в н , Q = - л- 1 в s.Предполагается, что все участвующие в этих соотношениях (которые называются формулами Фробениуса) обратные матрицысуществуют.9.84. Пусть А, В, С, D невырожденные матрицы одного порядка. Доказать , чтоl[ СА DB ] - = [ (( АВ -- вл сD--11D)с) --11-( С - D в - 11 А ) - 11( D - сА - в ) -]·Предполагается, что все участвующие в правой части этого равенства обратные матрицы существуют.9 .85 . Матрица А называется подобной матрице В (что обозначается символом А � В ) , если существует невырожденнаяматрица S такая, что А = s - 1 BS.
Матрица S при этом называется матрицей преобразования подобия или трансформирующ ейматрицей. Доказать, что отношение подобия на множестве всехневырожденных матриц одного порядка обладает следующимисвойствами:а) А � А;б) А � В =} В � А;в) А � В , В � С =} А � С.9 .86. Доказать, что если хотя бы одна из двух матриц А,В невырождена, то матрицы АВ и Б А подобны. Верно ли этоутверждение, если обе матрицы вырождены?9.87. Показать, что скалярная м атрица подобна только самойсебе .
Доказать , что этим свойством обладают только скалярныематрицы .9.88. Показать, что матрица А переходит в подобную, еслинад ней выполняется любое из следующих преобразований:§9.Обратная матрица101а) i-я строка умножается на число а =f О, а затем i-й столбецумножается на число 1/ а;б) к i-й строке прибавляется j-я, умноженная на число (3, азатем из j -го столбца вычитается i-й, умноженный на /3 ;в) переставляются i-я и j-я строки, а затем i-й и j-й столбцы ;г) каждый элемент матрицы заменяется на симметричн ыйему относительно "центра" матрицы.9 .89 .
Пусть матрицы А и В подобны. Однозначно ли приэтом определена матрица преобразования?9 . 90. Доказать, что преобразование подобия сохраняет следующие свойства матриц:а) невырожденность ;б) нильпотентность;в) периодичность;г) ортогональность.9 . 9 1 . Пусть В - матрица, подобная симметрической матрице.Доказать , что для симметричности матрицы В достаточно, чтобы матрица преобразования подобия была ортогональной.
Является ли это условие необходимым?С формулировать и доказать аналогичное утверждение длякососимметрических матриц.9 .92. Матрица В получена из матрицы А преобразованиемподобия . Выяснить, верны ли сле,цующие утверждения :а) если А - треугольная матрица, то В - также треугольная;б) если А - стохастическая матрица, то В - также стохастическая .9 .
93. Пусть матрицы А и В подобны и В = s - 1 AS . Доказать,что:а) det B = det A;б) В = I тогда и только тогда, когда А = I;в) В = А тогда и только тогда, когда А и 8 перестановочны;г) B k = s - 1 A k S для любого k Е N;д) f ( В ) = s - 1 f (A) S для любого многочлена f (t) ;е) в -1 = s л - 1 s - 1 ;ж ) в = sAs - 1 .9 . 94 . Матрицы А и В подобны соответственно матрицам С иD с одной и той же матрицей преобразования S.
Доказать , что:а) произведения АВ и CD подобны;б) коммутаторы [А, В] и [С , D] подобны;102Глава II. Определителив) групповые коммутаторы {А , В} и {С, D } подобны;г) произведения Й ордана А * В и С * D подобны.9 . 95. Пусть матрицы А Е IR. n x n и В Е IR. m x m подобны соответственно матрицам С и D . Доказать, что кронекеровы произведения А 0 В и С 0 D также подобны.9 . 96. Пусть матрица А = A(t) Е vп х п невырождена принекотором значении t: Доказать, что при данном значении t справедливо следующее правило дифференцирования обратн0й матрицы :Глава I I I .
Мно:жества и ото б ра:жен ия§10.Операции над множествамиДва множества Х и У называютсяется подмножеством другого, т.е.'[ЮвН'Ыми, если каждое из них явля06-l!Jединением множеств Х и У называется множествот.е.Х U У == { х 1 хЕХ или хЕУ} ,x E X U Y [ � � �.'Пересе'Чением множеств Х и У называется множествоХ П У = {x j x Х , х У } ,т.е.x E X n Y { � � �"�ЕЕ�Разностъю множеств Х и У называется множествоХ \ У == { х 1 х Х , х tf. У } .Если У С Х , то разность Х \ У называется дополнением множества Удо множества Х и обозначается символом У .Декартов'Ым произведением 1\Iножеств Х и У называется множествоХ х У == { ( х , у) l x Х , у У } .Разбиением множества называется представление множества в видеобъединения непустых подмножеств, не имеющих попарно общих точек.ЕЕЕП р и м е р 10.
1 . Доказать, что если подмножества Е и F множества Аудовлетворяют соотношениямE U F = A,Е П F == !25 ,то каждое из множеств Е и F является дополнением другого до А.Р е ш е н и е. Докажем, что F = Е . Для этого покажем, что имеет местодвустороннее вложение: F С Е С F. С одной стороны, если х Е F, то х Е А(так как А == Е U F ) и х tf. Е ( так как Е F == 0 ) . Следовательно, х Е Е . Сдру гой стороны, если х Е Е , то х Е А, х tf. Е .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
