Том 1 (1113042), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Оноsin ep=а:а_=Глава VIII. Прямая и плоскость в пространств е280l 1 l2 ,совпадает с длиной общего перпендикуляра к прямым и т.е. с расстоянием между параллельными плоскостями, в которых лежат прямые иЭто расстояниенаходится как высота параллелепипеда, построенноai ,го на векторахp(l 1 , l2 )М1М2 ,l 1 l2 .а2 :(32.2)Соотношения (32. 1 ) и (32.2) , вообще говоря, не связаны с системой координат. В случае прямоугольной декартовой системы координат они сводятсяк простейшим формулам вычисления векторного произведения, смешанного произведения и длин векторов по их координатам в ортонормированномбазисе .П р и м е р 32. 1 .
Доказать, что прямая проходящая через точкуА( 1 , 2, 3) и пересекающая прямыеl,l 1 ..х-12z-12у-1-1их-22l2 ..у-8-9z+36образует с этими прямыми равные углы. Система координат прямоугольная.Р е ш е н и е. Прямая является линией пересечения плоскостей ипроходящих через точку А и одну из данных прямых.
Плоскостииопределяются уравнениямиlх- 1 у- 1-121о?Т?Т1 ?Т?Т2 ,1 2z-122=0<===>2х + 2 у - z - 3 = О,их-2 у-8 z+3-962= 0 <===> 6х + 6у + z - 57 О,6-61поэтому направляющим вектором прямой будет вектор {8, -8, О } (являющийся векторным произведением векторов нормали к плоскостямиили коллинеарный ему вектор1,1,0.Направляющимивекторами}{= {2, -9, 6 } . Угол ерпрямых и являются векторы ai = { 2, - 1 , 2 } имежду прямыми l и определяется из соотношения=ll 1 l2?Т1 ?Т2 )а=а2l11Тер = - ,4l l2а угол ф между прямыми и-из соотношения1У'21Тф = - = ер .4l,•П р и м е р 32.2.
Составить уравнение прямой проходящей через точкуA{ l , О, О) , отстоящей от оси Oz на расстояние 1/J5 и образующей с осью Oz2угол ер = arccos З . Система координат прямоугольная.§32. Метрические задачи в пространстве281Р е ш е н и е. Пусть= { l , m, п} - направляющий вектор искомой пряой.ОсьOzпроходитчерезточку 0(0, О, О) и имеет направляющий векторма2 = { О , О, 1 } . Согласно (32.2)aiИмеем(ОА, а 1 , а2 )--+[ а 1 , а2 ]==lоei1 о оm п = m;1ое2 езm п = m, -l, O} и1оlоl [a1, а2 ] 1 = v'm2 + l 2 ,{поэтоыу1v15lml)m 2 + l 2Так как координаты вектора а определены с точностью до постоянногомножителя, можно считать, что m = 1 , m 2 + l 2 = 5. Отсюда получимчетыре пары ( l, m ) : (2, 1 ) , (-2, 1 ) , (2, - 1 ) , (-2, - 1 ) .Угол между векторамии а2 равен либо ер , либо 7Г - ер ; поэтому согласно (32.
1)ai)l 2 + m 2 + п 2пl l= ±�23)5 + пп==>п=±2.{l ,Каждое из этих значений п дает четыре тройки координат m, n } . Отобравиз них неколлинеарные векторы, получим четыре прямые:zх-1х-1 уzи.1 =t=2±21 ±2±2у•ЗАДАЧ ИВ задачах этого параграфа считается , что система координат прямоугольная декартова. Случай произвольной аффиннойсистемы координат оговаривается особо .32 . 1 . Составить уравнение перпендикуляра, опущенного източки (3, -2 , 4) на плоскость 5 х + Зу - 7z + 1 = О.32 . 2 . Найти ортогональную проекцию точки ( 1 , 2, -3) наплоскость 6х - у + 3z - 41 = О.32 . 3 . Составить уравнение ортогональной проекции прямой2 х + у - z + 4 = О, х + у = О на плоскость O x z.32.4. Составить уравнение ортогональной проекции прямойх = 3 + 5t, у = - 1 + t, z = 4 + t на плоскость 2х - 2 у + 3z - 5 = О .282Глава VIII. Прямая и плоскость в пространстве32 .
5 . Найти точку, симметричную точке ( 2, 7, 1) относительно плоскости х - 4у + z + 7 = о.32 . 6 . Составить уравнения прямой, перпендикулярной кплоскости Oxz и пересекающей каж,цую из двух прямых х = t,у = -4 + t, z = 3 - t и х = 1 - 2t, у = -3 + t, z = 4 - 5t.32 . 7. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямуюу - Уо z - zoЬи перпендикулярной к плоскости Ах + Ву + С z + D = О.х - хоас32 . 8 . Составить уравнение плоскости, зная , что точка Р ( 2 , 6,-4) служит основанием перпендикуляра, опущенного из началакоординат на эту плоскость.32 .
9 . Даны две точки А(3, -2, 1) , В(б, О, 5) . Составить уравнение плоскости, проходящей через точку В и перпендикулярнойк прямой АВ.32 . 10. Через начало координат провести плоскость, перпендикулярную к прямойх+24у-35z-1-23 2 . 1 1 . Написать уравнение плоскости, проходящей черезточку ( х 1 , У1 , z 1 ) и перпендикулярной к прямой х = хо + at, у =Уо + Ы , z = zo + ct.32. 1 2 .
Написать уравнение плоскости, проходящей черезточку ( х 1 , У1 , z 1 ) и перпендикулярной к прямойА 1 х + В 1 у + C1 z + Di = О,{ А х+В у+C z+D2222 = О.32 . 1 3. Найти точку, симметричную точке ( 4, 3, 10) относительно прямой х = 1 + 2t, у = 2 + 4t, z = 3 + 5t.32 .
14 . Найти прямую, проходящую через точку М (О, 1 , 1),образующую прямой угол с прямой у + 1 = О, х + 2z - 7 = О ипересекающую прямую х - 1 = О, z + 1 = О.32 . 1 5 . Составить уравнения прямой, пересекающей ортогонально ось Оу и прямую х = 3 + 4t, у = 1 - t, z = 2 + 5t.3 2 . 16. Составить уравнение перпендикуляра, опущенного източки (3, 2, 1) на ось Ох.32 . 17. Составить уравнение перпендикуляра, опущенного източки (-1, 0, 4 ) на прямую х = 1 + t, у = 2t, z = 4 - t.32 . 18. Написать уравнение перпендикуляра, опущенного и з§32 .
Метрические задачи в пространстветочки( х 1 , У1 , z 1 )на прямуюх - хоу - у0Ь283z - zoс32 . 19 . Найти ортогональную проекцию точки ( 1 , 3 , 5 ) на прямую 2х + у + z - 1 = О, 3х + у + 2z - 3 = О.32 . 20. Написать уравнения общего перпендикуляра к двумпрямымах-18у-24z-31их2у-2z132 . 2 1 . Найти:1) уравнения общего перпендикуляра к двум прямым2)3)l1..х - у+431z2и l2..х-32у+2-3z + 3.-2 'расстояние меж,цу прямыми l 1 и l 2 ;точки пересечения прямых l 1 и l 2 с их общим перпендикуляром .32 . 2 2 . К непересекающимся диагоналям граней куба, имеющих общее ребро, проведен общий перпендикуляр. В каком отношении точки пересечения диагоналей с их общим перпендикуляром делят эти диагонали?32.
23. Даны три плоскости: 2x + 3y - 4z + 5 = О , 2x - z + 3 = О ,х + у - z = О . Через линию пересечения первых двух плоскостейпровести плоскость так, чтобы линия ее пересечения с третьейплоскостью была перпендикулярна к линии пересечения первойи второй плоскостей.32 . 24.
Определить направляющие косинусы прямых:1) х - 1 - у - 54-3z+2.12'2)х12у-79z+320 .32 . 2 5 . Составить уравнения прямой , которая проходит черезточку A ( l , -5, 3 ) и образует с осями координат углы, соответственно равные 60° , 45° и 120°.32 . 26. Определить угол, образованный прямымих-13у+26z-5 и х22у-39z+l63 2 . 27. Вычислить направляющие косинусы прямой x- z+3 =О , 5х - 6у + 2 z + 21 = О.32 . 28. Определить угол между каждой парой сле,цующихп рямых:284{Глава VIII. Прямая и плоскость в пространств е{х = 3 + t,х = 2 + 5t,у = 1 - t,у = 7 - 2t,1)z = 1;z = 4 + 3t3х - 4у - 2z = О, и4х + у - 6z - 2 = О ,2 ) 2х+ у - 2z = Оу - 3z + 2 = О;3х + у - z + 1 = О, их - у + 1 = о,3) 3х- у + z· = О2х + 2у - 5z + 1 = О.32 .
29 . Н айти угол междУ прямой х = 5+4t, у = l +t, z = 2 - tи плоскость ю 7х + 4у - 4z + 5 = О.3 2 . 30 . Найти угол междУ прямой x + y - z = О , 2 x - 3y + z = Ои плоскостью 3х + 5у - 4z + 2 = О.и{{{{32 . 3 1 . Написать уравнение плоскости , проходящей через прямуюх + 7 у - 6 -z-213/3 с прямой х - у + z = О , х - у + 2z = О.и образующей угол 7Г32 . 32 . Через прямуюz-1х1y+l-12){ 4хх +-у3z- z++3 2= =О .о,опровести плоскость так, чтобы острый угол меж,цу линиями еепересечения с плоскостями O x z и Oyz был равен 1Г /3.32 . 32 .
1 . Плоскость задана уравнением z = а х + Ьу + с. Найтитангенсы углов, которые образуют координатные оси Ох, Оу, Ozс этой плоскостью.32 . 33 . Трехгранный угол задан плоскостями х - у - 4z + 13 =О, 3х + у - 4z + 7 = О, 3х - 5у - 4z + 19 = О и его внутренней точкой ( 1 , 3, 5) . Найти направляющие косинусы луча, выходящегоиз вершины этого трехгранного угла и образующего с его ребрами равные между собой острые углы. Установить, проходит лиэтот луч внутри или вне трехгранного угла.32 . 34. Найти расстояние от точки (1, 3, 5 ) до прямой, по которой пересекаются плоскости 2х + у + z = 1 , 3х + у + 2z = 3 .3 2 . 3 5 . Найти расстояние от точки ( 1 , 2 , 5) до каждой из еле,цующих прямых:1){х = t'y = l - 2t,z = 3 + t;32 .
36 . Найти уравнениеидлину высотыАНтреугольника§32. Метрические задачи в пространстве285АБС, образуемого пересечением плоскости 3 х - у + 4z - 12 = О скоординатными плоскостями, при условии, что вершина А лежитна оси Oz.3 2 . 37. Найти расстояние меж,цу каждой парой сле,цующихпрямых:х = -t,х = 3 + t,у = 2 + Зt,1) у = 1 - t , иz = З t;z = 2 + 2t{{{ хх ++ уу -= zО + 1 = о,3 ) { х + 2у - z + 1 = о,2х - Зу + z - 4 = О2)ии{ х2х--2уу ++ ЗzЗz -- 66 == О,О;{ х2х+-уу+-z z-=9 О=. о,32 . 38. Найти расстояние между параллельными прямымих-2 y+l z и х-7 у- 1 z-334234232 . 39 . Найти кратчайшее расстояние между диагональю куба и непересекающей ее диагональ ю грани, если ребро куба равноединице.32 .40 . Найти расстояние между двумя скрещивающимисямедианами двух боковых граней правильного тетраэдра с ребром , равным а .32 .41 . Найти угол (j) , образуемый прямойу - у0 z - zoсЬс плоскостью A x + By + Cz + D = О, заданными своими уравнених- х0аями в аффинной системе координат с известными метрическимикоэффициентами 9ij .32 .
42 . Найти необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямойу - Уа· z - zoсЬи плоскости Ах + Ву + Cz + D = О, заданных своими уравнениях - хоами в аффинной системе координат с известными метрическимикоэффициентами 9ij .286§ 33 .Глава VIII. Прямая и плоскость в пространствеВекторные ур ав нения пря м ой и плоскостиВекторное уравнение прямой, проходящей через точку Мо ( го) , с направляющим вектором а имеет видг = го + at , t Е IR, или[ г - го , а] = О , или[ .г , а] = М, где ( М, а ) = О.(33. 1 )Заметим, что если ( М , а ) i= О , условию [ г , а] = М не удовлетворяет ниодна точка пространства.Геометрические свойства прямой, заданной третьим уравнением (33. 1 ) ,рассматриваются в примере 33 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
