Том 1 (1113042), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Найти длину стороны равностороннего треугольника,вписанного в параболу у 2 = 2рх так, что одна из вершин треугольника совпадает с вершиной параболы.2 у2х34. 30 . Написать уравнение касательной к эллипсу32 + 18-- =§34 . Эллипс, гипербола и парабола1в точке303М (4, 3 ) .2 у2х34 .
3 1 . Составить уравнения касательных к эллипсу +=25 161, проходящих через точку N ( lO, 4 ) .34 . 3 2 . Дана прямая х + у - 1 = О. Составить уравнения каса2 у2хтельных к эллипсу16 + g = 1: 1) параллельных данной прямой;2) перпендикулярных данной прямой.34 . 3 3 . Доказать, что произведение расстояний от фокусовэллипса до любой его касательной есть величина постоянная,равная квадрату малой полуоси.х 2 у2+а 2 Ь2= 1 и прямая Ах + Ву + С =34. 34. Дан эллипсО. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобыданная прямая:1 ) пересекала эллипс в двух точках;2 ) касалась эллипса;3) не имела с эллипсом общих точек.34.
35 . Эллипс, имеющий фокусы в точках F1 (-3 , О) , F2 ( 3 , О) ,касается прямой х + у - 5 = О. Составить уравнение эллипса.34. 36. Найти геометрическое место точек, из которых можно провести взаимно перпендикулярные касательные к эллипсух2 у 2+а 2 ь2=1.34. 36. 1 .
Точка М называется внутренней по отношению кэллипсу, если любая прямая, проходящая через М, пересекаетэллипс в двух точках. Найти условие, необходимое и достаточноедля того, чтобы точка М(хо, Уа) была внутренней для эллипсах2а22у+ ь2=1.34. 36 . 2 . Доказать , что точка М будет внешней по отношениюк эллипсу тогда и только тогда, когда из М можно провести кэто му эллипсу две различные касательные.34 . 37. Составить уравнение касательной к гиперболе х 2 у2 = 8 в точке М ( 3 , - 1 ) .34 . 38.
Составить уравнение касательных к гиперболе х 2 -4=у21,проходящих через точкуM(l , 4) .Глава IX. Линии и поверхности второго порядка30434. 39 .Составитьуравнениекасательнойу 2 = 1 , если касательная :g 361) параллельна прямой Зх - у - 1 7 = О;2) перпендикулярна к прямой 2х + 5у + 1 1 = О .х2к гиперболе34.40 . Составить уравнение гиперболы , зная уравнения ее1.асимптот у = ± - х и уравнение одной из ее касательных. 5х 26у - 8 = о .34.41 . Гипербола, оси которой совпадают с осями координат,касается прямой х - у - 2 = О в точке М (4, 2 ) .
Составить уравнение этой гиперболы.х2 - у2а 2 Ь2= 1 и прямая Ах + Ву + С =34.42 . Даны гиперболаО. Найти необходимые и достаточные условия для того, чтобыданная прямая:1 ) касалась гиперболы;2) пересекала каждую ветвь гиперболы ровно в одной точке;3) пересекала одну из ветвей гиперболы в двух точках;4) пересекала ровно одну ветвь гиперболы в единственнойточке.34.43 . Дана произвольная гипербола.1) Существует ли общая касательная к обеим ветвям гиперболы?2) Существует ли прямая , пересекающая каждую ветвь гиперболы в двух точках?2 у2х34 .44. Можно ли к гиперболе 2 а Ь2=1 провести касатель-ные с любым угловым коэффициентом k и если нет, то какомуограничению должен удовлетворять параметр k ?34.45 .
При каком условии из точки М(хо , у0 ) к гиперболех 2 - у2а 2 Ь2= 1 можно провести две касательные? Составить урав-перболых2 у2а 2 Ь2нения этих касательных.34.46. Определить произведение расстояний от фокусов ги= 1 до какой-либо ее касательной.34 .47. Найти площадь треугольника, образованного асимп-305§34 . Эллипс, гипербола и параболах 2 - у2а 2 Ь21 и произвольной касательной ктатами гиперболыэтой гиперболе.34.48. Доказать, что точка гиперболы служит серединой отрезка касательной к этой гиперболе, заключенного между асимптотами.34.49 . Эллипс и гипербола имеют общие фокусы. Доказать,что они пересекаются под прямым углом , т. е.
касательные, построенные в точке пересечения к этим эллипсу и гиперболе, взаимно перпендикулярны.34. 50 . Найти геометрическое место точек, из которых можнопровести взаимно перпендикулярные касательные к гиперболех2 - у2 =а 2 ь2-1.34.
50. 1 . Точка М называется внутренней по отношению кгиперболе , если любая прямая, проходящая через М и не параллельная ни одной из асимптот, пересекает гиперболу в двух точках. Найти условие, необходимое и достаточное для того, чтобыточкаМ(х 0 , у0 )была внутренней для гиперболых2 у 2- =а 2 Ь21.34. 50 . 2 . Доказать, что точка М, не совпадающая с центромгиперболы, будет внешней для этой гиперболы тогда и толькотогда, когда из М можно провести к гиперболе по крайней мереодну касательную .34. 5 1 .
Дано уравнение касательной х - Зу + 9 = О к параболе2у = 2рх. Составить уравнение параболы.34. 52 . Дана парабола у 2 = 2рх и прямая Ах + Ву + С =О. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобыданная прямая:1 ) касалась параболы ;2) пересекала параболу в одной точке;3) пересекала параболу в двух точках;4) не имела с параболой общих точек.34 . 53 . Доказать, что если из любой точки, не лежащей нап араболе, можно провести либо две, либо ни одной касательнойк этой параболе.34 . 54 . Найти геометрическое место середин отрезков касательных к параболе у 2 = 2рх, заключенных меж,цу осями координат.306Глава IX.
Линии и поверхности втор ого порядка34 . 54. 1 . Найти геометрическое место оснований перпендикуляров , опущенных из фокуса параболы у 2 = 2рх на ее касательные.34. 55 . Найти геометрическое место точек, из которых можно провести взаимно перпендикулярные касательные к параболеу 2 = 2рх.34. 55 . 1 . Точка М называется внутренней по отношению кпараболе , если любая прямая, проходящая через М и пересекающая ось параболы, имеет с этой параболой две общие точки.Найти условие, необходимое и достаточное для того, чтобы точка М(хо , уа) была внутренней для параболы у 2 = 2рх .34 .
5 5 . 2 . Доказать, что точка д1 будет внешней для параболы тогда и только тогда, когда из М можно провести к этойпараболе две различные касательные.34 . 56. Найти геометрическое место точек, делящих в отношении Л -=/= 1 хорды окружности х 2 + у 2 = а 2 , параллельные осиОу.34. 57. Отрезок постоянной длины скользит своими концамипо двум взаимно перпендикулярным прямым . Точка М делитэтот отрезок на два отрезка, длины которых равны а и Ь . Найтилинию, описываемую точкой М при движении отрезка.34 . 58. Даны точки А 1 ( - а , О) и А 2 (а, О) . Найти геометрическое место точек пересечения прямых, проходящих через точкиА 1 и А 2 и отсекающих на оси ординат отрезки, произведениевеличин которых равно Ь2 .34.
59 . Около начала координат О как центра описаны двеокружности радиусами а и Ь. Луч, вращающийся вокруг точк иО, пересекает эти окружности соответственно в точках А и В.Через точку В проводится прямая , параллельная оси абсцисс,а через точку А прямая , параллельная оси ординат. Найтигеометрическое место точек М пересечения этих двух прямыхпри вращении луча.34. 60 . Найти геометрическое место центров окружностей, касающихся двух данных окружностей, одна из которых расположена строго внутри другой .34 .
6 1 . Найти геометрическое место центров окружностей, касающихся данной окружности и проходящих через данную то чку, лежащую внутри этой окружности.34.62. Даны точки А 1 ( - а , О) и А 2 ( а , О ) Найти геометри че-.307§35 . Линии, заданные общими уравнениямиское место точек пересечения прямых, проходящих через точкиА 1 и А 2 и отсекающих на оси ординат отрезки, произведениев еличин которых равно - Ь2 .34 . 63 .
Найти геометрическое место центров окружностей, кас ающихся внешним образом двух данных окружностей, одна изкоторых расположена вне другой.34. 64 . Найти геометрическое место точек, произведение рас стояний от которых до двух противоположных сторон заданногоп рямоугольника равно произведению расстояний до двух другихего противоположных сторон.34 .65 . Найти геометрическое место центров окружностей, касающихся данной окружности и проходящих через данную точку, лежащую вне этой окружности.34.
66. Найти геометрическое место точек, для каждой из которых произведение расстояний до двух пересекающихся прямых равно заданному положительному числу.34.67. Найти геометрическое место точек, для каждой из которых сумма или разность расстояний до данной точки и до данной прямой есть величина постоянная .§ 35 .Линии второго порядка , заданные общи миуравнения м иОхуаффинная система координат на плоскости. АлгебраичеПустьская линия второго порядка на плоскости определяется уравнением-( 35. 1 )арати'Чной 'Частъюобщим уравнением2а 1 2ХУстарших -ч,ленов), квадгруппойлинейной 'Частъю,свободн'Ьlм членом.где у 1 + ai 2 + a� 2 -:/= О .
Уравнение (35. 1 ) называетсялинии22второго порядка. Группа слагаемых ai 1 x ++ а 22 У называетсяуравнения (35. 1 ) (илигруппааззслагаемых 2а 1 зх + 2а 2 з УВ основе ·классификации линий второго порядка лежит принцип разбиения их на непересекающиеся классы так, чтобы были выполнены следующиеусловия:- в каждом классе содержалось уравнение (35.
1 ) одного, наиболее прост ого вида (например, такого, как канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы) ,- все уравнения линий одного класса могли быть приведены к выбранному простейшему ВИдУ некоторым преобразованием системы координат.В соответствии с этим принципом все линии второго порядка делятсяна девять классов.Т е о р е м а 35. 1.(35. 1 )--Общее уравнениелинии второго порядка переодходомновой аффиннойО' х' у' можно привести кному uктолъкоодному uз системеследующихкоординатдев.ятu видов:308Глава IX.
Линии и поверхности второго порядка]Хl,вн.ен.иеНазвание линииЭл.л,нпсМнимиu эл.л,ипсПара мн.имих пересекающихся пр.ям'ЫХГиперболаПa]Xl, пересекающихся пр.ям'ЬlхПараболаПара пшралле.лън'Ых пр.ямъtхПaJXL мнимъtх параллелънъtх пр.ямъtхПара совпадающих пр.ямъ�хУ123456789(х' ) 22 + (у' ) 2 = 1(х' ) + (у ' ) 2 = -1(х' ) 2 + (у' ) 2 == О(х' ) 22 - ( у' ) 22 = 1(х' ) - ( у' ) = О( у ' ) 2 = х'(у' ) 2 1(у' ) 2 == о-1(у' ) 2 ====Наиболее простым способом построения такого преобразования аффинной системы координат являетсяi)раметод въtде.лени.я полнъtх ква тов ( метод Лаграижа ) .35.1. Определить вид линии второго порядка, заданной урав2х2 - 4ху + у2 + 4х - = О .(З5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
