Том 1 (1113042), страница 59
Текст из файла (страница 59)
26 . Исследовать линию пересечения гиперболоида2ху2g + 4 - z 2 = 1 с плоскостью 4 х - З у - 12z - 6 = О, пользуясьее проекциями на координатные плоскости.36. 27. Определить вид линии пересечения гиперболоида х 2 +у 2 - z 2 = 1 и плоскости 3 х + 4 у - 5z = О .36. 28. Выяснить, по какой линии плоскость х + у - z + 3 = Опересекает гиперболоид х 2 + у 2 - z 2 = -4.36. 29 . Найти центр сечения гиперболоида x 2 + 2y 2 - 4 z 2 = - 4плоскостью х + у + 2z = 2 .36. 30. Найти уравнение множества центров сечений гиперболоида х 2 + у 2 - З z 2 = 2 плоскостями, параллельными плоскостиx + y + z = l.36. 31 .
Выяснить, по какой линии пересекаются однополостный гиперболоидх2 у2z2+ ь2 - 2 = 1 , а > ь ,2ас2и сфера х 2 + у 2 + z = а 2 .36. 32 . Доказать, что прямая при вращении в пространствевокруг оси, которая не пересекается с ней и ей неортогональна,описывает однополостный гиперболоид вращения.36. 33 . Определить поверхность, которую описывает пря1\11 ая ,скользящая по трем прямымххх-2у-1у+1уzz= =z1'2о-1 'оо1 l' 2из которых никакие две не лежат в одной плоскости.36 . 33 . 1 .
Доказать, что сечения гиперболоидовz2х 2 у2+ ь - с = ±1,а222а > ь > о,плоскостямиcJа 2 - Ь2 у ± ь y'di + с2представляют собой окружности:z+D=О§36. Эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды327а) для двуполостного гиперболоида при I D I > Ьс JЬ2 + с2 ;б ) для однополостного гиперболоида при любом D .Найти их радиусы.36.
34. Написать уравнение эллиптического параболоида свершиной ( 2 , 3 , 6) и осью, параллельной оси Oz, зная , что плоскость О х у пересекает его по эллипсу, оси которого параллельныосям О х и Оу , причем эллипс касается этих осей координат.36. 35 . Н аписать уравнение гиперболического параболоида,х2у2проходящего через гиперболу 2 - 2 = 1 , z = с, зная, что егоаЬплоскости симметрии совпадают с двумя плоскостями координатOxz и Oyz и что третья координатная плоскость О ху пересекаетего по паре прямых.36.
36. Написать уравнение эллиптического параболоида,зная, что плоскости х = а и у = Ь пересекают его по параболам с вершинами ( а , О, с) и (О, Ь , с) , плоскость Оху касается параболоида в его вершине, а плоскости Oxz и Oyz являются егоплоскостями симметрии.36. 37. Написать уравнение гиперболического параболоида,проходящего через точку ( 10 , 6, 1 1 ) , зная, что плоскости Oxz иOyz являются его плоскостями симметрии, а плоскость О х у пересекает его по паре прямых, один из углов между которымиравен 27Г /3 .36.
38. Написать уравнение гиперболического параболоида,проходящего через прямые у = ± х , z = О и через точку ( 1 , 2 , 3) ,если известно, что ось Oz является его осью симметрии.36. 39 . Н айти уравнение проекции линии пересечения поверхностей х 2 + 2 у 2 = 2z , х + 2 у + z = 1 на плоскость Оху.
Чтопредставляет собой эта линия?36 .40. Выяснить, по какой линии пересекаются параболоид2х - у 2 = 2z и плоскость х + у + z = 1 .ху36. 4 1 . Доказать, что плоскостьь + h = О пересекаетапараболоидх2 у2-2 - ь 2 = 2zапо прямой, и составить ее уравнение.36.42 . Найти уравнение множества центров сечений парабо лоида х 2 + у 2 = 2z плоскостями, параллельными плоскостиx + y + z = 1.Глава IX. Линии и поверхности второго порядка32836.43. Найти условие, необходимое и достаточное для того,чтобы плоскость z = а х+ Ьу+с пересекала параболо�д вращениях 2 + у 2 = 2pz (р > О) по эллипсу.36 .43 . 1 .
Доказать , что плоскость пересекает параболоидх2 у2+а 2 Ь2=2pzпо параболе тогда и только тогда, когда она па-раллельна оси Oz.36.44. Доказать, что гиперболический параболоид не имеетплоских эллиптических сечений.36 .44 . 1 . Какие кривые второго порядка могут получиться всечениях гиперболического п араболоида?36.45. Найти прямолинейные образующие параболоида 4х 2 у 2 = 16z, пересекающиеся в точке ( 2 , О, 1) .х2у236 .46. На параболоиде= zнайти прямолинейные16 4образующие, параллельные плоскости Зх + 2у - 4z = О.36 .47.
На гиперболическом параболоиде х 2 - у 2 = 2z найтигеометрическое место точек пересечения двух взаимно перпендикулярных образующих.36 .48 . Найти геометрическое место точек на поверхности па-2 у2храболоида 2 - 2а ь=--2z, через каждую из которых проходят двевзаимно перпендикулярные прямолинейные образующие этой поверхности.36 .49 . Доказать, что прямые, по которым плоскость Оху пе2pz (р > О) ,ресекает гиперболический параболоид х 2 - у 2являются его осями симметрии.36 . 50. Доказать, что проекции прямолинейных образующих=2 у2хпараболоида 2 - Ь2ах 2 2a 2 z.=2zна плоскостьO x z касаются параболы=36 .
5 1 . Найти геометрическое место точек, равноудаленныхот данной точки и от данной плоскости, не проходящей черезданную точку.36. 52 . Найти геометрическое место точек, равноудаленныхот двух данных скрещивающихся прямых в пространстве.36 . 53 . Составить уравнение поверхности, образованной прямой , которая скользит по прямымх-63у2z-11их3у-82z+4-2 '329§3 7. Конусы и цилиндрыоставаясь все время параллельной плоскости 2 х + Зу - 5 = О.36. 54 . Определить вид линии пересечения поверхностей х 2 +у 2 = 2z и х 2 + у 2 + z 2 = 8.36. 5 5 . Доказать, что эллиптический параболоидх2у225 + 16=2zи сфера х 2 + у 2 + z 2 = 50z пересекаются по двум окружностям .Найти центры и радиусы этих окружностей.36. 56. Найти линию пересечения поверхностейх2 + у2 - z2=х 2 - у2а2 ,=2 az .36.
57. Написать уравнения проекций линии пересечения поверхностей х 2 + у 2 - z 2 = 1 , х 2 - у 2 = 2z на координатные плоскости и выяснить , что представляет собой эта линия.§37.К онусы и цилиндрыКон ус . Поверхность, определяемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат Oxy z уравнениемх2 + у2 - z 2 = о2ь2 2с ,а( 37.1)называется кон.усом ( рис.Конус обладает следующими простейшими свойствами.1).Координ.атн.ие плоскости кан.он.и'Ческой системъt координ.ат кон.уса.являются плоскост.ями симметрии, координ.атн.ъtе оси - осями симметрии, а н.а'Чало координат - 'Центром сим.м,етрии конуса.
Ось О z канонической системы координат называется осъю конуса, а начало координат вершиной конуса.Конус - неограни'Чен.ная поверхн.остъ.Се'Чени.я конуса плоскостями z h , h i= О, представляют собойэл.л,ипсъt, полуоси которих неогранu'Ченно возрастают при hЛюбоетакое сечение называется направляющей конуса.Если в уравненииконуса а = Ь, то такой конус называется круговим конусом ( или конусом вращения).Се'Чения конуса плоскостями х = h и у h, h i= О, представляютсобой гиперболъt, а плоскости х = О u у О пересекают конуспо парампересекающихся пр.ямъ�х.1°.2°.3°.=� оо .(37. 1 )4°.===Из этого свойства следует, что через каждую точку конуса, кроме еговершины, проходит ровно одна прямолинейная образующая и все эти прямолинейные образующие пересекаются в вершине конуса.Отметим, что круговой конус может быть получен вращением образующей конуса вокруг его оси.сх/а и zсу/Ь,5°.Се'Чени.я конуса ( 37.
1 ) плоскостями zh -:/; О, представляют собой параболи.Таким образом, и эллипс, и гипербола, и парабола являются плоскими= h+= h+сечениями конуса. На этом основании эти линии обычно называютскими се'Чени.ями.кони'ЧеГлава IX. Линии и поверхности второго порядка330zРис.1П р и :м е рОпределить вид поверхности , заданной в прямоугольнойдекартовой системе координат уравнением37 . 1 .z ==( 37.2)5(37.2) равносильно системе уравнений{ х322 + у182 == 25'z2zкоторая определяет верхнюю часть ( над плоскостью О у ) конуса, вершинакоторого - начало координат, а ось совпадает с осью Oz.
Точки 0(0, О, О) иN/0 (4,3,5)лежат на конусе, поэтому образующей конуса является прямая4t, у 3t, z 5tП р и м е р 37. 2 . Определить вид сечения конуса 2 + у 2 == z 2 плоскостью(37.3)3х - у + 4z + 12 == О.Р е ш е н и е. Записав уравнение плоскости ( 37. 3 ) в параметрической форх == -4 + + 4v , у == 3 , z == -3v ,( 37.4)получим выражение пространственных координат у, z точки плоскостичерез ее плоскостные координаты v в системе координат {Мо;е 2 } гдеМо(-4, 0, 0) ,{ 1 , 3 , 0},{4,0,-3}.Р е ш е н и е. Уравнение> о,хх====.
•хl\Iettei==е2ии,==х,ei ,,§3 7. Конусы и цилиндры331Подставив. в уравнение· конуса, получи:l\1 уравнение линии пересечения конуса с плоскостью в плоскостной системе координат:== О.<===>Применим к этому уравнению линии второго порядка на плоскости теорию инвариантов. Имеем(37 4)16+и2 +16v2 -8u-32v+8нv+9u2 == 9v2 10н2 + 7v2 +8uv-8u-32v+16=\ �4-4101=7-164>О,2 i\-4 -16 16 < о.Условия /2 О,< О означают, что линией пересечения конуса плоскостью (37.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
