Том 1 (1113042), страница 61
Текст из файла (страница 61)
1 . Определить вид поверхности второго порядка, заданнойуравнением1 zх 2 2у22 =(38.2)+ - 2ху + 4yz - 4х + 2у +7.Р е ш е н и е. В уравнении (38.2) коэффициент а 1 1 при х 2 отличен от нуляи равен единице. Выделим полный квадрат в гру ппе слагаемых левой части,содержащих переменную= х22) 2 =2) 2 - у 22)2) 2 )х2Тем самым, уравнение (38.2) перепишется в виде2) 2 + 2-212 z = 1 1 .Применим аналогичную процедуру выделения полного квадрата сначала по переменной2) 22y(2z - 1) (2z - 1) 2 - 2 z - 1 ) 2 12z == 1 1 {=::>2)2{=::>2z - 1 ) 21 z = 12,х:-2ху -4х ( -2х(у + +( у + -(у + (х- у (х - у - у + 4yz у +:у(х - у -(х -у+-у2 + + (у + + - 4z + 6( +-4у -4.337§38.
Поверхности, заданные общими уравнениямиа затем по переменной z :(х - у - 2) 2 + (у + 2z - 1 ) 2 - 4(z 2 - 4 z + 4) + 16 12 {==::>{==::>(х - у - 2) 2 + (у + 2z - 1 ) 2 - 4(z - 2)2 = -4 <==?х у l) 2у + 2z - 1 2<=*(z 2) 2 = l+()( ;2Перейдем к новым координатам по формулам, _ у2z - 1 ,х-у, z - z 2.х' =1, у - +22Тогда уравнение поверхности примет вид(х ' ) 2 + (у ' ) 2 - (z ' ) 2 = - 1 ,из которого в силу теоремы 38. 1 следует, что исходное уравнение (38.2) задает двуполостный гиперболоид. •П р и м е р 38.2.
Определить вид поверхности второго порядка, заданнойуравнением(38.3)ху + yz + xz = О.Р е ш е н и е. Так как уравнение (38.3) не содержит слагаемых с х 2 , у 2 ,z 2 , то, как и в примере 35.2, сделаем промежуточную замену переменныхх = х1 + у1 , у == х 1 - у 1 , z == z 1 .В результате уравнение (38.3) примет вид( x I - Yf ) + (х 1 - y 1 )z 1 + (х 1 + y 1 ) z 1 = О {==::> х у - у� + 2x 1 z 1 =Выделим полный квадрат относительно переменной х 1 :(х у + 2x 1 z 1 + zr) - у � - zr = О {==::> (х 1 + z 1 ) 2 - yr - zr = О.Вводя новые переменные х' , у ' , z ' по формулам=___-.___О.{ ; ==х = х 1 + z1 ,у У1 'z' z1==получим уравнение(х ' ) 2 - (у ' ) 2 - (z ' ) 2 == О,относящееся по классификации теоремы 38.
1 к шестому виду. Следовательно, исходное уравнение (38.3) задает конус. •П р и м е р 38.3. Определить вид поверхностиz2==3х + 4у + 1 5.(38.4)Р е ш е н и е. Преобразование координат1х ' = х, у ' = 3х + 4у + 15, z = zприводит (38.4) к уравнению(38.5)/( z ' ) 2 == у 'которое в силу теоремы 38.1 определяет параболический цилиндр.•Глава IX. Линии и поверхности второго порядке�38Если общее уравнение (3 8 .
1 ) поверхности второго порядка задано в пряюугольной декартовой системе координат, то метод Лагранжа, вообще гоюря, не позволяет выяснить форму или расположение поверхности данног<.ида в пространстве. Как и для линий второго порядка, метрические харак·е ристики поверхности могут быть выяснены, только если проводимое пре1бразование системы координат ортогонально. Niожно показать, что любо«акое преобразование сводится к последовательному выполнению поворот01. пространстве вокруг специальным образом выбираемых осей и параллель·юму переносу.Т е о р е м а 38. 2·.
Дл.я любой алгебJЮи'Ческой поверхности второгс�ор.ядка существует пр.ямоуголъна.я декартова система координцт Oxyz: которой уравнение этой поверхности имеет один следующих видов:Канони'ЧескоеНазвание поверхностиуравнение2 у2 z2хЭллипсоид1ь22 + а22 + с22 = 1 ' а >- Ь >- с > Ох +у + -z = - 1Мним'Ый эллипсоид2а22 ь22 с22х +у +z =ОВъtрожденнъtй эллипсоид32а 2 ь22 2с2х + у - z = а > ь > о, с > о Оih-t,ополостн'Ь/,й гнперболоид42а 2 ь22 2с2z = -1 а > Ь > О с > О Двуполостнъtй гиперболоидх +у -5' - 'а22 ь22 с22х + у - z О , а > Ь > О, с > О Конус62а 2 Ь22 2сх + у = 2z , а > ь > оЭллипти'Ческий параболоид7а22 ь22х у = 2zГиперболи'Ческий параболоид8а22 - ь22х + у = 1, а > ь > оЭллипти'Ческий 'Цилиндр9а22 ь22х у = -110Мним'Ый эллипти'Ческийа 2 ь2цилиндр22х -у =1Гиперболи'Ческий 'Цилиндр11а22 ь2Параболu'Ческий 'Цилиндр12 у = 2рх, р > Ох 2 - у 2 = о,13ПаJЮ пересекающихсяа 2 ь2плоскостейх 2 + у 2 = о,ПаJЮ мнимъtх пересекаю14а 2 ь2щихся плоскостейПара параллелънъ�х15 у 2 = а2 , а '# Оплоскостей'l.tЗ1,==- + ---§3 8.1617Поверхности, заданные общими уравнениямиу 2 - а 2 , а -:/= Оу 2 == о339Па'{Хl мнимЪtх параллелъ н'ЫхплоскостейПа]Jа совпадающихплоскостей=П р и м е р 38.4 .
Определить вид и расположение поверхности, заданнойв прямоугольной декартовой системе координат уравнением2х 2 - Зу2 - 3 z 2 + 4х + 6z 7 = о .(38.6)-Р е ш е н и е. Уравнение (38.6) не содержит слагаемого с xz, поэтому только переносом начала координат можно освободиться от переменных х и z впервой степени. Имеем2(х 2 + 2х + 1) - 2 - 3у2 - З (z 2 - 2z + 1) + 3 - 7 == О <==:::>2(х + 1) 2 - Зу2 - 3(z - 1) 2 = 6.Положив х + 1 z ' , у у ' , z - 1 х ' , получим уравнение(у' )-2 - х' -) 2 + (( z' )- - l322которое является каноническим уравнением двуполостного гиперболоида сполуосями аЬ = ../2, == JЗ. Каноническая система координат этого гиперболоида получена переносом исходной системы координат в точкуО ' ( -1, О, 1 ) .
Эта точка является центром гиперболоида.П р и м е р 38.5. Определить вид и расположение поверхности, заданной<==:::>=====2===,с•в прямоугольной декартовой системе координат уравнением3х 2 + 4у 2 - 12х + Ву + 16 z = О.(38. 7)Р е ш е н и е. Уравнение (38.7) не содержит слагаемых с ху и z 2 , поэтомутолько переносом начала координат можно освободиться от переменных х, ув первой степени.
Имеем3(х - 2) 2 + 4(у + 1) 2 + 16( z - 1)Положив х - 2 = х ' , у + 1 = у ' , z - 1 = z ' , получим уравнение== О.(у' )-2 == -2 z ' '(х' ) 2 + 8/3 2которое определяет эллиптический параболоид с вершиной в точке О ' (2, -1,1), для которого а2 8/3, Ь2 2. Направление оси параболоида совпадаетс отрицательным направлением оси O z.П р и м е р 38 . 6 . Определить форl\1у и расположение поверхности, заданной в прямоугольной декартовой системе координат уравнением (38.4).====•Р е ш е н и е. Для определения расположения поверхности допустимылишь ортогональные преобразования координат, так что преобразование(38.5) здесь не подходит.Выполним поворот плоскости Оху вокруг оси Oz на угол, определенныйсоотношением (35 .
5). В нашем случае cos ер = 4/5, sin ер 3/5. Формулы==340Глава IX. Линии и поверхности второго порядкапреобразования координат будут иметь видх = 54 х 1 + 53 У 1 ,Х1 = S4 X - 53 У ,3 4( 3 8.8)у = - 53 х 1 + 54 У1 ,У1 = 5 х + 5 У ,z1 = zz = z1 .Отсюда З х + 4у 5у1 и уравнение (38.4) примет вид zr5(у 1 + 3) .Положив(38.9)х 1 = х ' , У 1 + 3 = у' , z 1 = z ' ,получим уравнение ( z ' ) 2 = 5у ' , т.е.
уравнение параболического цилиндра.Из (38.8) и (38.9) находимх = 54 х - 53 У, у = 53 х + s4 Y + 3, z = z.Для всех точек цилиндра у ' > т.е. цилиндр лежит положительномполупространстве относительно плоскости Зх + 4у + 15 = О. ОбразующиеНацилиндра. параллельны оси х ' , т.е. прямой З х + 4у + 15 = О, z =правляющей цилиндра служит парабола с параметром р = 5/2, лежащая вплоскости х ' = О, т.е. в плоскости 4х - З у = О, с вершиной (-9/5, -12/5,и фокусом (-21/20, -7/5, 0)П р и м е р 38. 7. Определить вид и расположение поверхности, заданнойв прямоугольной декартовой системе координат уравнениемz 2 = 2ху.( 3 8.1 0 )Р е ш е н и е. Выполняя поворот плоскости Оху вокруг оси Oz на уголтr/4 (см.
соотношение (35.5))х = v121 ( х - у' ) , у = J21 (x + у' ) , z = z ,1//вО,О.О). •///приведем уравнение (38. 10) к виду(z ' ) 2 = (х ' ) 2 (у ' ) 2 .Это каноническое уравнение конуса· вращения с вершиной в начале координат. Осью конуса является ось Ох ' , т.е. биссектриса угла хОу. Образующиеконуса наклонены к оси конуса под углом тr / 4. •П р и м е р 38.8. Определить форму и расположение в пространстве поверхности, заданной в прямоугольной декартовой системе координат уравнениемх2 + 2у 2 + z2 - xz + x - 1 2y + z = - 1 .( 38.
1 1 )Р е ш е н и е. В уравнении (38. 1 1 ) присутствует лишь слагаемое с x z (слагаемые с ху и yz отсутствуют) , поэтому выполним поворот вокруг оси Оу наугол, который согласно (35.5) равен 1Г/4. Формулы преобразования в этомслучае имеют видх == J21 (x1 - z 1 ) , у = у 1 , z J21 (x 1 + z1 )._==Подставляя эти соотношения в (38. 1 1 ) , получим11 (х11 2 21222)z(х(х+zz)+2)+J2(x)12у-z+J2(х 1 + z1 ) = - 1 ,111111У1+111222§38. Поверхности, заданные о бщими уравнениями341т.е.x i + 4y i + 3z � + 2v'2x 1 - 24у 1 = -2.Выделим теперь полные квадраты относительно переменных х 1 и у 1 :(х 1 + J2) 2 + 4(у 1 - 3) 2 + 3z� = 36.Последнее равенство показывает, что при переносе начала системы координат Ox 1 y 1 z 1 , т.е. в результате преобразованиях ' = х 1 + J2, у ' = у 1 - 3, z ' = z 1 ,получится каноническое уравнение эллипсоида(у ) 222+(+�2('''= 1.36+(х ) + 4(у ) 3 z )�{=�Итак, уравнение (38.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
